波动方程的解是物理学家们非常熟悉的，在数学上有所谓推迟解（retarded solution）和超前解（advanced solution）之分，物理上采用的是推迟解——也称为推迟势（retarded potential）[1]。对于弱场近似下的引力波动方程
∂λ∂λhμν = —16πG(Tμν — ½ημνTλλ) (*)
来说，推迟解为：
hμν(x, t) = 4G ∫d3x' 
(x', t — |x — x'|)/|x — x'| （1）
其中 = Tμν — ½ημνT 是对(*)式右端所作的符号简化 (这种类型的符号简化在广义相对论中很常见，所表示的是对一个二阶张量的迹的逆转)， x 和 x' 分别为场和源的三维空间坐标，d3x' 是对源空间坐标的积分， t — |x — x'| 是所谓的推迟时间（retarded time）——其实是比 t 更早而不是更“推迟”的时间，因推迟解本身所描述的场晚于源的“推迟”效应而得名。
除(1)式外，由于(*)式是线性方程，相应的齐次方程 （homogeneous equation）——即源为零的方程——的解也可叠加到推迟解上，从而得到(1)式的通解。各种特解——比如平面波解、柱面波解，或满足特定初始及边界条件的解等等——皆可视为通解的特例。
对于波——尤其是像电磁波和引力波这样源自基础理论的波——来说，一个很重要的性质是它的独立分量数目或所谓的物理自由度（physical degrees of freedom）。具体到引力波上，由于 hμν 是对称张量，从表观上讲有10个分量。但这10个分量显然不是独立的，因为总计有4个方程的谐和坐标条件∂μhμν = ½∂νhμμ 可消去4个分量，从而只剩下6个。这6个分量是独立的吗？依然不是，因为谐和坐标条件并不足以完全确定坐标，我们还可对xμ作形如 xμ → xμ +εμ 的变换，在这种变换下 hμν将变换为 hμν → hμν — ∂μεν — ∂νεμ 。不难证明，只要εμ 满足 ∂λ∂λεμ =0，谐和坐标条件就依然成立，因此这确实是谐和坐标条件已经满足的情形下依然允许的额外坐标变换，利用这种额外坐标变换——总计也有4个方程——可进一步消去4个独立分量，最终只剩下两个独立分量，这才是引力波的独立分量——也称为引力波的偏振或极化（polarization）。
进一步的分析还表明，引力波的这两个独立分量和电磁波的独立分量一样都是横波分量——即都是垂直于波矢方向的分量，而且波的振幅是“无迹”（traceless）的，即 hμμ= 0，使这些特征成立的坐标也因此而被称为横向无迹坐标（transverse-traceless coordinates），简称 TT 坐标。可以证明，横向无迹坐标恰好是自由漂浮观测者所用的坐标。另外值得一提的是，引力波的这两个横波分量在以波矢为轴的空间转动下按两倍于转角的方式转动 (转动方向则彼此相反)，因而具有螺旋度（helicity）±2，人们通常所说的引力子（graviton，即所谓引力场的量子）是自旋2的无质量粒子，指的就是这一结果。不过要注意的是，这些概念都是在闵科夫斯基度规下定义的，与我们所讨论的弱场近似一脉相承，在一般的广义相对论中却并无明确定义，因此将广义相对论本身笼统地视为自旋 2 的无质量场的理论是不妥的——起码是有争议的。
推迟解(1)式虽是弱场近似的产物，对一般的源分布来说依然是相当复杂的，具体计算时往往还需采取进一步的近似，其中一种典型的近似手段是所谓的多极展开（multipole expansion）。这种手段的一个重要优点是：在源——即物质分布——的尺度远小于引力波的波长（这被称为低速近似或非相对论近似[2]），并且场点离源的距离远大于引力波的波长（这被称为远场近似[3]）的情形下，多极展开由最低阶——即“极”数最少——的项所主导，其他——即“极”数更多——的项皆可忽略，从而能极大地降低计算的复杂性。
