一
新年好！
请你来做一个简单的数学题：
下面这个无穷数列的结果是多少？
1-1+1-1+1-1 + ……=？
如果我们从不同位置分组，会得到不同的结果：
那么，到底是0还是1呢？
这就是著名的格兰迪数列，18世纪的数学家们曾经被其困扰。
莱布尼茨的解法很巧妙：
设这个无穷数列的和为S，那么：
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - S
这样我们得到一个方程： S = 1 - S
解这个方程： 2S = 1
得出：S = 1/2
莱布尼茨所用的方法，就是递归思维。
尽管从现代数学的严格性来看是有问题的，但这个推理过程十分巧妙。
二
递归，是一种通过自我重复来解决问题的方法。
用更专业的语言来说，就是：
在解决一个问题时，把这个问题转化为一个或多个更小的同类问题，并不断往下分解，直到达到一个能够直接解决的“最小规模”或者“简单情况”，这时就“停止”并向上返回结果。
看起来或许有些抽象，那让我们从几个常见例子谈起：
1. 递归故事与死循环
最经典、也是最容易陷入“循环”困境的例子，大概是这样的故事：
“从前有座山，山上有座庙，庙里有个和尚在讲故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有个和尚在讲故事：从前有座山……”
这个故事因为没有明确的终止条件，会无限往下展开，形成“死循环”。
在编程里，如果我们忘记设置结束条件，就会出现类似的问题——程序永远执行下去，最终甚至会崩溃。
2. 俄罗斯套娃：完善的终止条件
“俄罗斯套娃”是更好的递归示例：最外层的娃娃打开后，里面是一个小一号的娃娃；再打开它，里面还套着一个更小的……
这个过程持续下去，直到最里面那只实心、没有再分的小娃娃。它就是递归的“底层情况”或“终止条件”。
这一“最内层的娃娃”告诉我们递归必须要有一个明确的终止点，否则就会像和尚讲故事那样，层层嵌套却永不结束。
3. 数学中的典范：阶乘
在数学里，阶乘可谓最直观的递归：
这其中，“1 的阶乘 = 1”就是我们的最小情况或终止条件，保证了这个递归过程能够最终收敛并返回结果。
在总结前面例子的基础上，我们可以看到，一个完整而安全的递归需要具备以下两大要素：
a、把问题转化为更小的同类问题
例如，5 的阶乘拆分为 5 × 4 的阶乘，4 的阶乘又继续往下分解；
俄罗斯套娃也是一次打开就获得更小的娃娃。
b、有明确的终止条件
1 的阶乘定义为 1；
俄罗斯套娃打开到最里面的那层；
若缺少终止，整个过程可能进入“死循环”。
就像走楼梯，你知道下一步该往哪里踩（递归过程），也知道走到顶端的哪一级阶梯就可以停（终止条件）。缺少任何一个要素，递归就会失控。
回到格兰迪数列的例子，莱布尼茨用 S = 1 - S 这个简短的递归式来“定义”了一个无穷序列的和。
虽然从现代数学的严格性看，它并不完美，但这种以自我调用的方式对付无穷级数的思路，依然体现了递归的优雅与力量。
事实上，很多数学方法（如递推关系、归纳法等）都含有类似的思维：
不断把问题往回带，再由结果指向问题本身，形成自我循环。
三
递归在自然界，递归的身影无处不在：
植物分枝、河流支流、云层形态等，都可用重复相似的规则来模拟，形成层层嵌套又自相似的分形结构。
生物胚胎学中，细胞一次次自我复制与分化，最终构建出不同器官与组织，背后也暗含着递归式的生长逻辑。
数学里，除了阶乘与归纳法，形如斐波那契数列、汉诺塔问题、分形几何等都借助递归思维来求解或表达复杂模型。
计算机科学更是将递归运用得淋漓尽致：
