Kolmogorov 的数学观与业绩

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概率论基础

Kolmogorov 在概率论力面的一大功绩是用测度论的语言将概率论确立为现代数学的一个领域。以往对偶然事件、偶然量未加定义而使用。 Kolmogorov 看出了概率与测度的同构型，在概率测度空间 ( Ω ,F ， P) 上，分别将偶然事件定义为 Ω 的 F- 可测子集，偶然事件的概率定义为这个子集的 P- 测度，偶然量定义为 Ω 上的 F- 可测函数，其平均值由积分定义。这样，概率论的理论展开就变得明确而容易了。

如此将概率作为测度来把握的方法，对于特殊问题 E. Borel （上例）， N. Wiener （布朗运动）已经做过尝试。但用这个方法来对待所有问题的是 Kolmogorov 的《概率论的基本概念》。而 Kolmogorov 证明瞭在这种情况下有目的地构造出 P 的定理，这就是著名的 Kolmogorov 的扩张定理。

过去作为具体的测度一般仅考虑 Lebesgue-Stieltjes 测度和 Lie 群上的不变测度。由于 Kolmogorov 的测度论式的概率论，新型的概率测度及有关的新问题在对偶然现象的数学研究中不断地产生了出来。

概率论

Kolmogorov 受到 A.Y.Khinchin 的影响， 1925 年前后开始研究独立随机变量的级数的收敛问题及发散时的阶数。按着研究了 Wiener 过程，在这些研究中， Kolmogorov 引入了几个新的思想和方法， Kolmogorov 0-1 律、 Kolmogorov 不等式， Khinchin-Kolmogorov 三级数定理， Kolmogorov 强大数律， Kolmogorov 判别法， Kolmogorov 谱（湍流）等是特别著名的。 1939 年他还将弱平稳过程的内插、外推问题归结为傅里叶分析的问题而一举解决。

Kolmogorov 还将动态系统分为决定论的（古典的）动态系统和概率论的动态系统（马尔可夫过程），描述前者轨道的是常微分方程，而决定后者转移概率的是拋物型偏微分方程，即 Kolmogorov 引入的向前方程序和向后方程式（〈关于概率论中的分析方法〉， Math. Ann. 1931 ）。在那以前，概率论（泛函分析）也开始得到应用，概率论的内容变得极其丰富起来。 50 年代的马尔可夫过程的显著发展的源泉就是 Kolmogorov 的这个研究。我从 Kolmogorov 的这篇论文的序言中的思想得到启发，引入了表现马尔可夫过程的轨道的随机微分方程式。这也决定了我以后的研究的方向。 Kolmogorov 的「基本概念」和「分析方法」。对我来说可谓至宝。

数理统计

在日本很遗憾概率论与数理统计之间的交流不太活跃，而 Kolmogorov 等苏联的概率论专家是非常重视二者的关系的。概率论是以概率空间为基础的，在应用于现实问题的时候，需要考虑若干概率空间，然后决定哪个是最适合于实际问题的概率模式。这个决定可以说是数理统计学的一个目的。 Kolmogorov 也写了不少数理统计学的论文。在非参数检验法中用到的 Kolmogorov-Smirnov 定理是很有名的。

数学基础论

Kolmogorov 从年轻时起，就对数学基础论，特别是 Brouwer 的直观主义（有限立场）有着浓厚的兴趣（例如《 Math. Zeit. 》 , 35 (1932), 58-65 ），关于算法也作了研究。

拓朴空间论函数空间论

Kolmogorov 和 J.W. Alexander 共同开创了上同调理论，这是众所周知的。 Kolmogorov 还是同时具有拓扑结构和代数结构的空间理论（线性拓扑空间、拓扑环）研究的开创者之一。

他还研究了全有界的距离空间 E 的 ε - 网中最小可能的点数 当 时的性状，作为 E 的特性量引入了 ε - 熵、ε - 容量的概念。将其应用于 E 为连续函数空间的子空间的场合〔与 V. M. Tikhomirov 合着， Uspehi (1959) 〕。这是泛函分析方面的崭新的观点。

动态系统

Kolmogorov 对于古典动态系统有着很深的知识，他写过几篇重要的论文（《 Proc. ICM 》 , 1954, Amsterdam, 1, 315-333 ）。他还研究了一般的动态系统（单参数保测变换群 ‧ 流），引入了「 Kolmogorov 流」的概念。作为流的特性量，大家知道有谱型 (Hellinger-Hahn) 。 Kolmogorov 又引入了熵这个新的特性量（《 Dokl. 》 , 124 (1959), 754-755 ）。毫无疑问，这也为新的遍历理论开辟了道路。

在其它方面， Kolmogorov 也作了许多有名的研究工作。例如 Hilbert 的第 13 问题的否定性解决（参看岩波《数学辞典》的 Hilbert 一项），随机数表的考察（ Sankhya, A25, 1963 ），关于信息论的研究等。

Kolmogorov 的数学教育观

Kolmogorov 在莫斯科大学培养了许多数学家，其中不少人已成为国际上的著名学者，这一点广为人知。他还热心于高中的数学教育，自己亲自写讲义，对数学教育所应有的姿态作了深刻的思考。 Kolmogorov 60 岁寿辰时（ 1963 ）， P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了题为「教育家 Kolmogoro 」的讲演。下面参考此文讲述一下 Kolmogorov 的数学教育论。苏联的教育制度与日本稍有不同，为小学（ 7 ～ 10 岁）、初中（ 11 ～ 14 岁）、高中（ 15 ～ 17 岁）、大学（ 18 岁～ 20 岁），在大学里数学专业与物理专业在一个系（称作数学物理系）里。高中相当于日本的高中 2 年级到大学 1 年级，大学相当于日本的大学 2 年级至硕士研究生。有些类似于日本的旧制高中和大学，大学毕业时要写论文获取学位，相当于日本的硕士学位。博士学位授给大学毕业后写过许多创作论文的特别优秀的学者。

Kolmogorov 认为，有些家长和教师企图从 10 岁～ 12