依随时代的发展和科技的进步，现代拓扑几何理论愈来愈广泛而深入地渗透到工业和医疗领域。为了顺应时代的要求，丘成桐先生从数十年前开始号召全世界的数学家到中国国内讲学。笔者从2012年开始，每年暑期在清华大学丘成桐数学中心讲授《计算共形几何》课程，面向广大具有数学背景和工程背景的学者和学生。疫情期间，课程移至线上，参加课程的同学空前增加。时至今日，无论笔者在国内、北美还是欧洲旅行，总会频繁遇到学习过《计算共形几何》课程的年轻人，他们大多在学术界或者高科技领域发展。在过去二十年间，在丘成桐先生的领导下，经过很多基础数学领域和计算机科学领域的学者们的共同努力，计算共形几何的理论从雏形渐渐发展成熟，算法经历各种应用的锤炼日益实用。我们期待未来的十年，计算共形几何真正大规模进入产业界，实质性地推动工程和医疗领域的发展，为国家和社会做出贡献。
近几年来，新能源汽车工业正在崛起，生成式人工智能也迅猛发展。我们课程设置也进行了调整，以响应时代的要求。汽车工业仰仗工业软件，而工业软件的内核需要很多深入的现代拓扑几何理论。
笔者与
Cadence的研发部门深度合作，攻克多物理场数值模拟领域的很多基本问题。Cadence多物理系统分析研发总监吕传林先生认为，多物理场数值仿真的关键在于几何方面，而非数值求解方面，特别是如何生成高质量网格是整个系统的核心。国际网格生成领域华裔领军人物斯杭博士认为网格生成的难点在于高质量表面网格的生成，体网格生成会遇到各种拓扑障碍，其理论基础尚未成熟。曲面的非结构化网格生成需要用到曲面单值化定理和里奇流理论，而曲面的结构化网格生成依赖于黎曼面上的Abel-Jacobi理论和黎曼-罗赫理论，体网格的生成需要用到瑟斯顿的三维流形几何化理论。生成式人工智能需要用到最优传输理论，凸微分几何中的Minkowski-Alexandrov理论。今年的课程，我们会涉及到这些基础理论。为了将这些理论应用于工程实践，我们也会介绍这些理论在离散流形上的推广以及相应的算法与直接应用。
现代几何理论主要研究流形上的各种
结构
，以及各种结构之间的
关系
。主要的研究手段包括组合、代数、分析和几何方法。每一种结构之上可以定义各种几何实在，计算相应的不变量，受到其他结构的制约同时也影响其他结构。不同的结构上，人类发明了不同的理论和计算工具，和不同的研究手法，也有不同的直接应用。固定底层结构，其上所有可能的同种高层结构的集合构成所谓的模空间，模空间的结构至关重要。
《计算共形几何》
这门课程主要讲解
曲面的拓扑结构、微分结构、
共形结构、黎曼
度量结构、
等
距
嵌入，
也会
涉及到三维流形的拓扑结构
与黎曼度量结构。
拓扑结构是在拓扑同胚群作用下的不变结构，曲面情形非常简单，三维流形情形极其复杂。核心困难来自于人类是三维欧式空间中的生物，无法直接体验和想象更高维空间中的几何，而绝大多数的三维流形是无法在三维欧式空间中（等距）实现的。曲面的全系拓扑不变量是可定向性、亏格与边界个数。三维流形的拓扑不变量一言难尽，最为主要的不变量是标准度量（即用几何来表达和研究拓扑）。
组合方法
主要有两种：一种是分解，一种是手术。分解方法将整个流形剖分成简单的单元，表达每个单元，同时记录不同单元之间的粘贴方式。拓扑手术是将当前流形去除一些区域，然后选择另外一个流形，其边界子流形与去除区域的边界子流形具有相同的拓扑，再选择两个边界流形之间的同胚，将第二个流形沿着边界粘贴到第一个流形。
