欧拉公式——上帝创造的数学公式

1743年，著名的数学家欧拉在一篇正式发表的论文中首次得到了如下这个结果

其中e是自然常数，其值约为2.718； cos 和 sin 分别是余弦和正弦函数；i是虚数，满足 i²=-1。 当t=π时 cos π＝-1， sin π＝0，于是上面公式变成

第二个公式更广为流传，短短的公式中聚集了五个最著名的数学常数：

0，1，i(虚数)，π (圆周率) ，e (自然对数)

因此，第二个公式也被数学家们称为“上帝创造的数学公式”

我们来看欧拉公式中的五个常识

0，1，i，π，e

和三个函数

e ^x ，cos t， sin t

其中 0和1无需多言，i在我们此前的文章《 复数——几何直观和代数运算的交响乐 》中也彻底讲明白了。 圆周率π就是单位圆(半径为1的圆)周长的一半。 还有函数 cos t， sin t ， 它们分别表示(以原点为圆心的)单位圆周上，逆时针偏离(1,0)点弧长距离为t的点的横坐标和纵坐标，

到了自然函数e和指数函数 e ^x 问题就来了，

自然常数e为什么会称为自然？

指数函数 e ^x 当x为有理数时，可以用乘方和开根号来定义，

对于一般实数是不是要用极限定义？

欧拉公式中指数函数 e ^x 甚至取x值为虚数，那又该如何定义？

这些问题正是欧拉公式给许多人留下神秘印象的原因。要解释清楚欧拉公式和这么多问题，我们该选择从哪里入手作为起点呢？

我们选择的起点就是用幂级数定义的函数E(x)

很多人在这里可能要问：

为什么选择这个幂级数作为起点？

因为唯有如此，才能最便捷最有效地理解欧拉公式，请拭目以待！

注意这个函数E(x)对于所有的复数x都是可以定义的，这一点非常重要。

好了，接下来，我们将从这个起点出发，推导出 两个方程 (微分方程，函数方程)和一个 共轭等式 ，这三者对我们理解欧拉公式都是 至关重要的！

我们直接推导这个函数方程：

大家注意推导中最后一步使用了二项式定理，实际上函数方程是二项式定理的生成函数表达式，换句话说

(除了二项式定理外，还有很多组合恒等式可以写成生成函数的形式，有兴趣的朋友可以自主探索一下。)

好了言归正传，如果我们令

那么根据函数方程，

E(2)= E(1) E(1)= e ²

E(3)=E(2)E(1)= e ³

^........

所以E(x)= e ^x 对所有整数x都是成立的。再根据函数方程

E(1/3)E(1/3) E(1/3) = E(1/2)E(1/2) =E(1)= e

又因为 E(1/2)， E(1/3)都 是正数，所以

E(1/2)= e ^1/2

E(1/3)= e ^1/3

进一步可以推导出E(x)= e ^x 对所有有理数，对所有实数(取极限)都是成立的。所以E(x)是指数函数 e ^x 的推广。对于复数x，我们也把E(x)写成 e ^x 。 比如 e ^it 就是 ：

逐项求微分就可以得到这个微分方程：

相信不少人都知道e可以用复利的方式来理解：

假如有人借给你1万元高利贷，年化利息是100%，那么一年后结算，你要还他2万元。但是如果他半年后结算，就是(1+1/2)万，然后再借给你，半年后再结算，那就是 (1+1/2) ² 万=2.25万。如果每四个月结算一次，那一年后就是 (1+1/3) ³ 万 ≈ 2.37万。如果把一年分成许多个，甚至无数多个时间段，不停地，连续地复利结算，那最后的结果就是极限

这个极限也是约等于2.718。 也就是说最先的1万元，在一年的时间内连续复利，最后变成约等于2.718万元

另一方面，当x从0连续变到1的时候，函数e ^x 的值是从1增长到e，而且 e ^x 的微分方程表明，这种增长方式也是每个时刻都以自身的值作为增长率，这和上述的复利模式是相同的。所以我们很直观地从 e ^x 的微分方程看出

在讲 函数e ^x 的共轭等式之前，我们先复习一下共轭复数的概念：

复数z=x+yi的共轭复数是定义为 z =x-yi，对应到平面上就是两个关于x轴对称的点。

很容易验证，共轭和加法，乘方运算是交换的：

两个互为共轭复数的乘积刚好等于模的平方：

z z = | z | ²

这个等式的推导也很简单：

共轭等式告诉我们，函数 e ^x 在一对共轭复数处取的值也是互为共轭的。

我们现在重新来审视欧拉公式

这个公式的左边是一个定义在整个实数轴上的复值函数，也就是说，对于每个实数t，都对应着唯一的复 数 e ^it 。 我们在文章《 复数——几何直观和代数运算的交响乐 》中讲过，复数和平面上的点一一对应。 所以如果我们把数轴看成时间直 线的话，

e ^it 就可以看作是一个质点在平面上的运动，在t 这个时刻，质点的位置是 e ^it 。

但是这个公式的右边也是一个定义在整个实数轴上的复值函数，也 可以看作是一个质点在平面上的运动。我们在第一节中说过， 函数 cos t， sin t 分别表示(以原点为圆心的)单位圆周上，逆时针偏离(1,0)点弧长距离为t的点的横坐标和纵坐标，

也就是说，在时刻t，质点在单位圆周上走过长度为t的路程。换句话说，欧拉公式的右边代表质点绕单位圆做逆时针匀速圆周运动，速度为1。

所以，我们要说明欧拉公式的左边 e ^it 也 代表质点绕单位圆做逆时针匀速圆周运动。我们先来说明为什么函数 e ^it 的值总是落在单位圆周上。根据 e ^x 的 共轭等式