具体地说，在多极展开下，选用横向无迹坐标，(1) 式的主导项是所谓的“四极辐射”（quadrupole radiation）。由于横向无迹坐标下引力波的两个独立分量——即横波分量——都是空间分量，因此我们只需给出hμν的空间部分hij即可，其结果为：
hij(x, t) = (2G/r) ∂2Qij/∂t2 (2)
其中r是场点x离源的距离（在所考虑的远场近似下源的尺度远小于场点离源的距离，因此可以忽略源的不同部分与场点距离的差别），Qij是源的四极矩，定义为：
Qij = ∫d3x'ρ(x') (x'ix'j — ⅓|x'|2δij) (3)
其中ρ是源的质量密度。这里需要说明的是，为表述简洁起见，我们自此处开始将略去时间变量，(2)式的右侧和(3)式，以及后文中任何与源有关的计算，其实都是在推迟时刻 t—r 计算的，这是(1)式或者说引力波的传播速度为光速的直接要求。另外，(2)式只包含了来自物质质量密度的贡献，这是低速近似或非相对论近似的结果。
引力波多极展开中的最低阶项为四极辐射，这是一个很独特的结果，比如跟电磁波就完全不同，因为后者具有所谓的偶极辐射（dipole radiation）。两种表面上看起来颇为相似——比如万有引力定律与库仑定律都是平方反比律，波动方程更是具有相同形式——的理论在这方面为何会如此不同，引力波为何没有偶极辐射呢？这是由守恒定律所决定的。我们知道，偶极矩的定义为 Pi = ∫d3x' ρ(x') x'i，对电磁理论来说，ρ是电荷密度，上述偶极矩对时间的各阶导数可以是非零的，从而可以有偶极辐射。但引力理论的情况完全不同，对它来说ρ是质量密度，因而偶极矩Pi 正比于源的质心位置，其对时间的一阶导数正比于源的总动量，在所考虑的近似下是一个守恒量。这就意味着其对时间的二阶导数——这是辐射场及辐射能流所包含的导数——恒为零，这是引力波不存在偶极辐射的根本原因。
更一般地说，在单极、偶极和四极这几种最低阶的多极展开项中，单极辐射出现的条件是源的总量不守恒，由于电荷和能量都是守恒的，因此电磁理论和引力理论都没有单极辐射[4]；偶极辐射出现的条件则是源的“荷动量”（charge-momentum）不守恒，由于电磁理论的“荷动量”确实不守恒，因此电磁理论有偶极辐射，而引力理论的“荷动量”乃是普通的动量，是守恒的，因此引力理论没有偶极辐射[5]。
引力波多极展开的最低阶是四极辐射这一特点也使得引力波更为微弱，因为在所考虑的近似条件下辐射的“极”数越多，辐射就越微弱（感兴趣的读者可以定性地估计一下辐射强度与辐射的“极”数之间的关系）。当然，这只是使得引力辐射微弱的原因之一，而且并非最主要的原因，最主要的原因是引力相互作用本身是目前已知的四种基本相互作用中最弱的，比另三种相互作用——强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用——都弱几十个数量级。当然，基本相互作用之间的这种比较是以微观世界为标准进行的，从而不能一概而论。比如引力本身在天体尺度上就绝不微弱，而引力波虽然在普通的天体尺度上依然微弱，却也并非总是微弱，在特殊的强引力场天体的特殊运动中可以变得很强，甚至强到令人难以想象，这些我们在后文中将会看到。
引力波多极展开的最低阶是四极辐射还有一个微妙的“副作用”，那就是在历史上曾使一些物理学家对引力波的存在做出过错误判断。比如继庞加莱之后引力波研究中的另一位“算不上先驱的先驱”，德国物理学家亚伯拉罕（Max Abraham）曾于1912年提出了自己的引力理论，并正确地意识到了引力波不存在偶极辐射（如前所述，这一特点源自守恒定律，从而可以不依赖于广义相对论而得到）。但也许是太看重引力波与电磁波的相似性，亚伯拉罕从不存在偶极辐射这一特点中鲁莽地舍弃了引力波的存在（当然，由于他的引力理论是错误的，即便没有舍弃引力波的存在，也难以得到正确的定量结果）。无独有偶，爱因斯坦本人在研究引力波之初也曾对引力波的存在作出过有可能是否定的判断。在1916年2月19日给德国同事施瓦西（Karl Schwarzschild）的一封信里，爱因斯坦表示在得到了完整的广义相对论之后，自己已用不同的方法处理了牛顿近似，得出的结论是“不存在与光波相类似的引力波”（there are no gravitational waves analogous to light waves）。
