数学，如果正确地看待，不但拥有真理，而且也具有至高的美。
——罗素
有位数学家极力主张数学同艺术一样美。这位数学家就是"剑桥学派"的创始人哈代。且听哈代怎么说来着：
数学家的造型，同画家和诗人一样，也应该是美丽的；数学概念应该就像色彩和语词一样，以和谐优美的方式结合起来。美不美是检查的第一关，蓬头垢面的数学不能与世长存。
力主数学美的，还有同是英国人的学界大老罗素，他讲道：
数学，如果公正地看，包含的不仅是真理，也是无上的美——一种冷峭而严峻的美，恰像一尊雕刻一样。
为了说明数学的这种种"冷峭而严峻的美"，"无上的美"，我们可以举出一些粗浅的例子。数学有简洁美。内涵深刻的数学往往在形式上简单得出奇，比如牛顿第二运动定律，拉普拉斯方程，爱因斯坦质能转换公式等等，一个简明形式就囊括了世间万事万物。完全像我国晋朝文人陆机的《文赋》里歌唱的：“笼天地于形内，挫万物于笔端”。数学具意念上的抽象美，我们世界明明是三维的，数学家偏偏研究无穷维。抽象得不但世间常人那里找不到对应物，而且就在数学家本人的脑袋里，也只有同“精鹜八极，心游万仞”的高扬精神状态进行关照。特别，数学还带着一种创造上的通感（Synaethesia）美。通感人能够于色彩中听到声音，在语词里看见颜色……而一个个高明的数学家，能够在代数里看得见形象的几何，于数论中听到美妙的曲线，从博弈论当中嗅闻出经济数量关系和人性的味儿……
正因为数学美，所以她迷人；正因为她迷人，所以吸引着许多数学家终生孜孜不倦，苦心孤诣地为她而献身。数学是自然科学之中这种吸引力和亲和力最强的一门学科！真正的数学家把不懈追求当作无比欢乐，而又将欢乐当成艺术享受。雪莱有诗说："美好事物是一种永久享受！"数学美，数学家才会乐在其中吧。世上没有什么力量，能够把一个数学家从他的"美人"身边拉拽出去。数学家可以说是世上最忠贞的情人。他或者她一辈子会许多许多次堕入爱河，但每一次都是对同一个"人"。果然，有些大数学家有了数学，就真的不再同人结婚，像牛顿、伽罗华、哈代、诺特（现代代数创始人）等。当然，有人会因此而失去了一亲香泽和肌肤的悠悠机缘，但是数学却受到了加倍的呵护而更加娇艳。
那么，到底能不能给数学装上感情通道，让数学同人们的爱情相连相通呢？
法国曾经拍过一部爱情电影，《我爱上的是正切函数》(C' est la tangente que je préfère)，讲的是一个花季少女同一个盛年男人的故事，说明他们并不是两个没有交集的集合，肯定这两个地球高级生物邂逅相遇而堕入情网的概率不为零。电影最后暗示，数学同电磁场一样，是一片美丽得动情的场！
电影的主人公，一位是聪明绝顶的高三女生，另一位是从东欧来到巴黎的男士。他们两个人的目光在公交车上不期而遇，于是爆发了爱情，也酝酿了故事。女孩子萨碧娜出生在双亲"下岗"而穷困潦倒的家庭。可是，女孩子却是一个数学天才。她像数学上的"奇点"一样孤芳自赏，她披着数学定理的耀眼辉光高翥云端；她从不加入同学愚蠢的"发烧友"集合，混沌团"闭包"什么的。对于数学上的方程和图像萨碧娜迎刃而解，可是现实生活里的X，无解方程，加上兜不出来的拓扑图形太多太凶太乱太狠，她无法应付。萨碧娜于是高呼：数学！数学！来救救我呀！谢谢数学，谢谢那个像渐进线一般从遥远神秘的东方翩然来临的男人，萨碧娜终于从数学里找到了能量，找到了如同双曲线飞向浩淼和空旷一样飞出家庭和困境的力量……
数学美丽，还在于她像绝色佳人一样有一种"惹是生非"的挑逗美。数学研究得愈深入，就会发现更多哲学问题，艺术问题，美学问题，甚至陌生难解的人生问题，叫人争论，令人遐想，促人深思。这里有一个特别具有挑逗美的例子，美籍奥地利数学家哥德尔证明了"不完备性定理"。这定理大胆直面"严格"，"完备"，"和谐"等完美指标，斩钉截铁地说数学的形式系统都是"不完备的"，其中一定包含着无法证明的命题，既不能证明它"真"，又不能确认其"假"！定理使德国数学泰斗希尔伯特苦心经营了几十年的严格完美大厦倾倒一旦。后来，这条定理引发一场场数学的和哲学的车轮大战。哥德尔定理于是有了许多首不同唱词。其中一个说法是：任何一部 VCD 或 DVD 都有不能够放像的碟片！于是，喜好深刻的好事者又推出了一个有趣的哲学命题：人类到底能不能认识自身呢？计算机科学奠基人图灵提出的"不可计算性"的思想，也有这样强大的挑逗威力，而且又引出了计算机能不能超过人类哲学问题……
一个孤高遗世的数学定理或理论，当它在数学之外引起大海汪洋的思潮、如痴如醉的辩论的时候，人们回眸一下，难道不承认这正是数学的美吗？美人尤物的特点难道不正是"回眸一笑百媚生，六宫粉黛无颜色"吗？能够挑拨起世界顶尖知识精英的无穷情思，澎湃心潮，不美，能够做到吗？
所以，一位德国数学家才引用伏尔泰的话这么讲：
阿基米德脑海里的绮思遐想，比荷马的要多得多哟！（Da war mehr Fantasie im Kopf Archimedes als in dem von Homers!）
所以，英国大物理学家狄拉克也才说：
