如何解决无限循环

        一般人都会认为0.999……这个无限循环小数不等于1，它比1小，虽然它越来越接近1，但永远都到不了1。有人说，0.999……就是1，很多人都知道如何证明：0.333……=1/3，两边都乘以3，结果就是0.999……等于1。

还有一个更诡异的例子：1-1+1-1+1-1+……是多少？如果这样变换：（1-1）+（1-1）+（1-1）+……-0+0+0+……它就等于0。如果这样变换：1-（1-1）-（1-1）-（1-1）-……-1-0-0-0……它就等于1。出现这种情况，肯定要从无限上找原因。

美国威斯康星大学数学教授艾伦伯格说，无限循环的数学符号到底是多少，这取决于我们如何定义它，或者说这种提问方式本身就有问题。0.999……到底是多少？它好像是许多加数的结果：0.9+0.09+0.009+0.0009+……问题就在这个省略号。把2个、3个或者100个数加起来时，不会引起什么争议。这就是用数字表示把100堆东西放在一起的物理过程。但是无限个东西相加就不一样了。在现实世界中，你不会弄到无限个东西。一个无限的数字的数量是多少呢？它没有数量，直到我们赋予它一个数量。数学家哈代解释说：“近代的数学家不会认为一组数学符号要我们通过定义指派给它一个意义时，它才有意义。他们没有下定义的习惯，他们不会问我们该如何定义1-1+1-1+……而是问它是多少。这一习惯导致他们陷入了不必要的困惑和争议。”

艾伦伯格说，给数学符号下定义并不是相对主义。单单因为我们可以随意给一系列数学符号指派意义，并不等于我们就应该这么做。在数学上，跟生活中一样，有好的选择，也有坏的选择。在数学上，好的选择就是能够解决困惑而又不带来新的困惑的选择。18世纪法国数学家柯西说，我们应该把0.999……定义为1，接着他证明这一选择并不会造成冲突。

艾伦伯格谈到了法国大革命时期的政治哲学家孔多塞，孔多塞曾试图改善选举办法。在有三个以上候选人的选举中，多数人裁定的制度会产生问题。他希望想出一个公平的投票方法，这个方法要满足这样一个公理：如果大部分选民更喜欢候选人A而非B，那么候选人B就不是人民的选择。但是有可能会出现这样一种剪刀石头布式的情形：大部分人更喜欢A而不是B，更喜欢B而不是C，更喜欢C而不是A。这样谁都赢不了。“数学家哈代会建议孔多塞，不要问谁是最佳候选人，或者公众想让谁当选，而是问应该把哪个候选人定义为公众的选择。”数学形式主义把找到正确答案变成了遵循规则去寻找答案。