凯利公式：来自贝尔实验室物理学家的“财富公式”
来源：量化投资小白菜
编辑：Gemini
今天说说一个来自贝尔实验室物理学家的“财富公式”。
传说中的“财富公式”
上世纪60年代，一向纸醉金迷、莺歌燕舞的美国赌场风云突变。几位神秘客横扫各大赌城，用匪夷所思的方法大把捞钱，美国各大赌场一时间乱了手脚。他们是几位让世人顶礼膜拜的科学家，把自己的实验室搬到了赌场！他们的目的就是在实践中证明一条“财富公式”。这个“财富公式”就是美国著名物理学家约翰·凯利在1956年提出的一个数学公式，被称为“凯利公式”。它主要利用市场中最好的预测者所预言的赔率与赌场公布的赔率之间的差距下注，这个公式就是资金管理的核心思想。
凯利公式的缘起
凯利公式起源于上个世纪60年代，原本是为了在信息传输过程中，降低噪音在通讯中的干扰，使噪音干扰引起错误的可能性降低到零，后来被人应用到赌场的投注比例上和投资的资产配置上。其实公式的作者，John Larry Kelly，并不是一个资深赌徒，而是一位著名的物理学家，他发明这个公式的时候正是著名的AT&T的Bell Lab 中的一名研究科学家，研究方向是当时还算新兴前沿的电视信号传输协议。凯利的方法参考了香农关于长途电话线的嘈音的工作。值得一提的是，据说香农本身也是一个优秀的投资人，数十年收益率在20%以上，当然这些与他本人在信息论中的成就相比显得并不为人所知。
由于Kelly 公式着眼于长期回报率和风险的控制，所以天然就吸引投资人想要把它应用在投资当中。比如著名的传奇数学家Edward Thorp读了John Kelly的论文之后，先是自学Fortran用IBM大型机开发了一套专门用于21点的算法(感兴趣的同学可以去看下电影21，电影里的算牌（card counting）的方法正是获得edge的来源），带上John Kelly的导师在拉斯维加斯大把吸金。之后又专门成立了一个hedge fund - Princeton Newport Partners,该对冲基金成立二十年净值增加了二十倍。
公式表达式
凯利公式的表达式为f*=（bp-q）/b，其中f*为计算出来的凯利最优投资比例，b为赔率，即期望盈利/预计亏损，p为成功概率，q为失败概率，即1-p。凯利公式认为，只要投资者每次都用全部投资金额的f*比例来进行投资，就可获得长期增长率的最大化，并且不会有破产的可能（当然这只是理论上）。
f* = (bp - q) / b=p-q/b
其中，f* = 投注金额占总资金的比例
p = 获胜的概率
q = 失败的概率，q = 1-p
b = 赔率，例如在轮盘赌中押单个数字，b = 35，押红黑，b = 1。
举例比如21点下注问题，假设总赌本10,000美元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1（实际胜率和赔率略有偏差，但相距不大），那么凯利公式给出的最佳赌注是：
$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200
凯利公式解读之一、赢面越大下注越大
我们暂且不谈公式的理论推导，那个可能涉及到很多数学，我们先来弄明白公式背后真正的“意思”。
首先，公式中分子的bp - q 代表“赢面”，数学中叫“期望值”(expectation)，凯利公式指出：正期望值的游戏才可以下注，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有赢面，决不下注”。
凯利公式解读之二、要以大博小不要以下博大
其次，赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。 这一点不容易直观理解，我们用个例子来说明。 下面三个正期望值的游戏，你看看选哪个：
1. “小博大”：胜率20%，赢了1赔5，输了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%
2. “中博中”：胜率60%，1赔1。bp - q = 1*60% - 40% = 20%
3. “大博小”：胜率80%，1赔0.5。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%
三个游戏的数学期望值一样，都是20%，或者说押100元平均赢20元。 按大部分国人的赌性，恐怕会选“小博大”游戏吧？ 但是用凯利公式中的“b”一除，“小博大”游戏只能押总资金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。 赢钱速度“大博小”快多了！ 前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗？ 说的就是这个了。
现实中，爱玩“小博大”的多半是赌客。 谁爱玩“大博小”呢？ 赌场！ 华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”，因为便于使用杠杆（押大赌注）。
