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模型选择与多模型推断

大数据实验室 · 公众号 · 大数据 · 2017-07-07 07:46

正文

编者按：

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分析千岛湖鸟类多样性与墓群出现率的决定性因素

斯幸峰

三墩职业技术学校空想资本主义学院理论想像学研究所, 杭州 310058, 中国浙江

摘要

由于常规的逐步回归分析在使用过程中有诸多缺陷，而信息理论的赤池信息量准则(AIC)弥补了这一缺点。此文基于AIC的判定方法，利用模型选择和多模型推断(model selection and multimodel inference)探讨千岛湖岛屿鸟类多样性的决定因素。同时开展对千岛湖墓葬分布的可能性分析，为盗墓的理论研究打下翔实的基础。

关键词

AIC、盗墓、多模型推断、模型选择、鸟类、千岛湖、逐步回归

前言

面对一系列可能的备选模型，如何评判模型的优劣？选用逐步回归分析(stepwise regression)还是信息理论(information theoretic analysis)？Whittingham等(2006)对2004年的Ecology Letters、Journal of Applied Ecology和Animal Behaviors三个杂志分析，共有65篇文章使用多元回归(multiple regression)，其中57%的研究使用了逐步回归的方法。虽然逐步回归依旧广泛使用，但是有许多缺陷，如：参数估计的误差(bias in parameter)，模型选择算法的不一致(inconsistencies among model selection algorithms)，多个假设检验的内在缺陷(inherent problem of multiple hypothesis testing)，以及最后结果只依赖单一的最优模型(inappropriate focus or reliance on a single best model)。至于具体的缺陷原理，此处不予细说，本文将采用信息理论简要介绍多模型推断的方法。

千岛湖地处浙江西部，山清水秀，民风淳朴(此处省略一百字)。自1959年新安江大坝建成后，形成1078个岛屿(108米水位时)，乃名副其实的“千岛湖”，是一个得天独厚的路桥岛屿天然实验场所。本研究团队自2003年开始千岛湖地区的鸟类调查，到目前已经逐渐拓展到蜘蛛、蜥蜴、青蛙、蛇、猴子、昆虫、兽类、蝴蝶以及植物等各项业务，欢迎广大生态爱好者和有志之士前来参观与洽谈。撰写本文的起因是早先跟本团队中的“蜘蛛侠”吴博士尝试探讨鸟类多样性与风水的关系，加上近日刚好看了一些有关模型选择和多模型推断(model selection and multimodel inference)的文献(xián)，采用“先进”的AIC(Akaike information criterion)技术，探讨该学术问题的可能性。

本文主要探讨的问题包括两部分：1) AIC是啥？莫非是美国国际大学(American International College)的缩写？2) 模型选择的操作步骤；3) 千岛湖岛屿上鸟类和墓葬分布的机理。

材料与方法

研究地点与岛屿参数

按照面积和隔离度，利用分层随机抽样法(stratified random sampling)在千岛湖选取40个岛屿。自2002年开始实地考察并详细并测量了跟鸟类多样性相关的各种岛屿参数：面积、隔离度、植被物种数、生境种类、周长、周长面积比、形状指数、海拔，并于昨晚想像了各种与盗墓可能相关的岛屿参数：凹凸度、坡度、朝向、铝和硅的含量，沙土指数和pH值。

其中铝和硅的含量是白膏泥的主要组成元素。由于白膏泥防水性能好，是墓葬出没的指标。沙土指数反映了建墓的可能性，即如果沙土含量过多，土质不夯实，容易测漏。pH值，跟墓葬中的有机体“发酵”程度相关。形状指数、凹凸度、坡度和朝向是判断风水优劣的关键，因为圆山、朝南、土层厚及石头少的生境是墓葬出现的高发区。

AIC

AIC(Akaika Information Criterion)即赤池信息量准则，是评估统计模型的复杂度和衡量统计模型拟合优良性的一种标准。最早由日本统计学家赤池弘次创立和发展，由此得名。

AIC在一般情况下，可以表示为

其中: k是参数的数量, L是似然函数(likelihood function)。这是公式，知道就可以，R语言中有现成的命令(stat包中的AIC命令，及stats包中的extractAIC命令)。如果自己动手算，也可以：假设条件是模型的误差服从独立正态分布，n为观察数, RSS为残差平方和，则

