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到底什么是赝矢量？如何彻底理解角速度？

中科院物理所  · 公众号  · 物理  · 2025-01-24 10:47

正文

很多人对角速度的方向感到困惑，物体实际上不是在一个平面内运动吗？可为什么角速度的方向却是垂直于该平面呢？


类似的还有力矩，如下图，你明明是握着把手使劲拧的，你的力是在竖直平面内的使的，可为什么由此导致的力矩——其方向却被定义为水平的呢？


另外，第一次学矢量叉乘的人也会感到困惑，明明两个都在一个平面内，为什么乘积却在垂直方向？


很多人对此类问题都有一种说不清的（俗称莫名其妙）的感觉，感觉物理学太反直觉、太不讲道理了！怎么能这样胡乱定义呢？


而面对同学们的这种疑问，绝大多数老师却只能一本正经地教导曰：“这是定义，聪明的物理学家们一致同意这样定义，不要问为什么！”


这样一来，学生只能带着不爽和半信半疑继续学下去，时不时怀疑自己的理解力，觉得物理学太玄了，自己学不会。


然而，我要说的是，所有为此感到困惑的同学，你们都是正常的，而那些没觉察到任何问题的人，相反很可能是不求甚解不懂装懂！


因为，只有具有正常——甚至超常理解力的人，才能意识到这样的困惑，这种困惑恰恰是他敏锐的物理直觉所必然导致的。

什么叫物理直觉？

对普通人来讲，就是根深蒂固地存在于自己的大脑，但自己却意识不到的一种洞察力，是人们对大自然的长期观察中所获取的基本经验和认知。

那么，在角速度的方向这个问题上的困惑，是由哪方面的物理直觉呢所触发的呢？诸君且听偶慢慢道来。

我们都有这样的经验——

湖面平静如镜，说明此时湖面上空没有风；一起上课的两个同专业的平行班，平均分差10多分，这是很难理解的；在打台球时，只要你确保沿水平方向击球，球绝对不会竖直跳起来；养鱼场的若干大小一样的鱼塘，只要平衡养殖，各个鱼塘的产量应该差不多......

上面这些事，背后的直觉都源于同一个规律，它就是因果关系（causal relationship）。

什么是因果关系呢？

简单的说就是，相同的原因导致相同的结果。

例如，有人通过实验制备了某种化合物，那么可以肯定，只要保证下次的实验条件完全一样，那一定也会得到同样的化合物。再例如，一个函数，只要所有的自变量取与上次一样的值，则函数值必定也是一样的。



实际中，若系统具有对称性，进行相应的对称操作后，系统与原来不可分辨，即等价。例如球体具有绕球心的旋转对称性，所以绕球心旋转任意角度保持等价。电路的等值电阻具有置换对称性，所以交换位置后，电路保持等价。

基于这种理解，“相同”可用“等价”代替，而“等价”其实就是“对称”，故因果关系又可说成：对称的原因导致对称的结果。

因果关系的这种表述也被称作对称性原理（symmetry principle），它是物理学中的一条基本原理，是居里夫人的丈夫、法国物理学家皮埃尔·居里（Pierre Curie，1859~1906）于1894年提出的。


详细点说，对称性原理包含三点意思：①原因中具有什么对称性，则结果必定也具有这些对称性；②可能有时候，原因中没有某种对称性，但结果中却含有某种对称性；③如果结果具有某种不对称性，则原因中必然存在相应的不对称性。

上面的3点意思可浓缩成两句话：①结果中至少包含原因中的那些对称性；②结果中的不对称性必定存在于原因中。

例如，均匀带电球壳的电场必然是以球心为中心的辐射状，因为电荷具有球对称性，所以电场也具有球对称性。若某处电场方向偏离径向，则球体必然在某处存在缺陷。


理解了对称性原理，我们再回头看角速度。


看上图，物体始终在一个平面内运动，该平面（也叫转动平面）是系统的对称面。根据对称性原理，系统所有的物理量，应关于转动平面对称。因此，任何矢量不可能有垂直于转动平面的分量。

这说明，角速度若真是矢量的话，它不能有垂直于转动平面的分量，否则就破坏了对称性原理！但是，角速度的方向却偏偏被定义为垂直于转动平面的方向！怎么办？

要保证对称性原理不受影响，解决方案只能是：将角速度约定为矢量之外的某种东西。换句话说，角速度不是矢量！同样的道理，力矩也不是矢量！

慢点慢点，可是教材上不是说它们都是矢量吗？这又是怎么回事呢？


这其实是一个误会！且看下文的解释。

根据本文开头的讲解，角速度这类量描述的是一个平面内的事情，用顺时针或逆时针来描述足矣，根本扯不上矢量，真正的物理学家当然知道这一点。


但同时，物理学家又发现，根据右手螺旋法则，顺时针和逆时针可分别与垂直于转动平面的两个法向形成确定的对应关系。这样一来，就可把这类量定义为一种特殊的量，它们也有方向——按照右手螺旋法则来确定。


