无聊的逻辑学：对当方阵

认真想 · 公众号 · 教育 · 2020-04-03 11:11

正文

听说，一叶可知秋，见微可知著。人们常常以为，知道一个人的星座，就能知道这个人的行为模式。还有一次，朋友要看我的无名指和食指的长度比，据说这预示着性能力强不强。

星座一说，纯属闲聊时的谈资，不可当真。手指长度比例的说法，我查了些文献，没找到可靠的依据。但大家不用失望，一叶知秋的方法有很多，容我立刻就向大家介绍一种。

仅仅知道A、E、I、O这四个命题中的任意一个是真是假，我们就可能知道另外几个是真是假。不信请看下面这四个命题。

A：所有的魔法少女都是日本人。

E：所有的魔法少女都不是日本人。

I：有的魔法少女是日本人。

O：有的魔法少女不是日本人。

假设我们知道A是真的，那就能知道E和O是假的，并且I也是真的。假设A是假的，那就知道O是真的，而E和I的真值则不能确定。

假设我们知道E是真的，那就能知道I和A是假的，而O是真的。假设E是假的，那就知道I是真的，而A和O的真假不能确定。

假设我们知道I是真的，那就能知道E是假的，而A和O的真值不确定。假设I是假的，那就能知道E和O是真的，A则是假的。

假设我们知道O是真的，那就能知道A是假的，而E和I的真值不确定。假设O是假的，那就能知道A和I是真的，而E是假的。

以上这段话看似很绕，但如果大家将“魔法少女”和“日本人”以及量词和联词带入到命题中，就会发现，除非我打错字产生笔误，否则我所言非虚。

这是为什么呢？

因为我觉得自己不会有笔误（这话删掉）。

因为我对魔法少女有充分的认识（这话也删掉）。

因为同主词和谓词的直言命题之间，有某种密切的关系。

对当方阵（square of opposition）正是描述这些关系的绝佳工具，这可是古典逻辑最重要的两项研究成果之一，它长这副模样：

这张带对角线的矩形图解来自维基百科，虽然都是英文，但全世界人民学的都是同一套逻辑，所以我们说汉语的人也能看懂A、E、I、O四个命题之间的关系。文恩图里，涂黑的地方表示不存在，红色表示明显存在，粉红色表示暗示存在（亚里士多德观点）。接下来，让我们细说这些命题之间的四种关系。

矛盾关系（contradiction）：方阵里面的两条黑色对角线表示矛盾关系。矛盾关系非常明确，它要求两个命题的真值恰好相反，必然是一真一假。知道其中一个的真值，必然也知道另一个的真值。

反对关系（contrariety）：方阵上面这条横线表示A和E之间是反对关系。反对关系要求两个命题不能同时为真。知道其一为真，另一个必然为假。但知道其一为假，推不出结论。

下反对关系（subcontrariety）：方阵下面这条横线表示I和O之间是下反对关系。下反对关系要求两个命题不能同时为假。知道其一为假，另一个必然为真。但知道其一为真，推不出结论。

差等关系（subalternation）：方阵左右两边的竖线表示差等关系。差等关系是说，上真就下真，下假就上假。如果是上假或下真，那并不能推出什么结论。我编了个口诀能帮助记忆，“差等瀑布里，真水往下流，假气向上飘”。

眼尖的朋友应该发现了，对当方阵的图中，矛盾关系是黑色的线，其他三种关系是灰色的线。这种颜色差异想说明什么呢？

绘图者想说，矛盾关系比其他三种关系更加坚实。无论是布尔观点还是亚里士多德观点，都承认矛盾关系。但布尔观点不承认另外三种灰色线表示的关系。如果按照布尔观点画对当方阵，那就只有两条对角线了，上下左右四条边都不复存在了。

之前提到，在推理和论证的过程中，亚里士多德观点比布尔观点有更多可操作的空间。现在大家就可以看出，如果按照亚里士多德观点，那就可以“举一反三”，从一个命题的真假，得知很多别的信息。而如果按照布尔观点，那就只能“举一反一”，从一个命题的真假，得知少量别的信息。

另外，考虑对当方阵时，不可简单将单称命题看作全称命题。如果将单称命题放入对当方阵里，那就会变成一个很复杂的六角形。至于其中每条线代表什么关系，大家可以自行分析。