常见的分解方法有曲面的三角剖分，三维流形的四面体剖分。曲面的裤管分解也是一种常用方法，即将曲面分解成裤管（零亏格曲面带有三条边界）。带边三流形一般分解为截头四面体（即四面体截去四个顶点）。可定向曲面也可以分解成拓扑环面的拓扑和，即沿着一些环路将曲面分割，每一个联通分支是亏格为1的曲面。类似的，不可定向曲面可以分解为射影曲面的拓扑和。我们可以将三流形沿着一些本质球面分解成所谓素流形的拓扑和，所谓素流形就是无法再用球面分割得到拓扑更加简单的分支。米尔诺（Milnor）证明过这种分解方式是唯一的。但是，素三维流形依然非常复杂，我们需要再沿着本质环面将素流形进一步分解，最后得到每个分支都是以（多个）拓扑环面为边界的三流形。这就是所谓的JSJ分解(William Jaco, Peter Shalen and Klaus Johannson 分解)。瑟斯顿(Thurston)几何化定理就是说如此最终得到的每个联通分支可以配上八种标准几何中的一种。这里的切割曲面往往是不可压缩的，即如果曲面上的一个圈可以在三流形中缩成一点，那么这个圈在曲面上也可以缩成一个点。如果一个三流形内部存在一个可定向的、正则嵌入的、不可压缩曲面，则这个流形被称为是哈肯的（Haken）。我们可以将哈肯流形
沿着不可压缩曲面分解，每个联通分支可以递归地分解下去，直至无法分解为止，如此得到所谓的哈肯分解（Haken）。
另外常用的
分解方式是
CW-胞腔分解
，即
从离散点开始
得到0维骨架
，
每一步
在
k维骨架上
粘贴
（k+1
）
维的拓扑
圆盘，
使得
拓扑圆盘的边界在k维骨架上
。
类似的，我们
将（k-1
）
维球面和
（
n-k
）
维的拓扑圆盘的直
积定义为一个
k
-环柄
，
通过拓扑手术
将
拓扑环柄
粘贴
成
所谓的柄体（handle bod
y
）。
封闭三流形可以通过
切割一张曲面得到两个柄体，
这
种分解方式被称为是 Heegaar
d Splitting。
反之，我们可以将两个柄体沿着边界曲面粘贴得到封闭3-流形，这时边界间的同胚的通伦类决定了3-流形的拓扑。更进一步，由Mostow刚性定理，3-流形的几何结构一般由其边界曲面上的几何结构所决定，封闭3-流形的几何结构由其拓扑结构所决定。这就意味着一旦我们决定了两个柄体，和其边界映射的同伦类，那么边界曲面上的标准度量就已经被决定了，这个黎曼度量被边界映射所保持。这实际上是瑟斯顿
的曲面映射分类理论，需要用到曲面映射类群的概念。
3-流形的Dehn手术是指在3-流形内部挖去一个实心轮胎，然后将实心轮胎切开成实心圆柱，将圆柱沿着中轴线扭转几圈，然后粘回成实心轮胎（类似于炸麻花的过程），再将实心轮胎粘回原来的3-流形。这样我们就改变了原来3-流形的拓扑。我们从3维球面开始，挖掉一些纽结（knots），这些纽结彼此勾连构成链环（link），我们沿着每一条纽结做Dhen手术，其扭曲用一个有理数来表示，可以构造出所有的3-流形。而这个链环，与每条纽结上的扭曲表示构成所谓的Kirby Diagram。这是3-维流形的一种普适表示。这种表示间的变换，由所谓的Kirby Calculus来进行演算。
由此可见，流形的组合分解灵活多变，不同的应用需要用到不同的分解方式。JSJ分解和Haken分解的关键在于寻找不可压缩曲面，Heegaad Splitting需要寻找不变度量，
其涉及的算法复杂度往往很高。而这正是目前工业软件的技术瓶颈所在。
代数方法
就是在流形上定义各种群或者环，流形的拓扑性质反映在群的结构之中，即在拓扑范畴到代数范畴之间建立了各种函子。