增加了自由参数提高了拟合的优良性，即AIC鼓励数据的优良性但是尽量避免出现过度拟合(overfitting)的情况，所以优先考虑的模型是AIC值最小的那一只。

其中在小样本的情况下(n/k < 40)，AIC 转变成AICc (corrected AIC)，即：

当n增加时，AICc收敛成AIC。所以AICc可以应用于任何样本大小的情况下(注: 这部分内容主要抄自维基百科，不过维基百科的该页中文文献引用有个小错误，即参考书是 Burham & Anderson(2002)，而不是2004)

如果数据有过度离散(overdispersion)的影响，则需要考虑Q版的AIC，即

$\hat{c}$ 为方差膨胀系数(VIF)或者过度离散系数(overdispersion coefficient)。如果 $\hat{c}$ 大于1，则需要采用QAIC。当然，Q版的，也有QAICc，道理同上。一般在参数进入模型前，只要保证参数的独立性，则可以避免过度离散的情况。

计算模型权重

得到各个模型的AIC值后，按照AIC从小到大排列，然后每个模型的AIC值与最小的AIC值相减，得到ΔAIC。

通过得到的ΔAIC，计算各个模型的模型权重，即Akaika weight(w_i )。其中第 i 个模型的模型权重为：

公式不复杂，而且R中有现成的命令计算w_i 。w_i 在0至1之间，并且所有模型权重之和为1。模型权重越大，表示该模型是真实模型的可能性就越大。比如第二个模型的w₂ 为0.31，则表示这个模型为真实模型(best possible model)的可能性为31%。

通过模型权重还可以计算各个参数的重要值(importance)。方法很简单，比如参数1，则挑出含参数1的所有模型，然后把这些模型的权重相加，即是该参数的权重。各个参数的权重值一比，就知道哪个参数最重要了。

模型选择的不确定性和多模型推断

其实现实一般不会这么完美的，上述所有结论都建立在ΔAIC>2的基础上，即第二个模型的AIC值比最小模型的AIC值差值大于2。如果小于2，则说明第一个模型跟第二个模型(或者连续前四五个模型)为真实模型的可能性差不多，无法决定优劣。咋么办？终极武器：模型平均(model averaging)。

曾经ΔAIC>2是条金科玉律(Burnham & Anderson, 2002)，但是Anderson大神在2008版的书中似乎把ΔAIC>2给降级了(Andersion, 2008)，建议不要轻信这条规律，而是建议把所有模型统统进行模型平均，也就是不要随便剔除一些看似不可能模型，哪怕这些模型的权重都小得接近于零。如果ΔAIC>2，通过最优模型，代入实际岛屿参数测量值，就可以计算出预测的鸟类种数或者存在墓葬的可能性。现在由于ΔAIC<2，第一个模型无法“代表”其他模型，于是所有模型都得参与进来。假设 Y^{^} 值为预测值(鸟类种数或墓葬出现概率)，则平均预测值为：

啥意思？假设有九个可能模型，则有九个模型的权重，以及可以计算出九个预测值。如今，平均预测值就是预测值分别乘以权重后的和，比如

既然预测值Y^{^}需要模型平均，参数估计值也得平均，道理跟估计预测值相似。假设参数i的参数估计为θ_i，本来当ΔAIC>2时只要直接采用最小AIC模型的 θ_i 值即可，现在则需要把含有参数 i 的所有模型列出来，进行模型平均：

同理，计算参数估计的方差时，也得进行模型平均，得到非条件方差估计(unconditional variance estimate)，详见(Burnham & Anderson, 2002, p.162):

Anderson大神似乎对这个公式也不是很满意，建议更新为Anderson (2008)第111页的公式，其实计算结果相差不多：

其中 $\hat{\bar{θ}}$ 是模型的平均参数估计，w_i 是模型权重，以及 g_i 表示第i 个模型。简言之，非条件方差估计就是包括两部分：根号内的前部分是本身的取样方差，另外一部分是由于模型选择不确定导致的方差。所以，把后者考虑进去以后，最后的方差估计不会由于模型的不确定性而降低准确性。我怕表达有所不准，列出Anderson(2008)第111页的原文: an estimator of the variance of parameter estimater esimates that incorporates both sampling variance, given a model, and a variance component for model selection uncertainty. 所以，在样本量较大的前提下，最后参数的置信区间为

