编者按：
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数学在经济学中的作用越来越大，主流的经济学研究都离不开数学。国际知名的经济学杂志，如《美国经济评论》除了每年美国经济学会年会的特刊之外，几乎每一篇文章都有数学。自1969年诺贝尔经济学奖颁布以来，获奖者中有不用数学的，但人数要少得多。截至2007年，诺贝尔经济学奖共颁布了39届，62人获奖，而完全不用数学的经济学家只有5位。
在新古典经济学之前，从19世纪30年代，就有学者采用数学；边际革命时期，数学有进一步的运用；但在新古典经济学之后，数学在经济学中的运用不断强化，至少表现在三个不同的方面：一是计量经济学的发展以及在经济理论实证研究中的作用；二是数理经济学的发展；三是博弈论改写经济学。从语言经济学角度看，数学仪仅是经济学思想或原理表达的一种语言，它本身必须符合经济学的节约原则，即表达相同的思想或观点采用最少或者最简练的语言，在语言文字相同的条件下要表达尽可能多的观点或思想。
本文考察了数学在经济学中的运用，分析数学在经济学中到底起什么作用，并采用语言经济学分析数学在经济学中运用的趋势。
一、数学在经济学中的运用：历史回顾 大体上，数学在经济学中的运用可以分为三个不同的阶段：边际革命之前，数学开始在经济学中运用；边际革命到新古典经济学之间，数学开始显现出在经济学中运用的重要性；新古典经济学之后，数学大量运用于经济学。
（一）边际革命之前：萌芽阶段
一般认为，数学在经济学中的运用可以追溯到18世纪威廉·配第的《政治算术》和魁奈的《经济表》。配第试图以简单的统计分析为政治经济学提供“精确性”基础。他努力“用数学、重量和尺度的词汇表达自己想说的问题”。魁奈的《经济表》试图通过理性演绎和数学运算去发现人类社会的“自然秩序”。1826年，屠能（Johann Heinrich yon Thtinen）发表《孤立国》，首次利用了微积分和其他一些变数数学公式来表达若干经济范畴和原理，开启了运用数学模型研究问题的先河。这时，经济学家采用数学仅是作为经济理论的补充。
真正将数学运用于经济学，并且认为数学将在经济学中占有重要地位的是古诺。1838年，古诺发表了《财富理论的数学原理研究》。在该书中，他率先运用函数形式表达了商品的需求同价格之间及产量同成本之间的依存关系。例如，古诺记市场需求为d，市场价格为P，则需求作为价格的函数，就可以记为d=f（p）。古诺著作的伟大成就直到20世纪50年代之后才被充分肯定。1854年，戈森发表《交换规律的发展和人类行为准则》，极力主张应用变数数学方法，并将这种方法看作是唯一健全的经济学方法，并且运用数学建立起了“戈森定律”。戈森的数学非常好，写下了大量的数学符号、公式和图表，并且自比“经济学上的哥白尼”。
在这一时期，大量将数学运用经济学研究的还有马克思。在《资本论》中，马克思在很多地方采用采用数学语言表述自己的观点和理论，但主要足采用简单符号、具体数字以及简单的数学运算来说明不同变量之间的关系。如简单再生产和扩大再生产条件的分析门、利润率和剩余价值率关系的分析哺J、周转对利润率影响的分析哺。
（二）边际革命到新古典经济学之前：地位提升阶段
边际革命的三位代表人物杰文斯、瓦尔拉斯和门格尔都强调对数学的运用，此后，埃奇沃思、马歇尔、帕累托、克拉克等采用数学方法研究经济理论有了进一步发展。
1871年，杰文斯出版《政治经济学理论》，通过四个命题，强调了数学在经济学中的重要地位：（1）经济学的本性是数学的；（2）变量无法精确测量并不妨碍经济学的数学性；（3）经济学所用方法主要是微积分；（4）数学方法是使经济学进步的必要条件。“经济学如果是一种科学，它必须是一种数学的科学。”一3同年，门格尔发表《国民经济学原理》，提出了经济学中的“边际分析法”¨0|。瓦尔拉斯曾经发表《交换的一种数学理论的原理》的论文，提出了现在的“边际效用”理论，在1874出版《纯粹经济学要义》，利用代数方程式，建构出了一套经济学的分析方法，并提出了一般经济均衡理沦，为现在意义上的数理经济学的产生奠定了基础¨¨。
