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奇妙的幻方(1)

好玩的数学  · 公众号  · 数学  · 2016-12-17 11:55

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传说上古伏羲氏时,有龙马从黄河里跳出来,背上负着河图;有神龟从洛水里跳出来,背上负有洛书。伏羲氏根据河图、洛书演化成八卦。洛书便是最早的幻方,用现代数学语言解释,就是 用1~9九个数字,填在九个格子里,使每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15。


河图洛书


用数学语言表述,幻方是指在n×n(n行n列)的方格里,既不重复又不遗漏地填上n个连续的自然数,每个数占一格,并使排在任一行、任一列和两条对角线上的几个自然数的和都相等,这个和叫 幻和 ,n叫 幻方的阶 ,这样的数表叫 n阶幻方


下面介绍几种构造幻方的方法。


九子排列法

我们宋代数学家杨辉总结“洛书”幻方的编排方法是: 九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出。


第一步:九子排列,把1~9按下图排列出来。


第二步:上下对易,把上下两个数9和1对换。


第三步:左右相更,把左右两个数3和7对换。

第四步:四维挺出,把4,2,8,6四个数突出来。

这样就构造出一个三阶幻方。


巴舍法

九子排列法只可用于构造三阶幻方,而巴舍法可以用于构造任何 奇数阶幻方 。这里我们以构造三阶幻方为例来讲解巴舍法。


假设有一个三行三列的格子。

第一步:先在两侧制造阳台,上下造天台、地下室。

第三步:爬梯填数。

第四步:把原来没有的阳台、天台、地下室的数填到它所在位置的对面。

第五步:把所造两侧的阳台、天台、地下室及里边的数去掉,一个三阶幻方就制作成功了。


练习

给大家布置一个练习:请你用巴舍法构造一个五阶幻方和七阶幻方,完成的同学可以留言区留言告诉我。


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