巨巨巨入门！你也能懂的微积分基础

微积分领域分为两部分．其一是微分学，它考虑直线的斜率，围绕“如何求曲线的斜率”这一问题建立．积分学的要义是有组织地计算许多极小数的和．考虑某物体在某个系统中的作用，一般来说，很容易计算物体的点状粒子在系统中的影响．积分学提出这样的问题，即“如何把所有粒子的影响相加，从而得到整个物体的影响效果？”我们综述的最后考虑微积分基本定理．奇妙的是，它会告诉我们微分学和积分学，尤其上面提到的两个问题之间有何紧密的联系．

微积分围绕数学函数的概念进行组织．事实上，简单来说，微积分是对数学函数的研究．函数是指用一种明确、特定的方式把实数赋值给其他实数的法则．给出的法则就是一个代数例子．函数的定义域是指用来定义法则（或使其有意义）的数的集合．在刚才提到的例子里，只有当实数x满足 x(x + 1)≥0 时，才能被定义，也就是说，它的定义域是所有满足 x≥0 或 x≤-1 的实数x的集合．函数f的图形是坐标平面上满足 f(a) = b 的所有点(a,b)的集合．如果函数的图形为一条连续的线，则该函数是连续的．所以连续函数的图形没有间断．

微分学　我们讨论曲线的斜率，更确切地说是函数图形的斜率．已知函数 y = f(x)，一般情况下， y = f(x) 图形的斜率将随着x的变化而变化，因此它不能只用一个数计算．我们将会看到可以用函数表示函数f的斜率，这个函数就是f的导数．

图　7-1

给定f的图形上的一点，可以将图形在该点的斜率定义为图形在该点切线的斜率．接下来的讨论将对此作精确表述．如图7-1所示，在x轴上取固定一点 x0，设△x为某个正数并考虑点x0 + △x（△x也可以为负数，但这里我们只考虑其为正数）．设x0和 x0 + △x 之间所有点都在f的定义域内．重点注意图中点 P = (x0,f(x0)) 和 Q = (x0 + △x,f(x0 + △x))．沿该图形从Q到P，x坐标的变化量为 △x = (x0 + △x) - x0，y坐标的变化量为 △y = f(x0 + △x) - f(x0)．应用4.3节的讨论，这些变化量的比为

正好是过Q和P点的直线的斜率．现保持x0不变，让△x趋于0，这样就使P点固定，Q趋于P点．参见图7-1，在这个过程中，过Q和P的直线旋转到图中点 P = (x0,f(x0)) 的切线上，这条旋转直线的斜率逼近切线的斜率．因为它与x0有关，我们把该斜率记为 mx0．

上述切线在P点的斜率 mx0 的推导过程通常可以用极限的简化形式来表示，为

差 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 是函数f的图形的y坐标的变化量，它与其x坐标变化量 △x = (x0 + △x) - x0 相对应．所以比是x从x0 + △x到x0时该变化量的平均变化率．极限是x0处的y坐标变化率．

设x是f的定义域内的一点，对x重复上面对x0的做法．现在考虑把x赋给mx的法则．这样定义的函数称为f的导数，用f'表示．这个函数度量了f的图形斜率变化．如图7-2所示，给定它的法则为

f'(x) = mx

其中

是f的图形在点(x,f(x))处的切线斜率．函数y = f(x)的导数也可以表示为．

图　7-2

如果极限

存在，或者换言之，如果定义f'的法则对x有意义，则我们称函数f在x可微，即f在x的导数存在．考虑上述过程的几何意义，你会发现如果f(x)的图形在点(x,f(x))处平滑，有一条非垂直的切线，则函数f在x点可微．对我们将考虑的所有函数，下面的内容同样成立，即如果f在x点可微，则f(x)的图形在点(x,f(x))处平滑，有一条非垂直的切线．（应当指出可以构造函数f及点x0，使f 在x0可微，f 的图形从左侧和右侧以越来越小的锯齿形图案趋近于(x0,f(x0))．数学家称这种函数为“病态函数”，其图形在(x0,f(x0))并不平滑．）

不同的法则如加、减、乘、除、乘幂和链式法则告诉我们（通常综合使用）如何计算函数的导数．例如，乘幂法则对任何常数指数r，有

f(x) = xr的导数是f'(x) = rxr-1

在工程学和物理学里，人们通常感兴趣的是研究相关数量的增长率、降低率并估计它们的最大值和最小值．其中一些问题可以用平滑变化的函数建模．这类函数可借用微积分进行分析．