此后，1881年英国经济学家埃奇沃思出版了《数学心理学》（Mathematical Psychics），试图用抽象的数学来刻画边际效用论。在这部著作中，他提出了描述商品交换的著名的“埃奇沃思方盒（EdgeworthBox）”。马歇尔最早足作为一个数学家开始学术生涯的，在其1890年出版的《经济学原理》（上下卷）中，给出现代微观经济学教科书中许多“既直观易懂、又不失数学严谨的曲线图像”。在意大利，最早作为工程师的帕累托受潘塔莱尼奥影响，完全采用数学方法研究瓦尔拉斯的一般均衡理论，提出了“帕累托最优条件”，并在1911年为《数学百科全书》撰写了以“数理经济学”为题目的文章。正是从这个时期开始，数理经济学作为一门学科的名称流传开来。在美国，边际效用学派的理沦得到了克拉克的发展和传播。1892年，作为数学家的欧文·费雪出版了《价值与价格的数学研究》，成为美国比较早采用数学方法研究经济学的学者。
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（三）新古典经济学之后：大行其道阶段
新古典经济学之后，数学在经济学中大行其道，达到了专门化、技术化和职业化的程度，甚至到了登峰造极并主宰经济学的地步，数学化成为经济学发展的主流趋势。
1.数理经济学的建立并得到迅速发展
数理经济学在20世纪的发展，是由许多事件推动的。其中，最重要的可能要数一般经济均衡理论的证明。瓦尔拉斯提出一般经济均衡之后，并未给出准确的数学证明。此后，许多学者致力于该定理的证明。
真正将微积分等现代数学技术运用于表述经济理论的是希克斯的《价值与资本》（1939年）。在这本书中，希克斯以严格的数学对序数效用沦、无差异曲线等概念和理论进行了系统的阐述和完善。1947年，萨缪尔森在《经济分析基础》中，采用数学模型和数学推理，对生产者行为、消费者行为、国际贸易、公共财政、收入分配等各种问题，用求极大值、极小值的方式加以推导。进入20世纪50年代以后，数理经济学的基础由微分转变为集合沦等新的数学工具。在这种转变中，影响最大的首推阿罗的《社会选择与个人价值》（1951）。该书的主题是社会选择理论的公理化，但在其研究过程中，运用集合论技巧，为一般均衡的研究提供了一个框架。
从此之后，为了无穷地追求严谨性、普遍性和简洁性，经济学走向了公理化、形式化和数学化的不归之路，数学化几乎深入经济学的所有领域。
2.计量经济学的建立和发展
计量经济分析是20世纪20年代之后发展起来一项重要经济学分析技术或工具。计量经济学（E—conometrics）是由弗瑞希在1926年发明的，借用了“计量生物学（Biometrics）”的做法。计量经济学会在1930年得以成立，不久《计量经济学》（Econometriea）杂志出版。第一届诺贝尔经济学就授予了弗瑞希（另一个是丁伯根，他也可以看作计量经济学的奠基人。1939年，他编制了世界上第一个宏观计量经济模型）。1955年，克莱茵和金德尔伯格共同构建了一个包括22个方程的美国年度经济的“克莱囚——金德尔伯格模型”，他们还试图把世界上个OECD国家、7个经互会国家和其他发展中国家的模型联系起来，构建·个包含5000个方程的全球宏观经济模型，以分析国际问的经济波动及扩散，并预测全球贸易与资本流向。
20世纪60年代，是计量经济学模型发展的黄金时期。但由于计量模型的预测常常失败，20世纪60年代中期以后，计量经济分析的重心便从模型参数的估计和检验转向到模型设定的方法论讨论，强调对计量经济分析方法与技术的思想本身进行研究，强调对模型同经济理论和统计学原理的一致性进行探讨，运用的范围也从传统的宏观经济领域转向微观领域及其他领域。计量经济学在分析方法得到迅速发展的同时，大量运用于经济学理论命题的实证检验。
3.博弈论改写经济学