实战演练

演练开始之前，请确保已经安装下列软件包：glmulti, MuMIn, bbmle。网速给力的情况下，最简单的方法是直接在R语言操作界面中输入

install.packages("glmulti")

否则，得从R的镜像网站下载压缩包后再本地安装。

演练一：千岛湖鸟类多样性的决定因素

导入 glmulti包

library(glmulti)

###Loading required package: rJava

导入千岛湖鸟类和岛屿数据(注：这个数据是真实的，只是我把数据的顺序随机调换了)

tilbird  read.table("http://sixf.org/files/code/2014/tilbird.txt", h = T)  #找到 'tilbird.txt'文件并打开str(tilbird)  ##检查`til.bird`的数据结构

###'data.frame':	40 obs. of  9 variables:
### $ birdspp  : int  43 34 35 32 31 27 30 33 24 24 ...
### $ area     : num  1289.2 143.2 109 55.1 46.4 ...
### $ isolation: num  897 1415 965 954 730 ...
### $ plants   : int  36 50 88 86 65 68 45 49 45 31 ...
### $ habitats : int  3 6 3 3 3 3 3 7 4 4 ...
### $ Pe       : num  105965 17465 12022 7570 10444 ...
### $ PAR      : num  82.2 122 110.3 137.4 225.2 ...
### $ SI       : num  832 412 325 288 433 ...
### $ elev     : num  298 251 227 198 174 ...

数据中第一列为鸟类物种数，其余八列为岛屿参数，分别为：面积、隔离度、植物物种数、生境类别数、岛屿周长、周长面积比(越大表示边缘越多)、形状指数(完全的圆形，则形状指数为1)和海拔。

模型开始之前得进行岛屿参数的独立性检验。其中方法可以使用相关分析(correlation test)，方差膨胀系数(VIF)和主成份分析(PCA)，这里采用常用的相关分析。

相关分析的R语言命令是cor.test，这是两两检验。cor是多个参数一起检验，可以多个参数一起检验的时候，结果不给出p值，于是我写了一个小函数，就是多个参数检验的时候也同时给出p值。命令名称为cor.sig，代码为：

cor.sig = function(test) {
    res.cor = cor(test)
    res.sig = res.cor
    res.sig[abs(res.sig) > 0] = NA
    nx = dim(test)[2]
    for (i in 1:nx) {
        for (j in 1:nx) {
            res.cor1 = as.numeric(cor.test(test[, i], test[, j])$est)
            res.sig1 = as.numeric(cor.test(test[, i], test[, j])$p.value)
            if (res.sig1 <= 0.001) {
                sig.mark = "***"
            }
            if (res.sig1 <= 0.01 & res.sig1 > 0.001) {
                sig.mark = "** "
            }
            if (res.sig1 <= 0.05 & res.sig1 > 0.01) {
                sig.mark = "*  "
            }
            if (res.sig1 > 0.05) {
                sig.mark = "   "
            }
            if (res.cor1 > 0) {
                res.sig[i, j] = paste(" ", as.character(round(res.cor1, 3)), 
                  sig.mark, sep = "")
            } else {
                res.sig[i, j] = paste(as.character(round(res.cor1, 3)), sig.mark, 
                  sep = "")
            }
        }
    }
    as.data.frame(res.sig)}

所有岛屿参数进行相关分析，

cor.sig(tilbird[, 2:9])  #第一列不算，那是鸟类物种数，即Y值。

###               area isolation    plants  habitats        Pe       PAR
###area           1*** -0.115    -0.139    -0.064     0.996*** -0.429** 
###isolation -0.115         1*** -0.101      -0.1    -0.117     0.299   
###plants    -0.139    -0.101         1***  -0.16    -0.138    -0.048   
###habitats  -0.064      -0.1     -0.16         1*** -0.057    -0.035   
###Pe         0.996*** -0.117    -0.138    -0.057         1*** -0.481** 
###PAR       -0.429**   0.299    -0.048    -0.035    -0.481**       1***
###SI         0.857*** -0.045    -0.167    -0.034     0.898*** -0.619***
###elev       0.726*** -0.127    -0.039    -0.032     0.775*** -0.803***
###                 SI      elev
###area       0.857***  0.726***
###isolation -0.045    -0.127   
###plants    -0.167    -0.039   
###habitats  -0.034    -0.032   
###Pe         0.898***  0.775***
###PAR       -0.619*** -0.803***
###SI             1***  0.888***
###elev       0.888***      1***