从经典的快速排序、合并排序，到编译器设计中对语法结构的自我解析，再到人工智能中的循环神经网络（RNN）、LSTM等框架，都是“函数调用自身”在算法与程序架构上的有力体现。
现代经济学、金融学也不乏递归的影子：
投资者常提及的“复利效应”，正是让每一阶段的收益再次投入，从而层层叠加，呈现指数式增长；
而市场中的“我猜你猜我猜”心理博弈，则构成多重回环的动态过程。
在心理学与社会学领域，个体与环境彼此塑造的循环亦可视为递归：
一方面，我们的行动塑造身处的环境，另一方面，环境又影响并修正我们的后续行为。
哲学中，涉及自指（Self-reference）与无限回溯的逻辑悖论，更像是没有终止条件的函数——一旦形成自我引用，便可能导致思维的循环或矛盾。
在艺术创作中，递归产生了独特的美感，例如埃舍尔的版画《画手》、中国的"烟壶画中画"，都巧妙运用了递归来创造出引人深思的视觉效果。
而人类语言本身就具有递归性质，我们可以无限嵌套地表达"我知道你明白他懂得..."这样的复杂概念。
这种语言特征被认为是人类认知能力的重要标志，也凸显了递归思维在人类智能中的核心地位。
正因如此，递归不仅是一种在数学、编程中备受青睐的技巧，也是一条贯穿自然与社会、个人与群体的“隐形线索”：
只要存在不断重复的规则或自我调用的结构，递归就能为我们提供新的视角来理解事物的发展与演化。
它揭示的，是如何由简单的局部规则，反复迭代出无限深远的可能性，从而让我们洞察到世界的层层叠叠与生生不息。
四
在社会互动与竞争中，递归思维展现出独特的威力。
最典型的例子，就是凯恩斯提出的"选美竞赛"问题：
投资者不是在选择自己认为最美的选手，而是要预测"大多数人认为大多数人认为最美"的选手。这就形成了一个典型的递归思维链--
我认为 → 别人认为 → 别人认为别人认为 → ...
这种思维模式在现代金融市场中无处不在。
股票投资者不仅要判断一家公司的真实价值，更要预测其他投资者对这家公司的判断，甚至要预测"其他投资者如何预测其他投资者的判断"。
这种层层递进的思考过程，本质上就是一个递归结构。
在竞技性博弈中，递归思维的应用更为直接。以德州扑克为例，一个高水平玩家需要：
判断对手的牌力范围
预测对手对自己牌力的判断
推测对手会如何应对自己可能的行动
思考对手会如何预测自己对他行动的反应
这种"我思考你思考我思考你"的过程，形成了一个深度递归的推理链。
高手对决时，这种递归层次可能达到四层甚至更多。
在国际象棋等策略游戏中，递归思维体现为对局势的深度计算：
如果我走这步，对手可能会怎么应对？
对手这样应对后，我该如何反制？
在我反制后，对手又将如何调整？
每深入一层，可能性就会成倍增加，这就是为什么计算机在下棋时需要"剪枝"——即在递归到一定深度时及时停止，避免计算量爆炸性增长。
博弈论中的"纳什均衡"概念，本质上也是一个递归结构：
每个参与者的策略都是对其他参与者策略的最优反应，而其他参与者的策略又是对这个参与者策略的最优反应。
这种相互依存的关系，构成了一个完美的递归定义。
在这些博弈场景中，递归思维帮助我们：
构建对对手策略的多层次理解
预测市场的整体走向
制定最优的应对策略
然而，正如格兰迪数列一样，在实际博弈中，过度的递归思维可能导致"分析瘫痪"。
事实上，在这个世俗世界上，很少有人需要用到下棋的那种太深的递归。而德州扑克高手往往更能赢得红尘名利中的争夺，
因此，找到适当的递归深度，在理性分析和直觉判断之间取得平衡，才是真正的智慧所在。
顺着这个话题，可以有两个有趣的分支，一个关于投资，一个关于维克瑞拍卖（以及如何避免“精神递归”）。也许我会单独再写。
五
