平方数，稀少普遍两相宜

作者 | 桃李昔

在自然数这个大家族中，有些数非常特别，1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，……像 1、4、9、16……这样的数，数学上叫做“平方数”。

你知道吗？平方数非常少！100 以内的平方数从小到大也就 0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 共 11 个，大约占了总个数的 11%。200 以内的平方数也不多，一共 15 个，约占总个数的 7.5%；300 以内的平方数一共 18 个，约占总个数的 6%；400 以内的平方数一共 22 个，约占总个数的 5.2%；……1000 以内的平方数一共 32 个，约占总个数的 3.2%；10000 以内的平方数一共 101 个，占比更小了，仅占总个数约 1%。

瞧，平方数，就是如此的稀少！

现在，让我们把目光转向那些不能进入平方数队伍的数。

比如 95，它显然不是平方数。数学家们想：既然 95 不是平方数，那它能不能表示成几个平方数之和呢？经过尝试，容易得到，95=1+4+9+81，或写成 95=1²+2²+3²+9²。也就是说，95 可以表示成四个平方数之和。

学无止境，思无终点！数学家们继续想，是不是任意一个自然数都可以表示成几个平方数之和呢？如果答案是肯定的，最多需要多少个平方数？

问题引发探究，行动催生发现！数学家们的研究取得重大进展，他们惊喜地得到：任意一个自然数，都可以表示为最多 4 个平方数之和 （4 个平方数可以相同，也可以不同） 。这真是一个奇特有趣的发现，数学上把它称为“四平方和定理”。

举些例子吧！

16=4²，4 本身就是一个平方数。

34=3²+5²，34 可以表示成 2 个平方数之和。

22=2²+3²+3²，22 可以表示成 3 个平方数之和。

15=1²+1²+2²+3²，15 可以表示成 4 个平方数之和。

因为这个定理在 1772 年被法国数学家拉格朗日证明，所以它又被称为“拉格朗日平方和定理”。

看，平方数虽然稀少，可还有“四平方和定理”啊，这定理对于任何一个自然数来讲是普遍适用的！

作者简介： 桃李昔，从小喜欢数学，第一份工作是数学教师，现在依然钟情数学。主张数学教育应传授知识、传播文化、传递热情。