在经济学家中，奥斯卡·摩根斯坦最早清楚而全面地认识到，考虑经济行为者决策“互动”性质的重要性。他与冯·诺伊曼于1944年共同出版的《博弈论与经济行为》，成为博弈论的奠基之作。这本书一问世，就被称为20世纪前50年人类最伟大的科学成就之一。一直到现在，这本书也是博弈沦的经典著作。
在冯·诺伊曼和摩根斯坦的贡献的基础之上，约翰·纳什于1951年引入了合作博弈和非合作博弈的区分，并为非合作博弈提出了被后人命名为“纳什均衡”的一般性解概念，从而为博弈论奠定了基础。
哈萨尼于1967—1968年把分析方法拓展到不完全信息博弈，从而为理性行为的分析和信息经济学奠定了坚实的基础。
20世纪70年代以前，博弈论受到的关注相对较少。确切的说，博弈论真正受到经济学界的普遍重视并被视为经济理论的重要组成部分，还只是20世纪80年代之后的事情。博弈论的运用包括不完全竞争、市场均衡、谈判、产品质量、保险、委托——代理关系、歧视、公共物品等微观领域，并且已扩展到宏观经济学、产业组织理论等等。有些经济学家还利用博弈论方法，来分析合作、利他主义、信任、惩罚、报复之类的现象，力图探讨社会规范、制度如何产生的棘手问题。
然而，在数学大量运用到经济学中的同时，也有很多经济学家对数学在经济学中的过度运用提出了批评，并明确提出了数学在经济学中只能够适度运用。马歇尔在《经济学原理》中虽然大量运用了数学，但也同时提出，“经济学上是没有进行一长串演绎推理余地的。经济研究中经常使用数学公式，初看起来似乎主张与此相反的东西；但是，经过研究之后，我们发现这种主张是虚妄的，也许除了某理论数学家为了数学游戏而使用经济学假设的场合；因为那时他所关注的是，根据经济研究已提供了宜于使用数学方法的材料这一假设来证明这种方法的潜力。他对这种材料不负技术上的责任，而且往往不知道这种材料足如何不足以承担他那强大机器的压力。”¨21投入产出方法的创始人列昂惕夫在对《美国经济评论》1972年到1981年10年内发表的所有论文采用数学的情况进行研究后提出，“专业经济学杂志中数学公式连篇累牍，引导读者从一系列多少有点合理但却完全武断的假设走向陈述精确但却不切合实际的结论”，“经济学系正在培育出一代傻瓜学者，他们擅长于难懂的数学，但对实际经济生活却一无所知。”驯1993年的诺贝尔经济学奖威廉·福格尔也曾经指出，“近年来，人们一直把经济理论与经济行为的数学模型相提并论。把模型和理论混为一谈是不幸的。”通过上面的分析，数学在经济学中的运用从最初少数人使用并受到广泛批评，到后来的地位逐渐提高，并日渐成为经济学的主流方法，以至于过度数学化而受到理性地批评，即经济学研究需要数学方法、离不开数学方法，但数学不是经济学，经济学者采用数学必须以解释现实、分析现实为基本的出发点。
二、数学在经济学中运用：语言经济学的视角 从工具主义的角度，数学可以看作经济学家表述理论、建立理论的重要工具之一。数学在经济学中大量运用，推动了经济学理论的发展。但经济学决不是数学，数学在经济学中大量运用并不表示经济学离不开数学。数学也决不能够代替经济学。
简单说，语言经济学就是对语言的经济学分析或从经济学的角度研究语言问题，即语言的采用也要满足经济学原则。经济学强调的是在资源的最优配置，在投人既定的条件下产出最大化，或产出既定的条件下成本最小化。语占经济学也强调在语言文字既定的条件下能够表达最多的内容和意思，在表达内容和意思相同的情况下，能够采用最节约、最简练的语言。因此，简练作为语言表达的一般原则就体现了语言经济学的意思。
就经济学的语言而言，主要是文字表述、数学图形和数学符号阐述，就同样的经济学理论的推导和表述而言，在不同的经济学语言之间选择的时候，也要遵循经济学的原则。也就是说，选择文字表述、数学图形还足数学符号阐述，在对理论的推导没有影响和理论内容的表达完全相同的情况下，要追求最节约的原则，即用最短的篇幅或最精练的推导或阐述既定的思想或理论。如果仅仅采用非常简单的文字就能够将相关的理论推导出来并阐述清楚，未必要采用高深的数学或其他表达，这实际上体现的是文字逻辑的魅力。如果仅仅用文字无法推导或论证相关的命题或假说，就需要考虑采用数学图形或数学符号。对于某个命题或假说的论证和表述，在数学图形和数学符号之问也存在选择，也要遵循简练节约的原则。对推导或表述相同的命题或假说，如果图形简练就采用图形，如果数学符号简练就采用数学符号。相反，如果数学图形或数学符号推导比文字表述更加节约、更加简练的话，就采用数学图形和数学符号。