结果表明，面积跟周长、周长面积比、形状指数和海拔呈显著相关。考虑到这些因素的生物学意义，很明显，除去其他显著相关的参数而保留面积是合理的，因为在岛屿生物地理学框架下，面积是极为重要的参数，且这里的其他参数都可能由于面积而产生。比如海拔，由于是岛屿，在坡度相似的情况下，面积越大，海拔越高。所以，最后进入模型的是四个参数：面积、隔离度、植物数和生境数。

权且采用最常见的线性模型(linear model)，创建总模型(global model)，即包括所有参数：

global.model  lm(birdspp ~ area + isolation + plants + habitats, data = tilbird)

然后利用glmulti包中的函数glmulti对所有可能模型中来选择最优模型。此处由于是4个参数，则共有2^4=16个可能模型(此处不考虑交互效应)。

bird.model  glmulti(global.model, level = 1, crit = "aicc")  #选用AICc进行评判模型

###Initialization...
###TASK: Exhaustive screening of candidate set.
###Fitting...
###Completed.

summary(bird.model)

###$name
###[1] "glmulti.analysis"
###
###$method
###[1] "h"
###
###$fitting
###[1] "lm"
###
###$crit
###[1] "aicc"
###
###$level
###[1] 1
###
###$marginality
###[1] FALSE
###
###$confsetsize
###[1] 100
###
###$bestic
###[1] 223.7
###
###$icvalues
### [1] 223.7 223.8 225.0 225.7 226.2 226.7 228.6 228.7 243.6 244.1 244.5
###[12] 244.5 246.0 246.7 246.8 247.0
###
###$bestmodel
###[1] "birdspp ~ 1 + area + habitats"
###
###$modelweights
### [1] 2.871e-01 2.708e-01 1.455e-01 1.049e-01 8.123e-02 6.348e-02 2.432e-02
### [8] 2.259e-02 1.332e-05 1.036e-05 8.538e-06 8.461e-06 3.984e-06 2.794e-06
###[15] 2.652e-06 2.496e-06
###
###$includeobjects
###[1] TRUE

结果出来了，最优模型只包括面积和生境的参数，看看：

lm9  lm(birdspp ~ area + habitats, data = tilbird)summary(lm9)

###
###Call:
###lm(formula = birdspp ~ area + habitats, data = tilbird)
###
###Residuals:
###   Min     1Q Median     3Q    Max 
###-6.606 -2.107 -0.263  1.911  8.705 
###
###Coefficients:
###            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
###(Intercept) 20.69295    2.08432    9.93  5.6e-12 ***
###area         0.01564    0.00289    5.41  3.9e-06 ***
###habitats     1.29893    0.55652    2.33    0.025 *  
###---
###Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
###
###Residual standard error: 3.67 on 37 degrees of freedom
###Multiple R-squared:  0.474,	Adjusted R-squared:  0.445 
###F-statistic: 16.6 on 2 and 37 DF,  p-value: 7e-06

但再看看刚才的模型的AICc结果：

summary(bird.model)$icvalue

### [1] 223.7 223.8 225.0 225.7 226.2 226.7 228.6 228.7 243.6 244.1 244.5
###[12] 244.5 246.0 246.7 246.8 247.0

发现第二个模型的ΔAICc为223.8-223.7=0.1。坑爹啊！如果此时ΔAICc>2，则模型选择到此结束，即最优模型为第一个模型。可是，现实比较残忍，继续模型平均，列出所有可能模型：

