本文介绍了先发优势、递归概率和赌徒破产三个概率问题，通过具体计算和解析展示了它们的解决方案和应用。先发优势中先抛硬币的人吃到苹果的概率是2/3，递归概率中通过递归方程解决无限往复的问题，赌徒破产问题则揭示了即使在公平赌场中，赌徒想要获得远超初始资金的收益的概率会线性下降并最终几乎为零。
分析了赌徒破产问题的数学结构和现实意义，展示了在公平和不公平赌场中赌徒的获胜概率。在公平赌场中，获胜概率随目标金额线性下降并最终几乎为零；在不公平赌场中，情况更糟糕。
一
先发优势
有一个苹果，两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛的人吃到苹果的概率是多少？
让我来一步步解决这个概率问题。
设先抛的人吃到苹果的概率为 P
分析可能的情况：
写出概率方程： P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P
解释：
求解方程： P = 1/2 + (1/4)P
3P/4 = 1/2
P = 2/3
因此，先抛硬币的人吃到苹果的概率是 2/3 (约66.67%)。
这个结果是符合直觉的：先抛的人有更大的机会，但优势并不是压倒性的。后抛的人仍有 1/3 的机会吃到苹果。
很多时候，先下手为强啊。
二
递归概率
在上面的计算里，P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P还是有点儿奇怪，难道不用计算双方都一直没有抛到正面，后续新一轮继续抛的可能性吗？
让我们仔细思考一下为什么这个方程是完整的：
当我们写出 P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P 时，这个方程实际上已经包含了所有可能的后续回合。因为：
在这种“无限往复”的抛硬币问题中，确实不用显式地列出后续所有抛的可能性，因为在“双方都抛到反面”之后，整个过程会“回到原点”，也就是回到了最初的情形——先抛的人仍旧先抛。
这就涉及到概率的递归性质。
举个例子来说明后续回合是如何被包含的：
第一轮：P = 1/2 + (1/4)P
将第一个 P 展开：P = 1/2 + (1/4)(1/2 + (1/4)P)
继续展开：P = 1/2 + 1/8 + (1/16)P
再展开：P = 1/2 + 1/8 + (1/16)(1/2 + (1/4)P) ...
（请忽略上面括号的混乱）
如果我们把这个无限展开的级数加起来，最终会得到相同的结果：P = 2/3
这就是为什么一个简单的方程 P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P 就能完整描述这个问题--
它是一个递归方程，通过 P 自身就隐含地包含了所有可能的后续回合。
这就是递归概率的核心：用一个方程把“无限回到初始”的情形压缩进一个简单的表示里。
这种思维方式在很多概率问题中都很有用，尤其是在处理可能无限持续的过程时。
接下来我们看一道有趣的题目，也就是这篇文章的主题：赌徒破产问题。
三
赌徒破产
赌徒破产问题是一个经典的概率递归问题，它不仅具有有趣的数学结构，更蕴含着深刻的现实意义。
这个问题描述的是：一个赌徒带着初始资金去赌场，目标是赢到某个金额。每次赌博赢的概率为p，输的概率为1-p，每次赌注为1元。
问题是：这个赌徒能赢到目标金额的概率是多少？
让我们用数学语言来精确描述这个问题：
用递归思路分析，考虑赌徒第一次赌博后的情况：
赢了（概率p）：资金变为i+1
输了（概率1-p）：资金变为i-1
因此可以写出递归方程：
P(i) = p·P(i+1) + (1-p)·P(i-1)
边界条件为：
P(0) = 0 （破产）
P(M) = 1 （达到目标）
以下会有两种情况，去的是公平赌场，和不公平赌场。
