如何理解泊松分布？

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1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店：

每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？

老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：

均值为：

按道理讲均值是不错的选择（参见 这篇文章 ），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖， 的时间不够卖：

你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用 来表示：

然后把 周一 的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：

把 均分为四个时间段：

此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：

内卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是：

但是，如果把 周二 的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：

从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单，把 分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

这样， 内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）：

为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成 份：

越细越好，用极限来表示：

更抽象一点， 时刻内卖出 个馒头的概率为：

3 的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率 怎么求？”

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：

那么：

4 泊松分布

有了 之后，就有：

我们来算一下这个极限：

其中：

所以：

上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 时间内卖出 个馒头的概率为：

一般来说，我们会换一个符号，让 ，所以：