看着比较壮观，但是碰到十个参数，共 2^10=1024 个可能模型的时候就比较麻烦了。没事，可以再编个程序循环一下就行，后文会再次提及此问题。

16个可能模型一起平均，

library(MuMIn)lm.ave  model.avg(lm1, lm2, lm3, lm4, lm5, lm6, lm7, lm8, lm9, lm10, lm11, 
    lm12, lm13, lm14, lm15, lm16)summary(lm.ave)

###
###Call:
###model.avg.default(object = lm1, lm2, lm3, lm4, lm5, lm6, lm7, 
###    lm8, lm9, lm10, lm11, lm12, lm13, lm14, lm15, lm16)
###
###Component models:
###       df logLik  AICc Delta Weight
###12      4 -107.3 223.7  0.00   0.29
###123     5 -106.0 223.8  0.12   0.27
###124     5 -106.6 225.0  1.36   0.15
###1234    6 -105.6 225.7  2.01   0.10
###13      4 -108.5 226.2  2.53   0.08
###1       3 -110.0 226.7  3.02   0.06
###134     5 -108.4 228.6  4.94   0.02
###14      4 -109.8 228.7  5.08   0.02
###3       3 -118.5 243.6 19.96   0.00
###23      4 -117.5 244.1 20.46   0.00
###(Null)  2 -120.1 244.5 20.85   0.00
###2       3 -118.9 244.5 20.86   0.00
###34      4 -118.4 246.0 22.37   0.00
###234     5 -117.5 246.7 23.08   0.00
###4       3 -120.1 246.8 23.18   0.00
###24      4 -118.9 247.0 23.31   0.00
###
###Term codes:
###     area  habitats isolation    plants 
###        1         2         3         4 
###
###Model-averaged coefficients: 
###             Estimate Std. Error Adjusted SE z value Pr(>|z|)    
###(Intercept) 22.023011   3.272613    3.327045    6.62   <2e-16 ***
###area         0.015423   0.002945    0.003044    5.07   <2e-16 ***
###habitats     1.287322   0.560392    0.579478    2.22    0.026 *  
###isolation   -0.001104   0.000728    0.000753    1.47    0.143    
###plants       0.019405   0.021519    0.022247    0.87    0.383    
###---
###Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
###
###Full model-averaged coefficients (with shrinkage): 
### (Intercept)      area  habitats isolation    plants
###   22.023011  0.015422  1.040595 -0.000531  0.005770
###
###Relative variable importance:
###     area  habitats isolation    plants 
###     1.00      0.81      0.48      0.30

结果中的第一部分，’Component models’，即列出了所有模型的自由度(df)，对数似然函数(logLik)，AICc值，ΔAICc值和模型权重。比如最优模型的模型权重为0.29，即为真实模型的可能性为29%(其实是非常低的，一般达到0.6-0.7就很不错了，当然，这里使用的数据是被我随机化过的，所以结果没有实际参考价值)

其中的第4部分，’Full model-averaged coefficients’，即是平均参数估计， $\hat{\bar{θ}}$ 。

第5部分，’Relative variable importance’，即是各个参数的重要值。最大为1，可见该例子中，面积是最重要的，次之是生境。至于隔离度和植物数量，则在模型中贡献不大。

MuMIn包里面其实有现成的命令dredge得到上述的部分结果，不信，试试输入以下一句命令：

dredge(global.model)

此时如果打算计算各岛的预鸟类物种数，则可以如下进行模型平均：

pred.mat matrix(NA, ncol = 16, nrow = 40, dimnames = list(paste("isl", 1:40,

sep = ""), paste("lm", 1:16, sep = ""))) #建立一个空矩阵，放40个岛的各16各模型预测值，如下所示

bird.pred pred.mat %*% summary(lm.ave)$msTable$weight[c(4,14,3,2,7,16,10,13,1,8,5,6,9,15,12,11)]round(t(bird.pred),2) #把矩阵换方向，给页面省点空间，跟分析无关