函数的导数提供了一种方法，用来确定函数递增或递减的区间，也用来确定函数在何处达到极大值和极小值．它们用函数的图形表示，分别是指x轴上从左到右图形上升和下降的区间以及图形的高低点．考虑函数y = f(x)，已知c是满足f在c处可微且f'(c)＞0的一个数．这告诉我们f的图形在c处平滑，有一条斜向上的切线（非垂直）．因为这条切线在点(c,f(c))附近与f 的图形紧靠在一起，所以当图形通过(c,f(c))时呈上升状态，如图7-3所示．类似地，如果f'(c)＜0，图形过(c,f(c))时下降．这些内容告诉我们如果在定义域上的一段区间a≤x≤b内y = f(x)的导数等于0，则在该区间内函数的图形既不上升也不下降，也就是说在该区间内函数图形是水平的．因此f(x) = C，其中C为常数，对所有x均满足a≤x≤b．

图　7-3

根据以上内容，可推出一个重要结论：

如果f的图形在(c,f(c))处有一高点或低点，则在c点，有f'(c)=0或f'(c)不存在（没有定义）．

满足f'(c)=0或f'(c)不存在的数字c称为函数f的临界点．

可以用上述事实来分析函数f的性质，方法如下．计算导数f'并确定的所有临界点．设c1＜c2＜…是所有的临界点．f在c1的左边处处可微，否则c1的左边会有一个临界点．（实际上，不可能存在这样的点，因为c1是第一个出现的临界点．）由于任何递增或递减转换点都将在c1左侧产生临界点，因此对所有x＜c1，都有f'(x)＞0（故f递增）或者f'(x)＜0（故f递减）．由同样的推论可知，f在任何两个相邻的临界点之间可微，并且在它们之间的区间内单调递增或单调递减．用同样的方法可知，对右边最后一个临界点也有相似的结论．现在只剩下检查所有临界点c1,c2,…，确定f的图形中是否存在高点、低点或二者均不存在．

图7-4绘出了函数y = f(x)的图形，用图形解释了上述问题．数c1,c2,…，c9是临界点的全部集合．函数的图形在每个区间x＜c1,c1＜x＜c2,c2＜x＜c3,…,c9＜x上均平滑，且函数在这些区间内要么单调递增，要么单调递减．因为图形在c1和c2处到达尖点（故f在c1或c2均不可微），所以这两个点是临界点．因为图形在c4和c6处有间隙因而没有切线（故f在c4或c6均不可微），所以这两个点是临界点．因为图形在c8处的切线是垂直的（故f在c8不可微），所以这个点是临界点．因为图形在c3、c5、c7和c9处有水平切线（故在这些点导数等于0），所以这些点是临界点．注意图形在c1、c3、c6和c9处有高点，在c2和c7处有低点，在c4处有“无底洞”．函数在c1、c3、c6和c9处有极大值，在c2和c7处有极小值．

图　7-4

最后一个问题是关于函数的最大值和最小值．对上面提到的函数，存在一个最大值，只要比较f(c1)、f(c3)、f(c6)和f(c9)哪一个最大（可以看出f(c9)最大）即可．然而因为在c4处凹陷无底，没有最小值．将该函数的图形上下颠倒后（对应函数是y = -f(x)），得到一个只有最小值而没有最大值的例子．所以一个函数也许有，也许没有最大值或最小值．但有一种情况保证既有最大值，也有最小值．设函数y = f(x)的定义域包括区间a≤x≤b且函数在该区间上连续，则y = f(x)在a≤x≤b上既有最大值，也有最小值．

我们简单回顾了微积分中的导数，下面将回顾微积分中的积分．这是微积分这枚两面硬币中的另一面．

积分学　我们知道矩形的面积是什么及怎么计算它，我们也知道如何计算平行 四边形和三角形的面积．但如何计算一个平面曲边形的面积呢？这种情形下如何定义面积？你如何给定一个数作为其面积？这个问题的一个解决方法是使用笛卡儿直角坐标系．只要用非常细的垂直矩形填充该区域，它们的面积之和几乎等于曲边形区域的面积．矩形切片越细，近似程度越好．这种求面积的方法是定义定积分的开始．设a,b为常数，且a ＜ b,满足a≤x≤b的所有实数x的区间记为[a,b]．