在社递归思维给我们的最大启示，或许在于它揭示了复杂世界的生成逻辑：
看似繁复的事物，往往源于简单规则的重复迭代。
正因如此，我们在面临各种挑战时，也能用“自我调用”的方式进行拆解与前进，从而在日常生活、事业或个人成长中获得持久动力。
以下几点或许能为你提供些许思考：
1. 复杂源于简单的累积
就如同分形图案由简单规则生成壮丽图景，人生中的重大成就也常来自基本功的反复锤炼。
持续迭代：每天进步一点儿，一年后收获可能是不少倍的提升，这正是“小量改变 × 不断重复”所带来的巨大差异。
复利效应：在投资与学习中，小额度的持续投入会随着时间的推移而成倍放大，恰似递归程序一次次“返回”成功的产出。
实践-总结-改进：让每次练习或尝试都成为下一次行动的起点，让经验和反思反哺新目标，形成正向的迭代循环。
2. 找准递归的“终止条件”
如同程序必须设置结束条件以防止死循环，人生中也需要给各种“递归”行为明确的边界。
思考有度：过度分析易陷入“决策瘫痪”。懂得适时收束，才能保持行动效率。
平衡完美和交付：不必追求面面俱到，知道何时“够好即可”，是避免陷入无休止打磨的关键。
知道何时停止深入：当某条路径无法再带来收益或动力，就要考虑转向或暂停，防止在错误循环里耗损精力。
3. 理解“反馈循环”
个人成长可视作一个典型的“输出—输入”递归过程：
我们的行动塑造环境；
环境的反馈又影响我们下一步的决定；
若是良性循环，正向反馈会促进自我提升；若是负向循环，则需及早打破它。
学会观察并利用这种互相塑造的机制，才能在反复迭代中持续进步，也能更敏锐地觉察到问题所处的“死循环”节点。
4. 把握“递归深度”
在社会互动与竞争中，过度递归可能让人陷入盲目猜测，“我以为你以为我以为…”无限延伸，最终导致效率低下或自我怀疑。
5. 善用“自我引用”
递归最迷人的地方在于自我指涉，它提示我们要定期反思过去，让经历与失败成为新一轮行动的养分。
在这个日益复杂的时代，递归思维让我们用“简单原则”应对“复杂现实”。它提示我们：
在“循环往复”中寻找增益，在“层层递进”里掌握平衡，不断通过反馈、反思与改进让自己螺旋式地向上。
正如分形的美在于用有限的公式生成无穷复杂，我们的成长亦可在小小的日常行动中迭代深化，以简驭繁、以不变应万变。
这，或许就是递归带给我们的最大智慧。
六
在朋友圈看到有人说，今年春节有点儿奇怪，群里发红包的少了，各种不那么热闹。
但春节就是春节，春节为每个人提供了一个逃避时间压迫的特权。--这对于勤劳的国人而言无比稀缺。
在这短暂的时间里，我们不免适当逃避，也都在有意识无意识地进行年度“递归”。
递归的"自我引用"可以是正向的，把过去的经历当作新的参数，以好奇心打开新一年的迭代；
也可能是负向的，在自我否定中越陷越深，让每一次回顾都成为新的打击，最终形成没有终止条件的精神内耗。
这种差别，恰如我们在递归中常说的：
一个设置了明确终止条件并向上返回结果；
另一个则像和尚讲故事般永无止境地消耗下去。
这几天我看了李一兵写的《苏东坡新传》，写得真好。很惭愧，此前我几乎算不上“知道”苏东坡。
即使是在文化至上的宋朝，大学士苏东坡的大半生都是在不如意和流亡中度过的。
但苏东坡几乎从来不用“自我批判”来实现某种内心的躲避，哪怕他的确做了很多傻事，有些是因为追求正义，有些是因为书生意气，有些纯粹就是傻。
他几乎从未自我摧毁，哪怕这种看起来似乎荒唐的手段对个体真的有效。
他最多只是自我调侃，然后把自己还原为一个点，一种存在，进而从更大的空间和时间尺度有所伤，有所感，有所悟，每每悲痛至极，都能跃升至另一层次，看见更广阔的时空。