最为关键的代数拓扑方法就是建立基本群，即流形上所有的封闭曲线的同伦类，通过首尾衔接，构成的非交换群。基本群由其生成元与关系元所表示，完全反映了曲面的结构，同时也决定了绝大多数3-流形的拓扑结构。例如庞加莱定理就是说如果紧的3-流形基本群平庸，则流形为3维的球面；再如两个纽结同痕，当且仅当它们的补空间基本群同构。3-流形内部的不可压缩曲面，对应着3-流形基本群中的子群。例如，如果3-流形内部存在一个不可压缩的环面，则其基本群中存在一个二维的阿贝尔子群。一个流形的子群共轭类对应着流形覆迭空间的同构类（Galois对应），特别的，单位元对应着流形的万有
覆迭
空间。万有覆迭空间保持投影映射不变的所有子同胚构成所谓的甲板映射群。
万有
覆迭
空间的拓扑意义是所有道路同伦类构成的空间，通过将流形上的问题提升到万有覆迭空间，可以简化很多拓扑计算。流形的分解和手术，对应着基本群的变换，这由Seifert-van Kampen定理所刻画。给定流形的CW-胞腔分解，基本群的一个表示可以直接写出来。对于纽结的补空间，也有简洁的算法直接写出基本群的表示。但是，同一个基本群可能有无穷多个不同的表示，通过符号计算来验证两个表示彼此等价却具有指数级复杂度，因此实际应用中，还是依赖几何方法。
一维下同调群是基本群的阿贝尔化，从而可以用线性代数方法进行演算。下同调群的直观意义是“圈儿与边儿的差别”，即
恰当链与
闭链的差别。如果我们有流形的三角剖分，我们可以边缘算子，用整数矩阵的运算得到不同维下同调群。在曲面上，同调群与基本群给出同样的信息，但在3-流形上，同调群远远弱于基本群。在应用中，我们经常考虑曲面嵌入在3-流形内部，这样曲面同调群基底的选取与背景3-流形相关，例如欧式空间中曲面上的环柄圈与隧道圈。这些可以通过用持续同调的方法计算出来。
为了研究3-流形的拓扑，我们需要研究曲面映射类群。曲面映射类群的生成元为Dehn扭曲（Dehn Twist）：选择曲面上的一条封闭曲线，将曲面沿着封闭曲线切开，固定一个端口，逆时针扭转另外一个端口一圈，再粘回去。瑟斯顿证明了所有曲面映射可以分成3类：周期映射、Pseudo-Anosov映射与可约映射。周期映射的有限次幂等于恒同映射，它保持曲面上的唯一双曲度量；Pseudo-Anosov映射保持曲面上的两族叶状结构；可约映射保持曲面上的一组封闭圈，（可能重排列这些圈），同时限制在这些圈的补空间上可以归为前面两类。在粘合3-流形时，我们需要考虑边界粘合映射的分类和对应的不变度量。
几何方法
就是为拓扑流形配上标准的黎曼度量来进行研究。曲面的单值化定理断言，我们可以为曲面配上常值曲率的度量，从而根据曲面的亏格将其万有覆迭空间等价嵌入在单位球面（零亏格）、欧式平面（一亏格）或者双曲圆盘（高亏格），万有覆迭空间的甲板映射群表示为三种标准空间的等价变换群的子群，从而将拓扑问题转换为群论问题。类似的，瑟斯顿几何化定理断言，JSJ分解后所得到的流形可以配上8种标准几何中的一种，同样的图景存在。
流形的一个微分结构可以被视为一个图册，所有局部坐标变换都是光滑的，从而传统的微积分概念可以推广到流形上面。流形的切向量场是定义在微分结构之上的。光滑切向量场的孤立零点可以定义指标，即围绕零点画一个小圈儿，沿着小圈儿切向量旋转了几圈。Poincare-Hopf定理指出光滑切向量场的总指标等于曲面的欧拉示性数，这给出了微分结构与拓扑结构之间的内在关系。