已知函数y = f(x)，假设f定义在[a,b]上且在[a,b]内连续，则它在这个区间上的图形是一条连续曲线，即为一条没有间断的曲线．

设n是一正整数，把区间[a,b] n等分，每个子区间的长度是．令．将所有的分割点加在a,b之间，可以注意到每两个相邻分割点的距离是dx．参考图7-5所示的数轴．对其中一个典型分割点x（不等于b），紧挨着它的右分割点是x+dx．对x=a从开始到b之前的最后一个分割点为止的每个分割点x，都有乘积f(x)×dx．注意第一个乘积是f(a)dx，最后一个是f(b-dx)dx．下一步要把所有这些乘积加起来．把n个分割点记为

a = x0 ＜ x1 ＜ x2 ＜…＜ xn-2 ＜ xn-1 ＜ xn = b

则和为

f(x0)dx+f(x1)dx+…+f(xn-2)dx+f(xn-1)dx = (f(x0)+f(x1)+…+f(xn-2)+f(xn-1))dx

现把n取为一个与区间长度b - a相比极大的数，例如区间[a,b]的长度是5或7或20，则 n = 1 000 000 或 n = 5 000 000 就是极大数．如果区间[a,b]的长度是1 000，n = 1012（1万亿）或 n = 1014（100万亿）为极大数．n极大，则有非常多的分割点，两个相邻分割点的距离相对于区间[a,b]的长度就极小．如果n极大，dx极小，我们定义

表示上面的和．符号∫是拉长的S，表示要求的是一个“长”和．把这样一个长和称为f(x)从a到b的定积分．这时，先忘记你记得的与定积分有关的知识（后面将简单讨论它与面积、体积的联系），只把看成是通过上面一系列步骤获得的小数的长和．

图　7-5

事实上，这个定积分的“初步”定义并不十分准确．上述求长和的过程只是真值的近似．这是因为无论你选择的n有多大，你总能找到更大的n，再重新构成长和．这一过程可以一而再，再而三地进行．的真值被定义为这个过程的极限．不过，我们再次强调：如果细分的数n足够大，上述长和基本上等于的真值，类似于11.999 999 999 9基本上等于12．

形式的和有很多不同的情形和解释．它们可以是面积、体积或曲线的长度．在物理学和工程学里，它们可以代表诸如力、能量、动量和力矩等基本概念．

我们下面来看定积分是怎么在面积计算中出现的．设有一连续函数f对所有x属于[a,b]，均满足f(x)≥0，则f在区间[a,b]上的图形位于x轴上方．如前所述，设n是一正整数，点

a = x0 ＜ x1 ＜ x2 ＜ … ＜ xn-1 ＜ xn = b

把区间[a,b]进行n等分，每个子区间的长度．如果xi是一典型分割点，则dx是这个分割点到其右边分割点的距离．乘积 f(xi) × dx 是一高为 f(xi)、底边长为dx的细矩形的面积．i 的取值从0到n-1，所有用这种方法获得的矩形面积之和为

f(x0)dx+f(x1)dx+f(x2)dx+…+f(xn-2)dx+f(xn-1)dx

这些矩形如图7-6所示．图中为了区分这些小矩形，它们的颜色依次在黑色和灰色之间转换．该图选择的n较小，我们可以看到整个工作．不过现在假设相对于距离b - a，n极大．则矩形填满了区间[a,b]内f的图形之下的区域A．因此上面的和是对A的面积的一个近似估计，这个和也是的近似估计．考虑前面提到的极限过程，我们得出．

图　7-6

现在知道了数意味着什么，我们将介绍一种方法，对它进行计算．哪怕最乐观的情况下，把无数个小数加起来也非常费力，而在最坏的情形下，这是不可能完成的．所以现在的问题是：这个数的计算有没有有效的方法？

给定一个连续函数f及在定义域内的区间[a,b]．F是一个导数为f的函数．因此对区间[a,b]上的所有x，均有F'(x) = f(x)，称函数F为f的不定积分．由导数定义得

也就是说，当x固定且Δx趋于0时，比值趋于f(x)．因此，给定x和很小的dx，f(x)和非常接近．从极限的观点看，dx越小，近似程度越好．因此

f(x)dx ≈ F(x + dx) - F(x)

