数学不好？可能是你看待数学的方式不对：关于数学的心理表征

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编译团队 | Arcturus 卫青

我们都十分熟悉乘法表，它在全世界的课堂教育和家庭教育中都占据核心地位。

标准乘法表

你无法从这幅图中挑出任何毛病。这一表格相当直截了当：看起来就像一连串彼此独立的，事实真理的矩阵集合。它一直被反复地学习、记忆和回顾。然而，在受过训练的人眼中，这一表格的展示方法和表格结构可以是多种多样的。就好像在黑客帝国中，塞佛看到的从来不是代码一样，在数学家从表中看到的夜不仅仅只是100个独立的数字那么简单。

可能他们看到的是这样的：一个按比例的乘法网

基于面积的乘法表

通过这一简单的调整，抽象的乘法表一下变得形象起来。不仅仅只是将数字转化为尺寸和比例，通过用几何的方法表示数字，用面积表示乘法，它将原本彼此独立的概念彼此联系了起来。

通过合理运用颜色，我们能得到一种不同类型的结构：以下图为例，乘法表可以被看成较小的乘法表的嵌套集合。

给乘法表添加一些颜色

每一层的形状和大小可以带来一些新的认知。总的来说，它将原本的知识以一种全新的方法展示出来：你能看出为什么前n个奇数之和等于n²吗?

Malcolm Gladwell在《异类》一书中宣称，通往大师的路需要一万个小时的练习，然而这一理论过于粗略和简单。《刻意练习：如何从新手到大师》的作者Anders Ericsson在书中给出了自己自主研究的研究过程。他强烈谴责Gladwell随意定下的一万小时定律（不同学科之间乃至学科内部都存在巨大的差异）。更重要的是，Gladwell并没有意识到不同练习方法所带来的影响。而Ericsson的研究以及他书里的核心思想，都是以刻意练习这一原则为前提的。

刻意练习最大的贡献在于它能帮助我们建立的心理表征：那些在我们长期记忆中早已存在的信息模型。

心理表征可以帮助我们建立对数学的整体看法。心理表征越多，效果越好。透过简练的标题，AdamGrant在《离经叛道》一书中勾画出了关于天才们创造性的关键特征。其中一个特征就是：当他们接手任务时，往往能形成更多的想法。在数学学习上同样试用：你想到的解决问题的方法越多，解决问题的可能性就越高。而这些想法源于我们的心理表征。

但是就像不是所有的练习都能带来相同的效果一样，有些心理表征比其他的更强势。这解释了为什么很多离开学校的人能熟练使用乘法，却缺乏对数字的敏感和直觉。他们的心里表征更多注重“记忆”而不是“理解”。当学生们把乘法的结果作为彼此独立的结论集合来记忆时，他们很难把这些东西与更广泛的数学主题联系起来。最好的数学家们往往把乘法理解为彼此关联，丰富多彩的概念中的一部分。对他们来说，理解越深，使用越得心应手。

素数在课程安排中并没有得到应有的重视。对于很多人来说，素数被简单理解为只拥有两个约数的数字集合；课程大纲上的一个知识点；或是用来帮助计算最大公约数、最小公倍数以及考试中常见的一些其他值。然而，对于数学家来说，素数被称为数学学科的DNA。这个生物学比喻背后是有原因的，不是因为偶然或者无聊而给的。

算术基本定理告诉我们，每个整数都可以唯一分解为素数的乘积。越是专注于这个定理，越能体会的素数的意义非凡。这个定理是如此的恰到好处，甚至蒙上了一层神秘色彩，从而衍生出了那些数学上最难被解决的问题（例如：黎曼猜想）。

感受素数的独特魅力并不只是专业的数学家们的特权。通过建立正确的心理表征，我们也能感受到素数那令人兴奋、好奇以及困惑的惊人魅力。下图展示了1-100数字表，可能你从来没见过这样的形式，向图片的作者DanielFinkel致敬：

Daniel Finkel所创的包涵素数概念的1-100数字表

正如Finkel本人所建议的，要让这个网格生动形象起来。探索它的模式，把玩它的结构，深入了解乘法以及感受素数在乘法表中的主导地位。

如果在学校里数学对你来说仅仅一大堆毫无意义的符号，那么恭喜你，这里有一个迷人的、完全不同的世界在等着你。数学充满了丰富多彩的心理表征，这些心理表征能帮助我们理解并建立不同概念和知识间的联系。这也是数学家们沉迷数学的原因。

我是一名从数学家转型的教育工作者，目前专注于与数学、教育和创新关系有关的工作。欢迎通过Twitter或者LinkedLn与我联系。

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原文链接：https://hackernoon.com/you-werent-bad-at-maths-you-just-weren-t-looking-at-it-the-right-way-7b11fb0a0982

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