类似的，我们可以在流形上定义所谓的Morse函数，即具有孤立奇异点的二阶光滑函数，奇异点处Hessain矩阵的负特征根的个数定义为奇异点的指标。Smale-Morse理论指出，根据奇异点的指标，我们可以决定流形上水平集的拓扑伦型。这也给出了
微分结构与
拓扑结构之间的内在关系。
基于微分结构，我们可以定义切向量场的对偶：微分形式场，从而建立所谓的外微分算子。外微分算子是经典的微分算子的直接高维推广，例如梯度，旋量和散度算子。
外微分算子的像被称为是恰当微分形式，
外微分算子的核被称为是闭微分形式，闭微分形式与恰当微分形式的区别就给出了de Rham上同调群。虽然下同调更加直观，容易理解，de Rham上同调更加适合计算各种微分不变量，外微分是研究微分几何的利器。
我们将流形各点处切空间的并集视为一个整体，赋予自然拓扑，如此得到了纤维丛的概念，而切向量场为切丛的一个整体截面。如果，我们考察单位切向量构成的纤维丛，那么我们得到流形的单位切丛。切向量场的零点成为单位切丛整体截面存在性的障碍。陈省身先生的示性类理论指出每个纤维丛类对应
一个
底流形上的顶维上同调类，即所谓的陈类。如果纤维的基本群是阿贝尔的，那么陈类理论可以直接应用。
流形上不同两点处的切空间是不同的空间，它们之间并没有直接联系。我们连接这两点画出一条路径，然后定义所谓的联络结构，可以将切向量沿着路径平行移动，从而建立了两个切空间之间的联系。联络可以用微分形式来表示，平行移动归结为求解常微分方程。如果一条路径其切向量场沿着路径平行，则这条路径为测地线。沿着封闭曲线平行移动一圈，初始切向量和终止切向量之间相差一个旋转，这给出了曲面的内蕴曲率。联络微分形式的外微分给出了曲率微分形式，曲率微分形式给出了单位切丛的陈示性类。这一图景向3-流形推广，我们有陈-西蒙斯理论。
工程方面，工业软件是基于样条理论，而样条理论是基于曲面的仿射结构。如果曲面上存在仿射结构，则我们可以构造一个特殊的联络，使得其曲率处处为零，由此得到封闭曲面必为环面。换言之，一般封闭曲面并没有仿射结构，因此构成处处光滑的样条具有本质困难。这也是工业软件内在难点之一。
曲面的共形结构可以被视为一个图册，局部坐标之间的变换是双全纯的（复解析）。共形结构没有长度的概念，但是具有角度的概念。具有共形结构的曲面被称为是黎曼面。复变函数的基本概念可以直接向黎曼面上推广，例如全纯、亚纯函数，全纯、亚纯微分等等。调和分析中的调和函数、调和微分的概念也可以在黎曼面上定义。这些概念都具有某种全局的刚性，即函数的性质由几个点的局部所整体决定，这种刚性的数学刻画是黎曼面理论的核心。
例如，在共形结构下，我们可以定义调和微分形式的概念。Hodge理论断言：每一个de Rham上同调类中，存在唯一的调和微分形式。Hodge理论连接了拓扑结构和共形结构，（或者更加广泛的，黎曼度量结构）。其进一步推广是所谓的Atiya-Singer指标定理：黎曼流形上的椭圆形偏微分方程解空间的维数与流形的拓扑密切相关。我们前期的工作将光滑流形上的Hodge分解理论推广到离散流形上面，发展出离散Hodge分解的算法，本质上是将有限元方法推广到外微分领域。
例如，由最大值原理，紧黎曼面上的全纯函数必为常数；复平面上，有界的全纯函数必为常数等等。而黎曼面上有无穷多个亚纯函数，亚纯函数由其零点和极点所决定，零极点的位置并非任意，而是由Abel-Jacobi定理来决定。给定部分零极点的位置，所有满足条件的亚纯函数构成一个线性空间，空间的维数由黎曼-罗赫（Riemann-Roch）定理所决定。黎曼-罗赫定理可以看成是流形的共形结构与拓扑结构之间的内在关系。