爱因斯坦的这一结论引起了一些好奇，比如《爱因斯坦全集》的编者之一、美国阿肯色大学的物理学家坎尼菲克（Daniel Kennefick）就对爱因斯坦得出这一结论的原因作了若干猜测。其中首先被猜测为原因的就是引力波不存在偶极辐射这一特点，因为爱因斯坦在信中直接提及了这一特点——虽然并未将之称为原因。除此之外，由于爱因斯坦提到了牛顿近似，坎尼菲克猜测他有可能尝试过从所谓的“后牛顿近似”（post-Newtonian approximation）入手研究引力波。后牛顿近似并不是研究引力波的方便手段，因为在这种近似中，以源的运动速度——确切地说是其与光速的比值 v/c——的幂次来排序的话，要计算到五次项才能显示引力波的存在（五次项对应的是引力波四极辐射带来的辐射阻尼效应），这远远超出了早期广义相对论研究的范围[6]。坎尼菲克认为，后牛顿近似中的低次项未能显示引力波的存在也有可能是爱因斯坦认为引力波不存在的原因。
坎尼菲克
坎尼菲克的这些猜测不能说没有道理，但在我看来有一定的过度解读之嫌，因为爱因斯坦所谓的“不存在与光波相类似的引力波”，从字面上看，完全有可能只是说引力波哪怕存在，也并不“与光波相类似”（比如不存在偶极辐射），而未必是全盘否定引力波的存在 （因此我们在上文中只称之为“有可能是否定的判断”）。由于爱因斯坦没有在其他文字中对这句话作出过进一步说明 （事实上也没有进一步说明的必要了，因为通信对象施瓦西在不到三个月之后就不幸去世了），他这句话的真实含义可能永远只能从猜测的意义上去解读了。但考虑到此后不久爱因斯坦就发表了明确肯定引力波存在的论文——即我们在《时空的乐章——引力波百年漫谈：从早期猜测到弱场近似》中的“广义相对论的弱场近似”中提到过的他的第一篇引力波论文“引力场方程的近似积分”，我倾向于猜测“不存在与光波相类似的引力波”并不是对引力波的全盘否定，而很可能只是对研究过程中发现的诸如不存在偶极辐射之类有别于电磁波的引力波特性的一种表述。
有关引力波的另一个微妙的问题是它是否携带能量。从前面的介绍中我们看到，引力波是时空本身的波动——因为其波幅是时空偏离平直的程度 hμν 。如果说音乐是空气的波动，那么引力波不妨称之为时空的乐章。但这个浪漫的名称掩不住一个问题，那就是时空是看不见摸不着的，我们对它的量度依赖于度规，度规又跟坐标的选择有关，而坐标的选择在广义相对论中却是任意的。那么，所谓时空的乐章，所谓时空本身的波动，会不会纯粹是一种坐标带来的幻象呢？这不是钻牛角尖，而是一个很正经的问题，因为如果坐标本身在波动，那么哪怕平直的时空也会看上去仿佛是波动着的，就好比用一把本身就在伸缩的尺子去量一个物体，哪怕物体的长度是固定的，每次量得的结果也可以是不同的，但那显然是尺子的问题而不是物体的长度在变。
事实上，爱因斯坦本人就曾注意到，采用不同的坐标可以得到不同类型的引力波，其中的某些类型确实只是坐标本身相对于平直时空的波动，而不是真实的引力波。以验证广义相对论的光线偏折效应而成名的英国物理学家爱丁顿（Arthur Eddington）也从坐标角度出发质疑过引力波，他发现引力波的某些分量的传播速度是跟坐标的选择有关的，从而十分可疑，他并且将这种引力波的传播速度戏称为“思维的速度”（speed of thought）[7]。这种因坐标的选择而产生的问题也可以从另一个角度来看，那就是引力场——如我们在《时空的乐章 ── 引力波百年漫谈 （二）：从牛顿引力到爱因斯坦时空》中详细介绍过的——在局域惯性系中是不存在的，或者说引力场能通过坐标变换局域地消去。这个特点意味着对一个自由漂浮的质点——真正意义上没有大小的质点——来说，无论多么强大的引力波都是不存在的——美国物理学家惠勒曾用“自由漂浮就是自由漂浮就是自由漂浮”（free float is free float is free float）来强调这一引人注目的特点。假如无论多么强大的引力波对于一个自由漂浮的质点来说都是不存在的，那引力波还有实在性吗？
