数学与艺术——理性与感性的灵魂碰撞

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数学与艺术

——理性与感性的灵魂碰撞

作者：韩笑

作品编号：002

投稿时间：2019.4.25

众所周知，数学在漫漫历史长河中以其独特之美傲立于群雄，在各个领域发挥着不可替代的作用。艺术则给我们带来了直观的美感，同时也间接地传达了它的内涵。艺术无处不在，数学也是。有人曾说，要把数学当成一门语言来学习。我非常同意这句话，但我更觉得，数学其实就是一门艺术。

我国著名绘画大师徐悲鸿说过：“艺术家与数学家同样有求实的精神，研究科学，以数学为基础；研究美学，以素描为基础。”（而素描又是以透视学（数学）为基础的）。

中学时期读到美国作家丹·布朗写的《达·芬奇密码》时，我便对数学这门艺术深深折服。其实确切地说，我不是从数学角度去认识艺术，而是从艺术角度——达·芬奇的画作重新认识了数学。这本书以达·芬奇的画作以及各个记号为线索，通过寻找其隐含的规律，解出最终暗含的秘密。

其中让我影响深刻的就是PHI，它是希腊字母的第21个字母，发音为“fee”，代表黄金分割的数值：1.618（取3位有效数字）。PHI被认为是世上最美的数字。它存在于自然界的各个角落：一个蜂巢中雄蜂与雌蜂的比率、鹦鹉螺身上每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径之比、在花盘上呈相反的弧线状排列的向日葵花籽相邻两圈之间的直径之比、螺旋形的松果、植物茎上叶子的排列、昆虫身上的分节……这些竟然全都完全符合黄金分割比，这让我不禁惊叹于大自然的鬼斧神工。

这绝不是一种巧合。

PHI源于斐波纳契数列，这个数列不仅仅是相邻两项之和等于最后一项那么简单，它的相邻两项相除所得的商约等于1.618，即PHI，从而造就了斐波纳契数列的数学地位。如图 3 斐波纳契弧线，是不是很像鹦鹉螺啊。

著名画家列奥纳多·迪·皮耶罗·达·芬奇则将这个美丽的数字应用于他的画作中：《维特鲁威人》，这幅画反映出的是人体的精妙结构：人体的结构比例完全符合黄金分割比。我们每个人都是离不开黄金分割的生物。《蒙娜丽莎的微笑》中蒙娜丽莎的脸是典型的黄金分割，由此造就了其神秘莫测的千古奇韵。不止达·芬奇，米开朗琪罗、阿尔布莱希特·丢勒等其他艺术家在设计创作时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比。那么只有画吗？当然不是！希腊巴特农神殿、埃及金字塔、纽约联合国大楼、莫扎特的奏鸣曲、贝多芬的《第五交响曲》……艺术中，PHI无处不在。

也许上面讲述的还不那么容易理解，那么我就来讲一个我们大家都无比熟悉的图形——五角星。五角星可谓是黄金分割比的首要代表。如果你画一个正五角星，那么那些线条便会自动被分割为遵循黄金分割比的几个线段。不信？我真的算过！

当时的读到这里的我被深深震撼，第一次深切感受到了自己整天埋头苦学的抽象数学竟然有如此惊人的作用，我想我对数学的浓厚兴趣也由此而来。

确切地说，是对数学与艺术之间产生的化学反应有了兴趣。

后来，偶然在一个综艺节目上认识到了繁花曲线，当时节目中用子母尺绘出的“繁花”真的惊艳到我了。那些繁花的对称美给人一种舒适感。它的原理是这样的：大小齿轮的齿数之比，约为最简分数时，其分母就是小齿轮的自转数，分母与分子之和就是图案中的花瓣数。而分子就是小齿轮沿着大齿轮的公转数。这样一个简单的数学规律应用于艺术之中竟如此的不同凡响，难道还不能说明数学之美吗？

图 5 繁花曲线

事后屈服于自己的好奇心，我特意网购了一套繁花曲线尺在家里自己玩，玩的不亦乐乎。我发现只要知道了上述的最简分数，就能知道画出来的是什么样的图形。除此之外，还可以自己事先构造一个繁花图，来反推子母尺的半径和齿轮数。这是一个非常愉悦的过程。

繁花曲线让我想起了小时候，我喜欢收集大小不同的瓶盖，把它们按在墙上描圆（从小就喜欢乱写乱画），大小不一，相互交错，然后再小心翼翼地上色，心里美到开花，现在想想当时要是有繁花曲线尺我岂不是要上天？

突然想到大一学习解析几何时（不出意外我有幸成为了数学系的学生），老师讲到了一个玫瑰曲线，记得当时我成功用MATLAB绘出这个曲线时差点激动地跳起来！然后坐在凳子上静静感叹数学的神奇……

数学中不可能只有玫瑰曲线的，我当时想。

我们所处的这个时代太好，想知道的都可以轻易找到。于是我从网上得知一种更美的曲线——蝴蝶曲线。顾名思义，根据其方程绘出的是一蝴蝶形状的图形，栩栩如生。

图 6 三叶玫瑰曲线

图 7 蝴蝶曲线

理科生之间流传着这样一个爱情故事：笛卡尔是克里斯汀公主的数学老师，后来两人心生爱慕，但国王知道后勃然大怒，下令将笛卡尔流放，将公主监禁。笛卡尔回到法国后便染上重病，他日日给公主写信，但都被国王拦截。在他寄出第13封信后就气绝身亡了。这第十三封信上只有这一行字：r=a(1-sinθ）。国王看不懂，召集全国数学家解题，没有人看得懂这到底表达什么意思，国王又不忍心看着克里斯汀公主整天闷闷不乐，就把这封信交给了她。公主看到后，将这个图画了出来，图形是一条心形线，克里斯汀立刻明白了恋人的心意。这就是著名的“笛卡尔心形线”。于是当一个理科男想要表白时，我们常开玩笑让他借鉴笛卡尔。其实说真的，我觉得这很浪漫啊！只可惜没有男生用心形线给我表白过，我在想要不下次我跟别人表白的时候自己试试？

图 8 心形线

前几天在公众号读到一篇推文：13个圆可以画什么？我对天发誓不论怎样出人意料的艺术与数学结合的作品展现在我眼前，我都不会再大惊小怪了，因为我坚信，数学有能力做得到！不信你看，某设计大神用13个圆设计出了Twitter logo。受到该设计大神的启发，加拿大艺术家多洛塔·潘科夫斯卡利用同样的方式，用13个圆，创造出13中动物图标。由此可知，艺术家的想象力与创造力，同时还有应用数学的能力，你不得不服。

图 9 twitter logo

从前我们玩过的七巧板则跟上述设计原理如出一辙，我还记得通过自己的不懈努力拼出了很多好看的小玩意儿：风车，房子，阿拉伯数字……现在突然有了理论支持，感觉自己连玩个游戏都跟别人不一样呢！

其实数学的艺术表现并不难理解。我们在学习某些数学概念时，就会讨论它的几何意义：比如函数在某点的导数是这个函数对应的曲线在该点的斜率，比如某个函数在某个区间上的积分是被积函数对应的曲线在该区间上与x轴围成的面积（曲边梯形的有向面积），二重积分则是曲顶柱体的有向体积……如此说来，数学与艺术的结合，是直观且必然的事。