紧黎曼面上所有亚纯函数构成一个代数域，两个紧黎曼面共形等价，当且仅当它们的亚纯函数域彼此同构。我们也可以计算紧黎曼面的共形不变量，如果两个黎曼面的共形不变量相同，当且仅当它们彼此共形等价。较为常见的共形不变量是黎曼面的周期矩阵，和它的共形模。共形不等价的黎曼面之间，固定映射的通伦类，则存在唯一的Teichmuller映射，使得角度畸变最小。Teichmuller映射决定了源曲面和目标曲面上的两个全纯二次微分，它把全纯二次微分的零点映到零点，水平、铅直轨迹映到水平、铅直轨迹，同时如果我们用全纯二次微分所诱导的平直度量来衡量，Teichmuller映射是水平方向拉伸、铅直方向压缩，拉伸比恰好等于压缩比。
在共形等价的意义下，单连通的开黎曼面只有三种：单位球面、复平面和复单位圆盘，恰好对应着0亏格、1亏格和高亏格紧黎曼面的万有覆迭空间。这是共形意义下的单值化定理。这等价于我们可以为紧黎曼面配上三种标准的常曲率度量。
标准度量也给出曲面的不同结构，例如高亏格曲面的双曲度量给出复射影结构。曲面上的实射影结构由曲面的全纯三次微分所决定。在很多应用场合，射影结构起到至关重要的作用。
我们固定黎曼面的拓扑，而考察所有可能的共形结构，所有的共形结构构成一个有限维的空间：
Teichmuller空间。
任意两个共形结构之间存在唯一的Teichmuller映射，由唯一的全纯二次微分所决定，根据黎曼-罗赫定理，所有的全纯二次微分构成的空间是6g-6维，这里g是曲面的亏格，并且是单连通的，即拓扑圆盘。
我们考虑全纯二次微分的空间中一条射线，将射线视为Teichmuller空间边界上的一个点，如此得到紧化的Teichmuller空间。
黎曼面的任意一个自同胚都将黎曼面的共形结构映射到另外一个共形结构（拉回共形结构），即曲面映射类群作用到紧化的Teichmuller空间之上，由布劳威尔不动点定理，曲面子映射必然有不动点。
如果不动点在Teichmuller空间内部，则映射为周期性映射；
如果不动点在边界上，则映射为Pseudo-Anosov。
同一射线上的全纯二次微分，它们的水平和铅直轨迹诱导了相同的水平和铅直叶状结构。
因此Pseduo-Anosov映射保持着两组
叶状结构不变。而Teichmuller空间内部的每一个点，唯一地对应着一个标准黎曼度量，即每一个共形结构具有唯一的双曲度量，这可以由Yamabe方程理论或者Ricci流理论来保证。
所谓的黎曼度量就是给流形每一点的切空间上定义一个内积。给定一个联络和一个度量，我们说它们彼此兼容，如果“平行移动保内积”，即我们沿着一条路径同时平行移动两个切向量，在移动过程中的每一个刹那，两个向量的内积保持不变。这样的联络被称为是Levi-Civita联络，由度量唯一决定，即度量的一阶微分给出了Levi-Civita联络。由此，我们可以由度量来决定曲率，测地线等等。
著名的Gauss-Bonnet-Chern定理断言：
曲面上的任意一个
黎曼度量
所诱导的
Gauss
总曲率是一个拓扑不变量
，
即曲面的切丛的示性数
。
这个定理给出了
黎曼度量结构与拓扑结构之间的内在联系。
反过来，给定曲率，我们如何得到相应的黎曼度量。在曲面上，在保持共形结构的前提下，度量存在，这可以由曲面Ricci流理论给出证明。在1980年代，Hamilton为了证明庞加莱猜想和瑟斯顿几何化猜想提出了Ricci流方法，即将黎曼度量变形，其变化速率正比于当前的Ricci曲率，那么在适当条件下，黎曼度量会收敛到常曲率度量。显然，曲面Ricci流理论可以推出经典的曲面单值化定理。