答案是肯定的。
得出肯定答案的最简单的办法就是计算曲率张量，因为曲率张量——乃至一切张量——是否为零是一个与坐标选择无关的特征，因此引力波若果真只是坐标本身相对于平直时空波动带来的幻象，曲率张量就该为零。反之，若曲率张量不为零，则引力波就不只是幻象，而是货真价实的（虽然其中的某些分量依然可以有“水分”）。计算表明，对于上文给出的弱场近似下的引力波动方程的推迟解来说，曲率张量的非零分量为：Ri0j0 = —½∂2hij/∂t2。由于引力波的非零分量 hij是周期变化的，其对时间的二阶导数不为零，因此相应的Ri0j0 也不为零。这说明引力波是不能用坐标变换消去的，从而并不只是坐标带来的幻象。这跟惠勒那句“自由漂浮就是自由漂浮就是自由漂浮”是不矛盾的，因为曲率张量的不为零说明引力波的效应跟一切其他引力效应一样，虽然能被局域地消去，在全局意义上却是抹煞不了的，一个自由飘浮的质点虽“感觉”不到引力波，一根长杆、一个圆柱……乃至任何具有广延的物体却完全可以受到引力波的影响——事实上那正是引力波的检测途径。
从单纯的理论角度讲，对引力波实在性的最具体的论证当然是直接计算它所携带的能量。这个计算本身也有一定的微妙性，因为它所涉及的是引力场的能量动量，而那本身就是广义相对论的一个著名难题。这个难题追根溯源，也是来自引力场能被局域消去这一特点，因为它意味着引力场的能量动量具有非定域性。几十年来，物理学家们对引力场的能量动量进行了大量研究，给出过许多具体结果，都称不上完美，也始终存在争议。不过对引力波来说，人们通常假定时空是所谓的渐近平直时空（asymptotically flat spacetime）[8]，在这种情形下，只要所考虑的时空区域的线度显著大于引力波的周期和波长，或者只考虑引力波的辐射功率（它涉及的只是总能量），那些本质上源自引力场能量动量的非定域性的歧义就能消除。对于我们所考虑的弱场近似来说，情况更为乐观，我们甚至不必利用物理学家们出于普遍目的而提出的那些引力场的能量动量表达式，而可以直接地将引力场方程Rμν—(1/2)gμνR = 8πTμν 左侧除 hμν 的线性项以外的其他项——事实上只需平方项，因其余在弱场近似下皆可忽略——移到右侧，作为引力场的能量动量——即将该式改写为：
R(1)μν —½ημνR(1) =8π(Tμν + tμν) (4)
其中左侧的 R(1)μν 和 R(1)分别是里奇曲率张量 Rμν 和曲率标量 R 中 hμν 的线性项，右侧的 tμν 是Rμν—(1/2)gμνR 中hμν的平方项移到右侧与Tμν并列的结果，就不具体写出了。将hμν的四极矩解(2)式代入tμν 便可得到引力波的能量动量分布。这个分布作为定域分布是跟物理学家们出于普遍目的而提出的那些引力场的能量动量表达式一样有争议的，但取其中的能流部分对一个远离源的闭和曲面——通常选为球面——积分，却可以得到无争议的引力波四极辐射的辐射功率，具体的形式为：
dE/dt = -
G (∂3Qij/∂t3) (∂3Qij/∂t3) (5)
其中右侧的负号表明引力波导致的是能量损失——即源因辐射引力波而损失能量。(5)式的推导如今已是很多广义相对论教材的标准内容，但除求导和积分外，还涉及对偏振方向的平均等，计算其实是相当繁复的，当年就连爱因斯坦本人在有关引力波的第一篇论文中都没能算对，直到1918年发表的题为“论引力波”（On Gravitational Waves）的后续论文中才得以纠正[9]。
(5)式给出的引力波的辐射功率究竟有多大呢？我们将在下节中揭开谜底，我们将具体计算或估算一些典型物理体系——其中包括《时空的乐章——引力波百年漫谈：从早期猜测到弱场近似》中的“算不上先驱的先驱”[3]中提到的拉普拉斯考虑过的月球轨道运动——的引力波辐射功率。那也将是我们首次有机会通过一个具有日常含义的物理量——功率——来直观地了解引力波。我们会看到，月球轨道因引力波造成的“蜕化”为什么是如上文[3]所说的“绝非观测所能企及”，我们也会初步看到，在某些特殊体系中的引力波辐射功率可以达到惊人的程度。
