请先欣赏《Kolmogorov 的数学观与业绩（上）》
概率论基础
Kolmogorov 在概率论力面的一大功绩是用测度论的语言将概率论确立为现代数学的一个领域。以往对偶然事件、偶然量未加定义而使用。Kolmogorov 看出了概率与测度的同构型，在概率测度空间 (Ω,F，P) 上，分别将偶然事件定义为 Ω 的 F-可测子集，偶然事件的概率定义为这个子集的 P-测度，偶然量定义为 Ω 上的 F-可测函数，其平均值由积分定义。这样，概率论的理论展开就变得明确而容易了。
如此将概率作为测度来把握的方法，对于特殊问题 E. Borel（上例），N. Wiener（布朗运动）已经做过尝试。但用这个方法来对待所有问题的是 Kolmogorov 的《概率论的基本概念》。而 Kolmogorov 证明瞭在这种情况下有目的地构造出 P 的定理，这就是著名的 Kolmogorov 的扩张定理。
过去作为具体的测度一般仅考虑 Lebesgue-Stieltjes 测度和 Lie 群上的不变测度。由于 Kolmogorov 的测度论式的概率论，新型的概率测度及有关的新问题在对偶然现象的数学研究中不断地产生了出来。
概率论
Kolmogorov 受到 A.Y.Khinchin 的影响， 1925年前后开始研究独立随机变量的级数的收敛问题及发散时的阶数。按着研究了 Wiener 过程，在这些研究中，Kolmogorov 引入了几个新的思想和方法，Kolmogorov 0-1 律、Kolmogorov 不等式，Khinchin-Kolmogorov 三级数定理，Kolmogorov 强大数律，Kolmogorov 判别法，Kolmogorov 谱（湍流）等是特别著名的。1939年他还将弱平稳过程的内插、外推问题归结为傅里叶分析的问题而一举解决。
Kolmogorov 还将动态系统分为决定论的（古典的）动态系统和概率论的动态系统（马尔可夫过程），描述前者轨道的是常微分方程，而决定后者转移概率的是拋物型偏微分方程，即 Kolmogorov 引入的向前方程序和向后方程式（〈关于概率论中的分析方法〉， Math. Ann. 1931）。在那以前，概率论（泛函分析）也开始得到应用，概率论的内容变得极其丰富起来。 50年代的马尔可夫过程的显著发展的源泉就是 Kolmogorov 的这个研究。我从 Kolmogorov 的这篇论文的序言中的思想得到启发，引入了表现马尔可夫过程的轨道的随机微分方程式。这也决定了我以后的研究的方向。Kolmogorov的「基本概念」和「分析方法」。对我来说可谓至宝。
数理统计
在日本很遗憾概率论与数理统计之间的交流不太活跃，而 Kolmogorov 等苏联的概率论专家是非常重视二者的关系的。概率论是以概率空间为基础的，在应用于现实问题的时候，需要考虑若干概率空间，然后决定哪个是最适合于实际问题的概率模式。这个决定可以说是数理统计学的一个目的。Kolmogorov 也写了不少数理统计学的论文。在非参数检验法中用到的 Kolmogorov-Smirnov 定理是很有名的。
数学基础论
Kolmogorov 从年轻时起，就对数学基础论，特别是 Brouwer 的直观主义（有限立场）有着浓厚的兴趣（例如《Math. Zeit.》, 35 (1932), 58-65），关于算法也作了研究。
拓朴空间论函数空间论
Kolmogorov 和 J.W. Alexander 共同开创了上同调理论，这是众所周知的。Kolmogorov 还是同时具有拓扑结构和代数结构的空间理论（线性拓扑空间、拓扑环）研究的开创者之一。
他还研究了全有界的距离空间 E 的 ε-网中最小可能的点数 当 时的性状，作为 E 的特性量引入了 ε-熵、ε-容量的概念。将其应用于E为连续函数空间的子空间的场合〔与 V. M. Tikhomirov 合着， Uspehi (1959)〕。这是泛函分析方面的崭新的观点。
动态系统
Kolmogorov 对于古典动态系统有着很深的知识，他写过几篇重要的论文（《Proc. ICM》, 1954, Amsterdam, 1, 315-333）。他还研究了一般的动态系统（单参数保测变换群‧流），引入了「Kolmogorov 流」的概念。作为流的特性量，大家知道有谱型 (Hellinger-Hahn)。 Kolmogorov 又引入了熵这个新的特性量（《Dokl.》, 124 (1959), 754-755）。毫无疑问，这也为新的遍历理论开辟了道路。