我们前期的工作将曲面Ricci流理论从光滑曲面情形推广到离散多面体网格，从而证明了单值化定理在离散情形依然成立。这个算法可以根据离散高斯曲率设计离散度量，从而将所有的离散曲面保角映射到三种标准空间之中，将3D几何计算问题转化成平面问题。离散Ricci流理论保证解的存在性、唯一性和收敛性。同时算法基于凸的几何变分问题，可以由牛顿法进行优化。这是目前唯一的可以根据曲率计算黎曼度量的算法。
与曲面不同，3-流形没有双曲结构，由Mostow刚性定理，双曲3-流形的双曲度量由其拓扑结构所唯一决定，（高维情形亦成立）。Mostow刚性定理的证明依赖于Gromov提出的单纯体积概念，单纯体积来自于单纯下同调，是一个拓扑量，但是其值却等于流形的双曲体积，即几何量。因此单纯体积被视为Gauss-Bonnet-Chern理论的一个自然推广。
经过很多数学家的多年艰辛努力，Hamilton，Perelman，丘先生团队，
Thurst
on几
何化猜想
（蕴含
庞嘉莱猜想
）最终被
Ricci流方法所
证明。3-流形经过JSJ分解之后，每一片都是以环面为边界的流形，最为困难的是双曲情形。
我们曾经给出过一个算法，处理边界为全测地双曲3-流形情形。对于纽结的补空间，Thurston给出了完善的理论结果。
Thurston证明，如果纽结不是卫星纽结或者环面纽结，那么纽结的补空间一定是双曲的。我们将纽结补空间用截头四面体进行剖分，每个四面体的双曲几何用一个复参数来表示。这些四面体严丝合缝地拼接在一起，由此得到每条边周围的二面角只和必为周角（曲率条件），同时这些截头四面体的边界构成一个拓扑环面，带有平直度量，曲面的甲板映射是平移，如此得到平环条件，通过这些条件可以求解四面体的复参数，从而得到三流形的双曲度量。由此，再经过Dehn手术，我们可以得到更加广泛的双曲三流形。
对于凸曲面，黎曼度量诱导欧式空间中的等距嵌入。著名的Minkowski-Alexandrov理论给出了嵌入的理论结果，即给定球面上定义的高斯曲率，如何重建曲面。从计算角度而言，这些定理等价于欧式空间和球面空间上的最优传输问题，和在度量空间中优化Hilbert-Einstein泛函。
而离散Ricci流理论是依赖于在三维流形的双曲度量空间中
优化
Hiltert-Einstein泛函。
我们用输入的三角网格构造一个双曲三流形，这个3-流形被双曲三棱柱剖分，一般情形无法嵌入在三维双曲空间之中。
优化后这个3-流形可以等距嵌入在三维双曲空间中，结果就是单值化的双曲度量。
因此，我们看到，计算共形几何需要用到双曲3-流形理论。
曲面和3-流形的拓扑、几何理论并非彼此独立，而是构成一个有机的整体，很多概念和定理彼此依赖，相互印证，彼此支撑，不可割裂。我们希望这次课程能够帮助大家编织低维拓扑、几何的知识网络，打开“
天眼
”，提高空间想象力，增强几何直觉，储备现代几何和拓扑算法。
今年，笔者计划继续线上的“计算共形几何课程”。课程主要参考教材是丘先生与笔者所著，高教出版社出版的“计算共形几何-理论篇”，和算法专著。课程从六月29号开始，每周一、三、六晚上，北京时间8:30开始，大约1个半小时左右。腾讯会议号为536-4137-8835，会议密码467783。
B站直播网址为：
http://online.conformalgeometry.org。期待和广大同学们共同学习欣赏现代数学，为即将到来的工业革命做好准备。
课程教材。