凯利公式在实战中的几点注意事项
首先，凯利公式适合于赔率和胜率都是固定的赌博游戏，而期货策略的胜率其实是很不稳定的，都是事后统计的，依赖于统计的时段选取，并不是一个固定的稳定的值。
举个例子，假定一个抛硬币的简单赌局，正面赢2元，反面输1元，很容易确定赔率b=2，胜率p=0.5，最后得出f*=0.25，即每次应当投入到赌局中的资金比例为当前总资金的25%。而在现实投资中，这两个参数都是很难确定的。
大部分情况下，投资的赔率和胜率并不是事先确定好的，投资者需要自己估计。虽然预先确定好止损和止盈或许可以确定交易的赔率，但是交易的胜率是根本无法确定的，这完全需要根据经验或者历史统计来估计，这就导致最后计算出来的结果并不是最准确的资产配置比例。
一句话，现实中的投资并不像抛硬币赌局那么简单的游戏，投资是一个不断变化的游戏，凯利公式只能作为资产配置的参考。
其次，凯利公式有一个非常重要的假设经常被投资者忽略：投资者单次最大损失为此次投资的全部金额。所以无论如何，每次亏损都不会涉及剩余本金。而在期货投资或者是其他具有杠杆的衍生品交易中，如果没有设置止盈止损，单次投资的盈利和亏损可以说是没有限度的，有时会造成资产曲线很大的振幅，亏损严重时甚至会导致没有足够的资金继续交易，这也是凯利公式作为资产配置在实际应用中的需注意的问题。举个例子，假设投资者有100000元资金投资某个一手保证金为40000元的产品，交易策略的历史统计比如是赔率b=5,胜率p=0.5,，根据凯利公式可以计算出最佳投资比例为40%，按照总资金计算，即40000元，可以交易一手该产品。比如若干笔交易之后，期末资金亏损至38000元，已经不足一手保证金了，除非注入新的资金，否则将无法继续进行接下来的交易。虽然计算出来的最佳投资比例是40%，但是实际资金占用比例往往是不能精确满足的，这是由于投资标的物的最小单位是40000元，这也是凯利公式的假设在实际应用中的一个缺陷，货币与投资产品不能无穷分割。
凯利公式在投资中的应用
1、凯利公式在仓位控制中的应用
最直接的应用就是仓位控制，不过如上所述既然凯利公式中的胜率和赔率都是动态的，突发事件、大资金流动等因素都会在短期内对胜率和赔率产生巨大影响。在实际投资中，就要根据情况，适当地调整仓位。然而，一方面考虑到交易成本，频繁地进行加仓减仓也是不切实际的。另一方面，由于投资标的无法无穷分割，要使资产配置精确达到凯利值很难。所以，根据经验，一般凯利值变化超过10%，才有必要调整仓位。
2、凯利公式在选股和建立投资组合方面的应用
在投资组合的应用中，也经常以 f = excess return/variance 的形式出现，在某种意义上f的数值越高也就是投资的价值越大，比如一个简单的选股策略是 a.计算股票池中每只股票的Kelly leverages 作为排序score（这里过去一年内每日收益的mean/var） b.从大到小进行排序，选出前10名的股票，价格在5日均线之上时才购买，平均购买，每月调仓。
凯利公式的推广之一
注意，这个广为人知的公式只适用于全部本金参与的情形，即输的情况下，亏光，而适用更为广泛的凯利公式是：f*=(p*rW-q*rL)/rW
其中f*,p,q同上，rW是获胜后的净赢率，rL是净损失率，rW/rL是盈亏比。
比如，我有1万元买股票，30%幅度止盈，10%的幅度止损，最多盈利3000，最多亏损1000，这里rW=0.3，rL=0.1，此时可以计算最优仓位，但是由第一个公式是算不到的，主要原因是这里我并没有投入所有本金。
换句话说，第一个公式不过是第二个公式里rL=100%的情形。
最后说几句，John Larry Kelly (1923 - 1965) 42岁的时候就不幸去世了，我猜想对于他个人来说，更希望被人铭记的不是拉斯维加斯赌场和hedge fund 之类的掘金工具，而是他作为科学家最骄傲的一个时刻 － 1961年，和同事Gertsman一起，在Bell Lab 用IBM704合成了人工声音（Synthesize Speech），Kelly 的 vocoder制作了歌曲 Daisy Bell. 史上第一首由电脑合成的音乐.
就在这一年，一个叫做Arthur Clarke的作家访问了Bell Lab, 被这个人工合成的声音和音乐震惊，将这一幕写入了他的科幻小说。
又过了七年，一个叫做Kubrike的导演让一台濒死的电脑HAL在科幻电影里把这首歌曲唱了出来， 这是对科学家Kelly最好的致敬和缅怀。（来源：深大量化投资 作者：王雄）
往期精彩文章：
第一个被认为“科学家”的人:泰勒斯
数学思维比数学运算更重要
二十世纪的十大科学骗局
瞎扯现代数学的基础
x背后的轶闻趣事
主宰这个世界的10大算法
16个让你烧脑让你晕的悖论
机器学习中距离和相似性度量方法
传说中的快排是怎样的
玻璃秘史：一个人 改变了全世界
程序人生的四个象限和两条主线
比特币的原理及运作机制
概率论公式，你值得拥有
分类算法之朴素贝叶斯算法
采样定理：有限个点构建出整个函数