上面的分析有一个假定，所有的主体对文字、数学图形和数学符号的接受都是相同的，即在经济学理论的交流和传递中，这些不同的语言对所有的人都是无差异的。然而，不同的学者、不同的主体对语言文字、数学图形和数学符号的学习和接受能力足不同的，那么我们不能够假定所有的主体都是同质的。但语言是用于交流的、传递信息的，经济学的语言足为了交流或传递经济学思想或理论，如果一种语言仅有少数人能够明白的话，那么这种语言就可能起不到交流或传递思想的作用，这就违背了在语言文字既定的条件下表达或传递最多思想或向最多的人表达或传递最多思想的经济学原则。
对于经济学研究而言，数学在命题或假说的推导方面有非常重要的作用，因为数学的逻辑非常严密，但数学作为一种工具或理性的逻辑与现实的客观世界存在差别。在数理经济学、博弈论以及计量经济学中，都有大量的假定前提，比如博弈论假定所有的博奔主体都足同质的，都是完全理性的，在这种假定下，所有主体都跟自然界中的“没有生命”、“没有理性”或者“不能够存在个体理性”的物体一样，这对自然科学的研究的确适用，但对于研究复杂世界中能够进行理性思考并且理性思考能力对存在差异的个体而言，适用性有多大或者在多大程度上适用也是一个问题。这样，采用数学语言推导出或表述的经济学与现实世界就不可避免地存在偏离，而采用数学语言对研究、发现和表述经济学命题或假说又是非常重要的，那么这就需要权衡（tradeoff），即在数学可能造成的对经济学真实命题或假说的扭曲与数学对经济学命题或假说推导或发现的重要性之间进行比较。这实际上也体现了在经济学中数学语言选择或应用到什么程度的问题也需要进行经济学的分析。
从经济学中数学运用的发展来看，数学要么是深化经济学研究，要么是便于表述经济学理论、命题和假说的。从经济学的初级到中级到高级的发展，深化、细化了研究的问题和论证的过程，因为只有采用数学作为推理和表述的工具才能更加准确、深入地阐明经济学的理论和命题，从人们对经济学数学语言的接受来看，也体现了数学作为经济学语言的交流和传递信息的功能。语言具有网络性，即随着接受者的逐渐增多，其作用会越来越大，对接受者的效用也越来越大。在古诺最早采用数学语言表述财富理论的时候，没有经济学家接受，是囚为其他经济学家对古诺表达经济学理论和思想的数学语言不知道；到边际革命的时候，门格尔、瓦尔拉斯和杰文斯等在经济学中采用数学，虽然大多数经济学家没有采用数学，但抵制的程度明显减弱；到20世纪之后，随着博弈论、计量经济学等等的发展，希克斯于1939年出版《价值与资本》、萨缪尔森1947年出版《经济分析基础》，遭到的抵制与反对就更少了；20世纪50年代之后，越束越多的经济学采用数学语言建立经济模型、分析经济问题，数学成为大多数经济学家采用的工具和语言，以至于形成了不采用数学作为基本的工具和语言就无法融入主流经济学的状况，要在世界顶级的经济学杂志发表论文必须采用数学作为工具和语言，从而形成了经济学已经离不开数学的局面。
三、结语 数学作为一种工具和方法，在经济学的研究中得到了广泛的应用。中国经济学者也正在越来越多地采用数学方法。但数学毕竟只是一种工具，是经济学表述和推理的一种语言，它在经济学中的运用也必须贯彻经济学基本的原则，即节约，要将有限的时间和资源配置到最有效率的地方，而不是毫无限制、毫无目的的采用数学，更不能为数学而数学，否则就脱离了经济学研究的本来目的。经济学是致用之学，是为解释现实问题，预测未来服务的，如果经济学脱离了现实的基础，那么就违背了基本的经济学原则。
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