有了方向之后有啥好处呢？有了方向，它就和速度、力和电场强度这类矢量一样，服从相同的加法、减法、点乘和叉乘运算规则了。

那么，该如何称呼这种特殊的量呢？

既然它们不是矢量，但又类似矢量，那不如将它们归为一种“假的矢量”，即赝矢量（Pseudovector）。顾名思义，在物理学家心中，赝矢量不是矢量。

但由于赝矢量具有与矢量一样的数学运算规则，故在数学家的眼里，它就是矢量，于是物理学家有时也省掉“赝”字，直呼其为矢量了。
于是误会就这么产生了！

但严格的讲，赝矢量不是矢量，因为它的方向是额外强加的。

例如磁感应强度  就是一个赝矢量，平时大家看到的磁场的示意图，那个方向（如下图中的红色箭头）其实是也硬加上去的。


如下图所示，空间关于电流环左右对称，任何矢量若有垂直于电流环平面的分量，对称性原理就被破坏了！所以磁场自己也很冤——俺可不敢对抗对称性原理啊，俺不是矢量，这个方向是人类强加给我的，与俺无关！


对于电场强度  ，就没有这个问题了。如图所示，一个无限大带电平面，因为两边的电场是关于平面对称的，符合对称性原理，故电场强度是矢量。


但问题似乎还是存在，因为赝矢量有方向，所以还是破坏了对称性！怎么办呢？

不不不！这个方向是人为额外加的，并不是系统本来就有的，所以不存在破坏对称性原理的问题。

如果你还觉得不够踏实，物理学家和数学家给了一套完美自洽的解决方案——为赝矢量约定了与矢量不同的镜面反射规则。

矢量的镜面反演规则为：垂直于镜面的分量，反演时方向反向，而平行于镜面的分量，反演时方向不变，如下图左半部所示。而赝矢量的镜面反演规则为：垂直于镜面的分量，反演时方向不变，而平行于镜面的分量，反演时方向反向，如下图右半部所示。


这样一来，就好办了，碰到既有矢量又有赝矢量时，只要按照各自的反演规则处理就行了。你会发现，只要这样做，对称性原理就不会有任何问题了！

例如，如下图所示电流环的磁场，线圈两边的磁场同向，看起来好像破坏了左右对称？


但实际上，由于磁场是赝矢量，对垂直环面的磁场来说，其镜像本来就应该同向，没有破坏对称性！

现在磁场总算可以安心了——偶现在与对称性原理高度一致啦！
 

到此，我们了解了赝矢量的本质——

它本来就不是矢量，它描述的是一个平面内的事。但为了数学上的方便，人们给它强加了一个方向——沿平面的垂直轴。正因为这个原因，赝矢量也称轴矢量（axial vector）。


现在剩下最后一个问题：为什么矢量叉乘得到的量，其方向与两个矢量所在平面垂直呢？

原因很简单，因为它本身也是赝矢量！实际上，凡是由两个矢量的叉乘得到的量，它必然是一个赝矢量。

根据对称性原理，既然叉乘的两个矢量在一个平面内，该平面是系统的对称面，而叉乘后得到的量的方向却垂直于该平面，如果它是矢量的话，它就破坏了对称性原理，故它必须是赝矢量。


同样的道理，矢量与赝矢量叉乘，得到的必须是矢量，否则破坏了对称性原理。例如安培力，它的表达式为 
虽然磁感应强度是赝矢量，但它与矢量  叉乘得到的力必定是矢量。

如下图所示，电流和磁场构成的系统看起来是左右对称的，而安培力却向左，这好像破坏了对称性原理？


因为  是赝矢量，它通过竖直面的镜像应该是反向的，所以电流所在的竖直面不是对称面，故系统本来就没有关于竖直面对称，因此安培力并没有破坏对称性。

更一般地，某个量，若由奇数个矢量叉乘得到，它就是矢量，而若由偶数个矢量叉乘得到，它就是赝矢量。

可见，如果不引入赝矢量，连叉乘这件事，在物理上与对称性原理无法达成一致！而现在好了，借助赝矢量这个美妙的发明，数学运算和物理原理和谐一致，构成了一个完美自洽的理论体系。

END


来源：物含妙理

编辑：凉渐

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