苏东坡仅仅用一支笔，就触及到了宇宙万物间的奇妙之极--那种奇妙需要许多年后靠黎曼几何与爱因斯坦的狂想才能再次被描述。
尽管事实上，苏东坡在世俗意义上，甚至在肉体上，被对手彻底击垮了--毫无留情，毫无尊严，毫无希望。
可苏东坡在精神世界上绝无妥协。他甚至无暇向上天哀怨，向朋友乞怜，向敌手怒吼。
他的并不强健的肉体只是强大的精神世界与人世间的某个接口。人世间或喜或悲的处境，都是一个递归的起点，让他能够从这个"点"出发，通过思想的力量，在更高维度上重新审视自我，感知宇宙。
每一次的困境都成为一次向上的递归调用，让他得以跃升到更高的精神境界。
最后
苏东坡给出了一个答案：
若想在一生之中真正体验“递归式”的生长与升华，最持久且不受外物挤压的舞台，莫过于我们内心的精神世界。
物质层面上，所谓“复利”常常夹杂变数与波折，再勤奋的人也未必能如愿获得稳定且丰厚的回报；名利场上更是风云难测，即便一度显赫，也可能因局势演变而黯然失色。
然而，精神的“递归”却独具一片自由天地。
我们每一次的思考、阅读、历险、欣赏或挣扎，都会在内心深处沉淀为新的感悟，并在下一次的磨砺与觉醒中被再次调用，融汇成更广阔的视野与更强韧的心灵。--"回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。"
就像苏东坡在“起起伏伏”的人生里，一次次把伤痛化作诗文，每一重自省与自嘲，又让他在更深处开辟全新的灵魂空间。--"竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。"
无论环境如何险恶，他的精神故土牢不可破，哪怕被放逐海外，依然能够“递归”故土。--“此心安处是吾乡。”
每一场预料之外的变故或恶人的攻击，其精神的羽翼都能展翅更高维度，让我们得以呼吸到更宽阔、更悠远的气息。--“九死南荒吾不悔，兹游奇绝冠平生。”
因此，当我们渐渐理解“递归思维”在解决实际问题或面对生命挑战时的精妙，也会发现：它不仅是一种方法，更是一种人生的算法。
外界的成功或挫败，只是不断嵌套进这场“灵魂演算”的具体参数；
真正重要的，是我们肯不肯一次次把过去投入当下，又在当下超越过去，不断让自己得以升级、进化、升华。
就像苏东坡那般，以自嘲为刀，向痛苦与荒唐开出一道豁口，允许灵魂再度飞升。
或许，这就是精神世界里“递归”的力量。
“盖将自其变者而观之，而天地曾不能一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也。”
无论人生沉浮何如，只要那份自我追寻与重塑的心火不灭，我们终能在下一个回合，拥有更宽阔的天地。
而在这样不断重复又不断超越的循环中，我们不仅看见更清晰的自己，也在更广大更静穆的宇宙中，寻得一隅笃定与安然。
正因如此，即使眼前起伏不断、身心疲惫，也依然可以怀抱希望——因为每一次失败与脆弱，都将成为下一次成长与飞翔的起点。
所以，春节时分，在时间暂停压迫你我的现在，也许可以暂时忘掉过去一年的成败得失，也不必在意未来一年的悬而未决。
日月星辰，山河大地，依然壮阔如初。
东坡先生说了：
“惟江上之清风，与山间之明月，耳得之而为声，目遇之而成色，取之无禁，用之不竭。是造物者之无尽藏也，而吾与子之所共适。”
何必为蝇营狗苟之事，耽搁了如此美好的明月清风？
“人生到处知何似，应似飞鸿踏雪泥。”
春节时分，你我都被赋予了时间或精神意义上的新起点。
此时此刻，或许苏东坡会依照“递归”原则，为春节时分的我们留下这样的劝慰：
休对故人思故国，且将新火试新茶，诗酒趁年华。
祝你和家人幸福平安，愿你在新年有新意！