###      isl1  isl2  isl3  isl4  isl5  isl6  isl7  isl8  isl9 isl10
###[1,] 44.76 30.01 26.82 25.98 25.85 24.97 24.87 29.67 26.19 25.46
###     isl11 isl12 isl13 isl14 isl15 isl16 isl17 isl18 isl19 isl20
###[1,] 25.11 25.06 24.81 23.79 25.03 24.41    26 25.03 24.92  26.6
###     isl21 isl22 isl23 isl24 isl25 isl26 isl27 isl28 isl29 isl30
###[1,] 25.63 25.12 24.32  24.1 25.02 24.62 24.15 26.52 27.03 23.69
###     isl31 isl32 isl33 isl34 isl35 isl36 isl37 isl38 isl39 isl40
###[1,] 25.59  24.5 24.27 26.11 25.51  26.5 24.88 24.95 28.28 24.91

还有一点是非条件方差估计，这个，有点麻烦，等以后再说。计算方法其实跟上述的 $\hat{\bar{Y}}$ 类似。

实战演练二: 千岛湖墓群的决定因素

这个分析就跟上述方法相似了，按部就班：

tiltomb  read.table("http://sixf.org/files/code/2014/tiltomb.txt", h = T)  #读取墓的虚拟数据 'tiltomb.txt'cor.sig(tiltomb[, -1])

###              area    plants  habitats        SI      elev    convex
###area          1*** -0.139    -0.064     0.857***  0.726***  0.041   
###plants   -0.139         1***  -0.16    -0.167    -0.039    -0.107   
###habitats -0.064     -0.16         1*** -0.034    -0.032    -0.187   
###SI        0.857*** -0.167    -0.034         1***  0.888***  0.237   
###elev      0.726*** -0.039    -0.032     0.888***      1***  0.307   
###convex    0.041    -0.107    -0.187     0.237     0.307         1***
###slope     0.248     0.193     0.115     0.247     0.322*    0.264   
###aspect   -0.114    -0.081     0.141     0.069     0.278     0.075   
###Al        0.088    -0.066     0.193     0.223     0.326*     0.06   
###Si        0.055    -0.099     0.101      0.14     0.243     0.081   
###sand     -0.207     0.197     0.111     -0.22    -0.191    -0.311   
###pH       -0.194    -0.132    -0.204     -0.17    -0.228     0.018   
###             slope    aspect        Al        Si      sand        pH
###area      0.248    -0.114     0.088     0.055    -0.207    -0.194   
###plants    0.193    -0.081    -0.066    -0.099     0.197    -0.132   
###habitats  0.115     0.141     0.193     0.101     0.111    -0.204   
###SI        0.247     0.069     0.223      0.14     -0.22     -0.17   
###elev      0.322*    0.278     0.326*    0.243    -0.191    -0.228   
###convex    0.264     0.075      0.06     0.081    -0.311     0.018   
###slope         1*** -0.093     0.412**   0.334*    0.111     -0.53***
###aspect   -0.093         1***  0.075     0.101    -0.086     0.198   
###Al        0.412**   0.075         1***  0.887***  0.615*** -0.756***
###Si        0.334*    0.101     0.887***      1***  0.504*** -0.646***
###sand      0.111    -0.086     0.615***  0.504***      1*** -0.598***
###pH        -0.53***  0.198    -0.756*** -0.646*** -0.598***      1***

结果发现面积、形状指数和海拔显著相关。考虑岛实际因素，岛屿面积或者说千岛湖以前的山头大小估计不会是墓葬考虑的因素，而这个山头圆不圆，这关乎风水的事，应该是主要因素，所以剔除面积和海拔。再看发现形状指数跟沙土也有正相关，可是考虑沙土多少是决定建不建墓的关键因素，予以保留，何况不是非常强烈的正相关(coef. = 0.373)。再看发现铝、硅和坡度有相关，可以确信铝和硅，其中之一是冗余的，因为白膏泥富含铝和硅。白膏泥相对铝含量较多，此处选择去除硅，以及另外的坡度。pH跟沙土相关，看来得把pH去除，估计过了上千年，墓葬中的有机质早化成泥土了。

再看看选取参数后的结果，

cor.sig(tiltomb[, c("plants", "habitats", "SI", "convex", "aspect", "Al", "sand")])

