分形几何
自然界的几何学
Long long ago，超模君为大家介绍
Koch曲线
（
传送门
）的时候提到了
分形
，结果小天很好奇这个所谓的分形究竟是什么。为了不让小天老是纠缠这个问题，今天超模君就来介绍一下分形吧。
数千年以来，几何学的研究主要集中在欧几里得几何上。正因如此，欧式几何一直是人类认识自然物体形状的有力工具，还是各种学科理论的基础。甚至伽利略曾断言：“
大自然的语言是数学，它的标志是三角形、圆和其他几何图形
”。
但，真的是这样吗？
事实并非如此，自然界中存在着各种
不规则不光滑不连续
的几何形体，譬如
湍流的高漩涡、河流的支流、蜿蜒的海岸线
，而这些形体是无法用欧式几何描述的。
既然“万能”的欧式几何不管用了，那么有没有处理这些不规则形体的好方法呢？
显然是没有的。
因此在1个多世纪前，所谓的
数学怪物
出现了，而康托尔、
魏尔斯特拉斯
等数学家则成为了制造者。
1883年，康托尔（
传送门
）引入了如今广为人知的
康托尔集
，也称为三分集。虽然康托尔集很容易构造，还是
个测度为0的集，也就是它的函数图像面积为0，
但它具备很多
最典型的分形特征
，因此康托尔始终无法解决。
目前分形几何的特征有：在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则； （至少是大略或任意地）自相似，豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）； 有著简单的递归定义。
Cantor集
1895年，在大部分数学家认为除了少数特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率的情况下，
魏尔斯特拉斯提出了
第一个分形函数
“
魏尔斯特拉斯函数
”，并凭借函数曲线特点
“
处处连续，处处不可微
”
证明了所谓的
“病态”函数
的存在性。
1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，而这个雪花曲线就是de Rham曲线的特例
科赫曲线
（
传送门
）。
Koch曲线
1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用
等边三角形
进行分形构造，提出了
谢尔宾斯基
三角形
；两年后，
利用
正方形
进行分形构造提出了
谢尔宾斯基地毯
。
谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯（3D）
之后的59年间，陆续有人研究出相关的分形情况，但始终都没有人能够消灭这些数学怪物，直到“
分形学之父
”Benoit Mandelbrot
（本华·
曼德博，又译为
芒德布罗）
误打误撞发现了一只
臭虫
，诞生了真正属于自然界的几何学——
分形几何
，才
彻底解决
。
Benoit Mandelbrot
1961年，在IBM担任研究员的Mandelbrot收到了解决阻止信号传输的
白噪声
的任务。虽然任务相当简单，但是
Mandelbrot被要求提供新的解决方案，因此他只好借助自身擅长可视化思考问题的优势来探索解决方法。
于是在从
形状
上观察白噪声的时候，
Mandelbrot
发现
白噪声转换而成的扰动图形揭示了一种奇怪的特征：
无论图形的比例是多大，无论数据代表的时长是多少，扰动模式基本一致
。
这很奇怪，谁能告诉我为什么
这个奇怪的特征让
Mandelbrot
甚是苦恼，不过他有个好叔叔。因为他的叔叔佐列姆·芒德勃罗伊
（Szolem Mandelbrojt）
曾经建议他研究研究
皮埃尔·法图
（Pierre Fatou）
和
加斯顿·朱利亚
（Gaston Julia）
建立的
迭代理论和公式
z = z
2
+ c
。
公式采用变量z和参数c，映射了复平面上的数值。其中x轴测量复数的实数部分，而 y 轴测量复数的虚数部分。
而正是因为这个建议，
在借助IBM家的高性能计算机的情况下，
Mandelbrot
通过迭代对
数字进行了成千上万次的运算和处理，最终成功绘制输出值的图形—
一个形似臭虫的图形。
迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果。每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。
