问数学是什么这个问题看起来也许是幼稚的,但这其实是一个很难回答的问题,而且哲学家已经为此艰难思索了好几个世纪。康德在他的《纯粹理性批判》的开头甚至问,怎么可能有纯数学?其他科学可以用它研究的对象来定义 :天体、生物、人际关系,如此等等。对数学而言,情况并非如此简单。首先,数学并不总是研究相同的对象。数、代数公式、解析函数、几何结构当然是它研究的一些东西,但还有许多其
它东西也在考察范围内;而且严格说来,数学思想其实是对结构的一般性研究,而不是对预先指定的对象的个别研究。然而,问题甚至更为复杂 :很难说清楚我们所研究的对象究竟位于何处。这些对象是内在的还是外在的,主观的还是客观的,仅仅出现在我们的脑海中还是存在于现实世界的某个地方?换言之,数学家的工作究竟是创造数学还是发现数学?
在支持“发现”的这一方面,我们首先有这样的事实:数学结果可以被“客观地”验证:数学家对一个定理的证明,只要没有错误,就可以使得其他所有数学家都信服。支持客观性的另一个论证是,不同的数学家研究同一个数学问题时,不论他们的性格与个人品味如何迥异,他们总会得到相同的答案。最后,对整体文明我们也可以说同样的话,因为不同的文明通常各自独立地发展出相同的数学。二次方程的求根公式、“毕达哥拉斯定理”(当然并非所有的地方都这么称呼)、开立方根的算术都曾被许多不同的古代文明发现过。
然而,同样你也可以为“创造”的观点来论证。首先,有一个纯主观的论证:数学家通常感觉到他们创造了一些属于他们的东西。其次,不同的数学家由其个人品味与经验研究那些如此不同的问题,从而得到如此不同的成果,以至于在许多情形,数学家可以根据其数学定理来识别。同样的,不同的文明有时会采取完全不同的数学路线,最终产生其独有的特殊类型的数学。例如,希腊人创造并强调了证明的观念,而经常做出相同发现的中国人往往将他们的结果表述为算法或计算口诀的形式。作为另一个例子,我们可以提及埃及人,像其他古代文明一样,他们发展起有理数(分数)的计算——这可以应用于经济、测量、天文等领域,但是以一种非常奇特的方式:不是将分数写成分子1/n与分母的商,他们只允许使用单位分数并将所有分数都表示为这种单位分数之和;更有甚者,他们只允许出现不同的分母,例如他们将2/5写作1/3+1/15,而不是1/5+1/5。
那么,数学活动究竟是发现还是创造呢?对大多数数学家而言,二者兼而有之。在任何时刻,对每一个问题,从公理和已经的结果出发,存在着大量可能的推导,恰如在围棋游戏中的每一局面可以引出许多种可能的走法一样。在某种意义下,所有这些推导“已经在那里”,但你需要不断地作出选择,正是这些不同的选择体现了数学家个人的能力、品味和性格。法国数学家古斯塔夫 •肖盖 (Gustave Choquet)对此有一个漂亮的说法:数学家所寻求的定理自远古以来就存在了,但为了发现它,你必须要创造出一条路径。