在其它方面，Kolmogorov 也作了许多有名的研究工作。例如 Hilbert 的第13问题的否定性解决（参看岩波《数学辞典》的 Hilbert 一项），随机数表的考察（Sankhya, A25, 1963），关于信息论的研究等。
Kolmogorov 的数学教育观
Kolmogorov 在莫斯科大学培养了许多数学家，其中不少人已成为国际上的著名学者，这一点广为人知。他还热心于高中的数学教育，自己亲自写讲义，对数学教育所应有的姿态作了深刻的思考。Kolmogorov 60岁寿辰时（1963），P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了题为「教育家 Kolmogoro」的讲演。下面参考此文讲述一下 Kolmogorov 的数学教育论。苏联的教育制度与日本稍有不同，为小学（7～10岁）、初中（11～14岁）、高中（15～17岁）、大学（18岁～20岁），在大学里数学专业与物理专业在一个系（称作数学物理系）里。高中相当于日本的高中2年级到大学1年级，大学相当于日本的大学2年级至硕士研究生。有些类似于日本的旧制高中和大学，大学毕业时要写论文获取学位，相当于日本的硕士学位。博士学位授给大学毕业后写过许多创作论文的特别优秀的学者。
Kolmogorov 认为，有些家长和教师企图从10岁～12岁左右的学生中挖掘有数学才能的孩子，这样做会害了孩子，但是孩子到了14～16岁时，情况就不一样了。他们对数学物理的兴趣已很清楚地表现了出来，根据 Kolmogorov 在高中教授数学物理的经验，大约有一半的学生认为数学物理对自己仅有很小的作用。对于这些学生应该安排简单内容的课程。这样，另一半的学生（并不一定他们都要搞数学物理专业）的数学教育就可以更有效地进行。
高中时将数学物理系、工程系、生物农医系、杜会经济系等各专业分开为好。各系的主要学科的教授时间可稍稍增加一点（如数学1小时、物理1小时等），即使这样效果也是非常显著的。各专业系的教育可以使学生增强目的意识，而不至于影响有宽度的一般教育。革命初期提出的「统一劳动学校」的口号，并不否定个人能力的开发与特殊训练，而只是意味着废除阶级意识的学校，消除贫苦人面前的障碍。
数学需要特别的才能这一说法在很多情况下是过于夸张了。数学是特别难的科目这一印象可能是产生于笨拙的、极其教条的教学方法。如果有好的教师和好的教科书，正常的平均程度的人的能力足以消化高中数学，并进一步理解微积分的初步知识。
然而，高中生在选择数学作为上大学的专业时，自然应测验一下自己对数学的适应性。实际上，在理解（数学的）推论、解决问题、或作出新的发现上，其速度、容易程度和成功度是因人而异的。在数学专业教育中，应选择在数学领域出成就的可能性大的青年人。
什么是对于数学的适应性呢？Kolmogorov 总结为以下三点：
(1)算法能力：即对于复杂式子作高明的变形，对于用标准方法解不了的方程式作巧妙的解决的能力（仅记住许多定理、公式是不行的）。
(2)几何学直观：对于抽象的东西，能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考。
(3)一步一步地作逻辑性推理的能力：例如能够正确地应用数学归纳法。
仅有这些能力，而对研究题目不抱有强烈的兴趣、不作持久不断的研究活动的话，还是起不了什么作用。
在大学的数学教育中，好的教师又是什么样的呢？
(i)讲课高明。如用其它的科学领域的例子来吸引学生。
(ii)以清晰的解释和宽广的数学知识来吸引学生。
(iii)善于作个别指导。清楚每个学生的能力，在其能力范围内安排学习内容，使学生增强自信心。
以上每一条都是有价值的，而理想的教师应属(iii)类型的教师。
对于数学物理系的学生的数学教育，除了常规的课程， Kolmogorov 特别强调了以下两点：
(i)使学生能够把泛函分析作为日常工具那样运用自如。
(ii)重视 practical work。
我最初对这个意思不大明白，最近见到一位曾经在莫斯科大学接受过 Kolmogorov 的指导的先生，便询问了一下，其意思可能是这样的，例如对于微分方程式给出具体的系数和边界条件（每个学生不同），然后让学生考察方程式的解的性质。
学生在开始搞研究的时候，首先必须使其树立起「自己能够搞出点名堂」的自信心。因而在布置研究课题时，不但要考虑「这样题目的重要性」，还应考虑「这个研究是否能提高学生的水平」，「是否在学生的能力范围内，而且需要作最大程度的努力才能解决的问题」。
以上就是 Kolmogorov 的数学教育论的概略。Kolmogorov 不仅是伟大的数学家，也是伟大的教育家，也许说是伟大的思想家更合适。