1＋1＝2 是神圣的语言，代表着世界上放之四海而皆准的真理。
——乔纳森·戈兰（加州大学伯克莱分校数学博士，以色列海法大学（Haifa University）教授）
人类靠数字寻访外星人
“啊，你带了这么多行李！”乔纳森·戈兰第一次见面就对记者喊，“这可不是数学家的风格，数学家只把很多行李放在脑子里！”
“你来采访数学家大会，这可真是件好事。怎么样，这些数学家真实吗？是不是有很多人看起来像生活在云彩里？”戈兰笑着问。他是以色列著名的抽象数学家，一边教书一边搞科研，在执教的30年中已经出版了22本书。
戈兰认为数学最大的美在于它的“普遍真理性”。他说，每种文化都有自己关于创造的故事，有属于自己的音乐、自己的文学、自己的酒。在不同的文化中，造物主可以是鸡、可以是狗，也可以是男神或女神；在不同的文化中，音乐和文学有不同的风格，酒有不同的滋味；但只有数学是全人类真正共通的语言。只要人居住的地方，“1＋1＝2”都不会错。
“如果真有外星人的话，他们最先接到的人类发送的信息一定是数学。”戈兰肯定地说。现在人类寻找外星人的方式是靠发送一系列的数字：1、4、9、16、25……只要有一些数学常识，外星人一定会明白这些数都是自然数的平方，而不是无规律的乱码。他们进而便能猜测出来有生物想和他们对话。
乔纳森·戈兰坦言自己的研究“和应用毫无关系而且也不关心应用”。他认为研究是应用的基础，应用之“渠”只是研究之“水”先到的结果。自己的成果能被应用到实践中当然是好事，但如果不能的话，也没有必要感到挫折。
但戈兰常常为不能向别人很好地解释数学的美丽而觉得难过。
“我经常问自己，为什么要研究抽象数学呢？你花了一辈子证明出一两个问题，发现了数字之间新的美妙关系，但全世界只有六个人明白，两个人关心。你到底图什么呢？”他把手放在了自己的胸口上。
“答案只能是你想知道。你感觉到那种永恒的、也许在上帝存在以前就已经存在的美，你想明明白白地知道。”戈兰的眼睛有些湿润了。
数学不仅仅是数字，它更是艺术。在没有被表达出来之前，大多数数学观念不是建立在逻辑的基础上的，而是直觉与美。
—— 阿尔非诺·劳达尔（挪威奥斯陆大学（Oslo University）数学教授，“ABEL”数学奖发起人之一）
毕加索与爱因斯坦“同源”
“我恨数学”，“我的数学一点也不好”，这些话在日常生活中我们可以经常听到并且习以为常。但阿尔非诺教授对这样的表达一直感到不可理解。
“我真的不明白数学不好有什么值得骄傲的。如果人们的文学或者音乐不好，他们是不会用骄傲的口吻传播这个消息的，反而会当作秘密掩盖起来。”阿尔非诺教授对记者说。在奥斯陆大学数学系，66岁的阿尔非诺是公认的博学多识者。他不仅在数学上成就突出，对音乐、美术等领域都有独到的见解。
阿尔非诺觉得，当人们表达对数学的“恨”时，他们其实想说的是自己无能为力或“非物质主义”。这可能与他们在学校里的经验有部分关系。班级里最优秀的学生一般都是数学最好的，让一些人感到望尘莫及，所以他们就决定把数学“Push out of their lives（推出生活之外）”。
阿尔非诺认为，“自由首先意味着理解。”如果人们多学习一些数学知识，他们会对自己的生活有更好的把握。他们可以轻易制定出更合理的家庭财务规划，可以更明白股市的波动和GDP及工业指数等关系。当他们仰望星空时，也会看到星星、月亮与太阳运行轨道之间的关系。
“数学不仅仅是数字，它更是艺术。”这位有着一双温和褐色眼睛的挪威人说，还兴致勃勃地给记者讲了一则“爱因斯坦与毕加索”的故事。
1905年，还是专利局审察员的爱因斯坦发表了自己的狭义相对论，并于1916年发表了广义相对论。而毕加索在1907年完成了油画《亚威农的少女》，这幅油画正式宣告了“立体主义”（Cubism）的诞生。一个在巴黎研究绘画，一个在苏黎士研究相对论，这两个人看起来毫无关系。
但近来的研究成果揭示出了他们之间的“同源”关系。早在1902年，爱因斯坦所在的小组和毕加索所在的小组同时阅读了一本重要的书，并受到了很大影响。这本书便是法国数学家亨利·庞加莱的《科学与猜想》。
《科学与猜想》一书的意旨在于阐述几何语言与物理运动之间的关系。这本书启发了爱因斯坦对四维空间的研究；它也在毕加索心里撒下了种子，使他在以后致力于在图画中引进作为第四维的时间，在单幅画中描绘整个运动过程。
“其实，在大多数的数学观念被表达出来以前，它们不是建立在逻辑的基础上的，而是直觉与美。”阿尔非诺由衷地说。即使是对那些最“艺术”的人，如果没有数学，我们也许并不只与爱因斯坦无缘，还可能根本不会拥有毕加索。
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*钱定平，作家、前德国科布伦茨大学和奥地利萨尔茨堡大学电脑科学与语言学教授。
本文经授权转载自《科学时报》（现《中国科学报》）。
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