1. 公平赌场（p=0.5）
当p=0.5时，递归方程变为：
P(i) = 0.5·P(i+1) + 0.5·P(i-1)
整理得：P(i+1) - 2P(i) + P(i-1) = 0
这是一个等差数列方程，结合边界条件可解得（这里略去二阶差分方程的计算过程）：
P(i) = i/M
这个解的物理意义是：
在公平赌场中
从i元开始
赢到M元（包含本金）的概率
等于初始资金占目标金额的比例
这个简洁的结果完美地反映了"公平赌场"的特性：
获胜概率与初始资金成正比，与目标金额成反比。
这意味着什么？
即使在公平赌场（p=0.5）：
获胜概率随目标金额线性下降
赌场资金远大于赌徒，相当于M趋近无穷
最终获胜概率趋近于零
即使你是一个理性的赌徒，也不能例外。
我们用数字来一个个推演一下。
根据P(i) = i/M，i是你带入赌场的钱，M是你带走的钱。
所以，假如你进了赌场，根本不赌，晃悠一圈，观察一下概率如何在人间被极少数人类用于操纵如此一大群人，然后离开。
这样的话，你的i等于M，并且实现的概率是100%。
你也许会说：这个100%太无聊了吧！
也许只有亏过钱的人，不管是在赌场里，还是在失败的投资中，以及借钱出去收不回来，才能理解，i等于M，是一件多么幸福的事情。
事实上，格雷厄姆的投资思想的第一原则，也许就是让i小于等于M。
继续代入数字：
越贪心，输得越多，
所以，即使是在理论上完全公平的赌场（p=0.5），赌徒的处境也是不利的，因为：
只要目标收益率大于100%，获胜概率就小于0.5
想赢得越多，获胜概率越低
赌场的资金优势确保了长期来看赌徒必输
对于一个资金有限的小赌徒，想要无限追求“挣到特别高的目标金额”，获胜概率当然几乎为零。
并且，世界上哪里有完全公平的赌场呢？
2. 不公平赌场（p<0.5）
如果是不公平赌场（p<0.5），或者赌场额外抽水（庄家在每次赌注里占更大优势），那么赌徒的获胜概率更低。这时更能凸显“长期开赌必然破产”的结局。
这涉及到另一条公式，在 p≠0.5时，赌徒最终达成目标 M的概率会变为：
如上公式所示，在不公平赌场（p<0.5）上，赌徒获胜概率随目标金额增加呈指数下降。
不用说，结果更惨。
赌徒在不同目标金额下的获胜概率
注：假设初始资金1000元，横轴表示目标金额是初始资金的倍数，纵轴表示获胜概率
四
小结
本文从有趣的概率递归问题出发，阐明了"回到原点"或"状态迁移"的思想如何用递归方程来简洁地计算无限过程的概率。
在赌徒破产问题中，结论尤其值得关注：
1、即使在理论上完全公平的赌场（p=0.5），赌徒想要获得远超初始资金的收益，概率都会线性下降并最终几乎为零。
2、如果是"不公平赌场"（p<0.5）或庄家抽水，则情况更糟糕，赌徒的赢面会呈指数加速走向微乎其微。
虽然类似于抛硬币的游戏是对不确定性现实世界的简单化模拟，但考虑到绝大多数人世间的胜率还远不如赌场，所以不妨用相关公式来理解随机性是如何愚弄人的。
毕竟，我们无法与物理定律对抗，也不能欺骗数学公式。
对于公平赌场的P(i) = i/M，我们能获得如下启发：
完全远离赌博，这是最佳选择
保持"i=M"心态，珍惜已有资产
投资替代赌博，让时间和复利成为朋友
量力而行，避免过高的"翻倍"目标
降低投资预期收益率，提高获胜概率
保持充足的资金储备
此外，采用止损和分散投资策略，避免在单一机会中压上全部资本。
当目标远大而资金有限，面对不利或不公平的规则，失败是大概率事件。
真正的智慧在于——把自己放在“正期望”的环境中，让时间站在自己这边，不要在负期望或虚幻好运的迷雾中越陷越深。
这，才是为什么赌徒必然破产。
投资最重要的事情是：做概率和时间都站在你这边的事情。
（精确的说法是大量重复做期望值为正的事情。）
数学会说话，而它告诉我们的是一个永恒的真理 —— 在概率对我们不利的事情上，越快全身而退越好。