###            plants  habitats        SI    convex    aspect        Al
###plants        1***  -0.16    -0.167    -0.107    -0.081    -0.066   
###habitats  -0.16         1*** -0.034    -0.187     0.141     0.193   
###SI       -0.167    -0.034         1***  0.237     0.069     0.223   
###convex   -0.107    -0.187     0.237         1***  0.075      0.06   
###aspect   -0.081     0.141     0.069     0.075         1***  0.075   
###Al       -0.066     0.193     0.223      0.06     0.075         1***
###sand      0.197     0.111     -0.22    -0.311    -0.086     0.615***
###              sand
###plants    0.197   
###habitats  0.111   
###SI        -0.22   
###convex   -0.311   
###aspect   -0.086   
###Al        0.615***
###sand          1***

后续步骤跟演练一类似，不同的是，此处的应变量为二元结构，即presence-absence数据，得用广义线性模型中的逻辑斯帝回归(logistic regression)。其他注解省略，直接上程序，

global.model.tomb  glm(tomb ~ plants + habitats + SI + convex + aspect + Al + 
    sand, family = binomial("logit"), data = tiltomb)tomb.model  glmulti(global.model.tomb, level = 1, crit = "aicc")

###Initialization...
###TASK: Exhaustive screening of candidate set.
###Fitting...
###
###After 50 models:
###Best model: tomb~1+SI
###Crit= 57.9820910321992
###Mean crit= 64.0858355584437

###
###After 100 models:
###Best model: tomb~1+SI
###Crit= 57.9820910321992
###Mean crit= 64.9421343165768

###
###After 150 models:
###Best model: tomb~1+SI
###Crit= 57.9820910321992
###Mean crit= 64.5619346833708

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###Completed.

summary(tomb.model)

###$name
###[1] "glmulti.analysis"
###
###$method
###[1] "h"
###
###$fitting
###[1] "glm"
###
###$crit
###[1] "aicc"
###
###$level
###[1] 1
###
###$marginality
###[1] FALSE
###
###$confsetsize
###[1] 100
###
###$bestic
###[1] 57.98
###
###$icvalues
###  [1] 57.98 58.33 59.61 60.17 60.22 60.30 60.39 60.46 60.54 60.75 60.82
### [12] 60.94 62.15 62.17 62.18 62.24 62.39 62.44 62.67 62.70 62.77 62.77
### [23] 62.79 62.87 62.89 62.91 62.95 62.98 63.01 63.09 63.19 63.27 63.32
### [34] 63.51 63.53 63.60 63.66 64.05 64.43 64.52 64.53 64.60 64.62 64.77
### [45] 64.80 64.87 64.88 64.91 64.92 64.92 64.95 64.96 65.08 65.12 65.14
### [56] 65.40 65.40 65.45 65.52 65.54 65.58 65.65 65.66 65.67 65.69 65.69
### [67] 65.72 65.81 65.82 65.88 66.02 66.08 66.14 66.14 66.22 66.32 66.47
### [78] 66.56 66.64 66.72 66.82 66.85 66.91 66.92 66.93 67.22 67.35 67.37
### [89] 67.38 67.64 67.65 67.66 67.67 67.80 67.83 67.83 67.86 67.87 68.02
###[100] 68.17
###
###$bestmodel
###[1] "tomb ~ 1 + SI"
###
###$modelweights
###  [1] 0.1201201 0.1011728 0.0531133 0.0401592 0.0392729 0.0377621 0.0359927
###  [8] 0.0348480 0.0333513 0.0300502 0.0290503 0.0273379 0.0149678 0.0148350
### [15] 0.0147370 0.0143245 0.0132729 0.0129413 0.0115051 0.0113448 0.0109770
### [22] 0.0109687 0.0108420 0.0104403 0.0103423 0.0102346 0.0100197 0.0098576
### [29] 0.0097113 0.0093423 0.0088919 0.0085364 0.0083084 0.0075580 0.0074968
### [36] 0.0072460 0.0070090 0.0057865 0.0047700 0.0045613 0.0045489 0.0043911
### [43] 0.0043397 0.0040282 0.0039725 0.0038450 0.0038208 0.0037599 0.0037378
### [50] 0.0037365 0.0036946 0.0036696 0.0034468 0.0033923 0.0033552 0.0029419
### [57] 0.0029405 0.0028648 0.0027779 0.0027422 0.0026895 0.0025989 0.0025888
### [64] 0.0025730 0.0025506 0.0025475 0.0025079 0.0023998 0.0023883 0.0023173
### [71] 0.0021582 0.0020990 0.0020310 0.0020308 0.0019495 0.0018537 0.0017263
### [78] 0.0016468 0.0015814 0.0015211 0.0014462 0.0014228 0.0013853 0.0013789
### [85] 0.0013704 0.0011849 0.0011078 0.0011006 0.0010928 0.0009612 0.0009542
### [92] 0.0009487 0.0009451 0.0008861 0.0008726 0.0008723 0.0008583 0.0008546
### [99] 0.0007955 0.0007370
###
###$includeobjects
###[1] TRUE