且dx越小，近似值越好．dx足够小，则两个值基本相等．

注意，这里我们同时使用了Δx和dx，它们的差别是什么呢？我们使用Δx表示趋于0的数，用dx表示具体讨论中固定的小数．

回到一般情况下的连续函数f及其定义域[a,b]、f的不定积分F和估计 f(x)dx ≈ F(x + dx) - F(x) 上．根据定积分的定义，令n为极大的数，它把区间[a,b]等分为n份．将a,b之间的分割点记为

a = x0 ＜ x1 ＜ x2 ＜ … ＜ xn-1 ＜ xn = b

任意两个相邻分割点间的距离是．因此 xi+1 = xi + dx．因为数n极大，dx非常小．利用刚才讨论的估计，我们得到

f(xi)dx ≈ F(xi + dx) - F(xi) = F(xi+1) - F(xi)

对 i = 0,1,…,n-1 成立．对 i = 0, i = 1,…, i = n-1 连续使用该估计，可知所有这些f(xi)dx的和近似等于

[F(x1) - F(a)] + [F(x2) - F(x1)] + [F(x3) - F(x2)] +…+[F(xn-1) - F(xn-2)] + [F(b) - F(xn-1)]

注意，这些项F(x1) - F(x1)、 F(x2) - F(x2) 直到 F(xn-1) - F(xn-1) 成对相减，只剩下 F(b) - F(a)．可得 F(b) - F(a) 是和式

f(x0)dx+f(x1)dx+f(x2)dx+…+f(xn-2)dx+f(xn-1)dx

的一个近似估计．对以上所有近似值取极限，可得等于 F(b) - F(a)，这个等式就是微积分基本定理．现总结如下：给定一个定义在区间[a,b]上的连续函数f，微积分基本定理告诉我们

其中F是f的不定积分．微积分基本定理给出了计算的基本方法．找到函数f的任一个不定积分F，计算差式即可．不过要注意按顺序计算．求函数f的显式表示的不定积分F可能非常困难甚至是不可能完成的任务．

最后我们给出一条评论来结束积分学的讨论．对给定函数y = f(x)和区间a≤x≤b，定积分是一个数．这个数与函数变量的写法无关．例如和均等于同一个值，即．如果上限（或下限）允许变化，则定积分变为一个函数．例如是一个x的函数（为了不过度使用x，我们选择t作为函数f的变量）．微积分基本定理告诉我们，如果F是f的不定积分，则，从而有，因此函数也是f的不定积分．

旋转体体积和曲线长度　我们先从圆柱体的体积等于底面积乘以高开始．可知高为h、底圆半径为r的圆柱体（见图7-7）体积等于πr2h．

设f是一连续函数，在[a,b]上对所有x满足 f(x)≥0．同前面一样，取一个极大的正整数n，把区间[a,b] n等分，每个子区间的长度．分割点和f的图形确定了一些极细的矩形，典型的一个矩形如图7-8所示．它的左边在x处，长为dx，高为f(x)．现把由图形、x轴、直线 x = a 和 x = b 围成的区域绕x旋转一周．可以看到旋转产生的梨形立体的体积V近似等于从a到b-dx间的分割点所确定的所有矩形旋转产生的小圆柱体的体积之和．典型的圆柱体（由图中的矩形产生）底面积为π(f(x))2、高为dx，故其体积为π(f(x))2 dx．根据我们对的初步定义，可以估计V．取极限即得

．

参考上文中积分与面积之间的联系，可以注意到这个定积分还等于函数的图形从a到b的面积．

图　7-7

图　7-8

也能用定积分来计算曲线长度，方法如下．设f是一连续函数，点 P = (a,c) 和 Q = (b,d) 为它的图形中的两点．如图7-9所示．下面是计算曲线在点P和Q之间的曲线长度L的方法．同样取一极大的正整数n，把区间[a,b]进行n等分，每个子区间的长度．x是一个典型分割点．x+dx是紧邻它的下一个分割点．设(x,y)是图形上的一点，用长为dx的线段和过(x,y)的切线建立一个直角三角形．用dy表示它的高．图7-10展示了“显微镜下”的该三角形．注意到过(x,y)的切线的斜率为．因此．根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的斜边长度为．对它进行因式提取，可得，所以

既然dx极其小，为了方便计算，小三角形里的f(x)图形的弧长等于直角三角形的斜边长度．点P和Q之间的曲线长度L等于从点P到点Q之间的所有这些小弧长的和．它约等于分割点从a变到 b - dx 时，所有项的长和．取极限，我们得到

．

有了这个公式，我们就完成了对微积分基础的简介．

图　7-9

图　7-10

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