灵机一动 | 第323期 取整算式

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

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◎题友 @易小龙 的解答：

a,b,c构成等比数列，由于a,b,c都是整数，公比只能是有理数，设公比是p/q（p>q>0，p，q为整数且互质）。b=ap/q，c=ap²/q²，显然 a 可以被 q² 整除，所以设 a=xq²。于是x(p²+pq+q²)=111=3×37。

若x=1，p²+pq+q²=111，看成p的一元二次方程，Δ=q²-4q²+444=444-3q²=3(148-q²)，Δ是完全平方数，q=1,10,11，对应的p=10或-11,1或-11,-1或-10，只有q=1,p=10满足p>q>0，此时x=1，a=1，矛盾舍去。

若x=3，p²+pq+q²=37，同理可得只有p=4，q=3满足p>q>0，此时a=27，b=36，c=48。

若x=37,则p²+pq+q²=3，只能p=q=1，舍去。

若x=111，则p²+pq+q²=1，无解。

所以只有a=27,b=36,c=48一组解。

◎题友 @老树 的解答：