[1] 在我们所采用的波速 c =1 的单位制下，推迟解与超前解的区别在于前者由 t — r 时刻的源决定 t 时刻与源相距 r 处的场，而后者由 t + r 时刻的源决定 t 时刻与源相距 r 处的场。从数学上讲两者都是波动方程的解——因波动方程是时间反演不变的，但从物理上讲，源是因场是果，因果关系要求因早于果，从而应该只用推迟解。不过也有物理学家有不同看法或作过不同尝试，比如惠勒和他的学生、著名美国物理学家费曼（Richard Feynman）曾尝试用超前解处理电磁理论的某些基础问题，丹麦物理学家莫勒（Christian Møller）则主张对引力波不能排除超前解。不过这些尝试或主张都未得出有建设性的结果。
[2] 这一近似之所以被称为低速近似或非相对论近似，是因为引力波的典型波长取决于源的运动。具体地说，若源的尺度为 R，典型运动速度为 v，则源的典型运动周期——同时也是其所发射的引力波的典型周期——为 T ∼ R/v，相应的引力波典型波长则为 λ = cT ∼ Rc/v，因此源的尺度远小于引力波的波长意味着 R ≪λ∼ Rc/v，即 v ≪ c，这正是低速近似或非相对论近似。
[3] 一般情形下的远场近似要求场点离源的距离 r 不仅远大于引力波的波长 λ (即 r ≫λ)，而且还远大于源的尺度 R（即 r ≫ R），不过多极近似已假定了源的尺度远小于引力波的波长（即 R ≪λ），因此后一条件（即 r ≫ R）是自动成立、不言而喻的。
[4] 电磁理论和引力理论都没有单极辐射还可以这么理解：单极辐射是球对称源——比如球对称电荷或质量分布的脉动——所发射的辐射。但对于像库仑力和引力这种满足平方反比律的场，早在牛顿时代人们就已知道，球对称源的外部场只与源的总量有关，因此这种源的任何运动——只要维持源的总量守恒——从外部场的角度看都等于是不存在的，从而不可能产生单极辐射（这同时也印证了单极辐射出现的条件是源的总量不守恒）。
[5] 可以证明，引力波没有偶极辐射——或者更确切地说，引力波的最低 “极” 辐射为四极辐射——跟前文分析引力波独立分量数目时提到过的引力子是自旋 2 的无质量粒子是完全一致的 （相应地，电磁波的最低 “极” 辐射为偶极辐射跟光子是自旋 1 的无质量粒子也是完全一致的）。
[6] 通过后牛顿近似研究引力波——主要是研究引力波的辐射阻尼效应——直到数十年后才有显著进展，中国物理学家胡宁等也在这一领域做过工作。另外，作为比较，著名的水星近日点进动只涉及到后牛顿近似中的二次项，在次数上远低于显示引力波存在所需的五次项——这也说明了庞加莱所猜测的引力波对水星近日点进动的影响 (参阅《时空的乐章——引力波百年漫谈：从早期猜测到弱场近似》中的“算不上先驱的先驱”）是完全错误的。
[7] 由于这个缘故，有些人将爱丁顿视为引力波的早期怀疑者。不过爱丁顿同时也发现了引力波横波分量的速度是光速，并且与坐标的选择无关，因此撇开措辞不论，他的发现跟现代研究其实并不矛盾，他认为可疑的分量只是那些可以通过坐标变换消去、从而本就不具有实在性的分量，并不构成对引力波的全面怀疑。
[8] 对于我们所考虑的情形来说，渐近平直时空粗略地讲就是在远离源的地方 hμν → 0。严格的定义则可参阅拙作《从奇点到虫洞》中的 第 3.1 节。
[9] 不过推导虽然繁复，最终的结果跟电磁理论的相应结果——即电磁四极辐射的辐射功率——其实只差一个比例系数，正所谓 “魔鬼存在于细节之中”（the devil is in the details）。
本文为卢昌海先生最新力作，《赛先生》获授权首发。欲读作者更多文章，可查看卢昌海个人主页www.changhai.org，或点击页面左下角“阅读原文”直达该网站。
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