结果一看，最优模型只包括形状指数，看来理论想像的数据也不错嘛，虽然烦人的ΔAICc依旧小于2，因此还得继续模型平均了。因为 2^7=128 个可能模型，手动输入运算则是比较折腾了，所以得写个循环程序让电脑来运算。

tomb7=tiltomb[, c("plants", "habitats", "SI", "convex", "aspect", "Al", "sand","tomb")]npar=7modPar=c("plants", "habitats", "SI", "convex", "aspect", "Al", "sand","tomb")unit=c(1,0)parEst=rep(unit,each=2^(npar-1))for (i in 2:npar){
  unit=c(i,0)
  parEst.tmp=rep(rep(unit,each=2^(npar-i)),2^(i-1))
  parEst=cbind(parEst,parEst.tmp)}parMat=cbind(parEst[,1:npar],1)dimnames(parMat)=list(1:(2^npar),modPar)allModel=list()for (i in 1:(dim(parMat)[1]-1)) {
    tomb7.tmp=tomb7[,parMat[i,]!=0]
    allModel[[i]]=glm(tomb~.,family = binomial("logit"),data=tomb7.tmp)}modelC=glm(tomb~1,family = binomial("logit"),data=tomb7)lm.ave  model.avg(allModel,modelC)summary(lm.ave)

其中128个模型平均后的部分结果为：

### Full model-averaged coefficients (with shrinkage): 
### (Intercept)          SI          Al        sand      aspect    habitats      convex      plants
### -2.96791424  0.01986124 -0.09423029 -0.08413135  0.00217080 -0.04294219  0.00446755  0.00043138
###
###Relative variable importance:
###      SI   aspect       Al     sand habitats   convex   plants 
###   0.98     0.27     0.27     0.26     0.24     0.23     0.22

再次放个大招吧，一次性列出模型平均后的部分结果：

dredge(global.model.tomb)

结果

千岛湖鸟类多样性主要取决于岛屿面积和生境多样性，而墓葬可能性取决于岛屿的形状指数。

讨论

听说统计上有一个更牛的利器是随机森林模型(random forest model)，可以无视参数是否独立，直接进入模型而且可以精确预测。哪天有兴趣琢磨琢磨。

PS: 以下是娱乐时间。

圆山头是墓葬的首选，所以，各位看官以后到千岛湖旅游，不要去什么猴岛蛇岛，选择山头比较圆的岛，才是王道！

最后检验一下鸟类多样性跟墓葬出现的相关性分析：

cor.test(tilbird[, 1], tiltomb[, 1])

###
###	Pearson's product-moment correlation
###
###data:  tilbird[, 1] and tiltomb[, 1]
###t = 3.256, df = 38, p-value = 0.002378
###alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
###95 percent confidence interval:
### 0.1821 0.6797
###sample estimates:
###   cor 
###0.4671

结果是显著正相关(t = 3.2562, df = 38, p-value = 0.002378)。墓葬的出现，表示该岛风水还不错，所以最后证实本文的最初假设，即跟蜘蛛侠讨论时所做的预测：鸟类多样性与风水有显著的相关性。至于机理等科学问题的讨论，不是本篇论文能够解决的。请听下回分解。

致谢

谢谢看官的一路捧场，浏览完这块又长又臭的博文。谢谢实验室提供的平台和提供的支助，给于了我想像的空间，以及岛屿的数据。有关墓葬的生境数据，来自古田山大样地，我想像着搬到千岛湖了，在此一并致谢。分析方法部分参考于此。本文的源代码及数据可以点击此处(已更新)或此处(已过期)下载。看官就是reviewer(评审员)，若有任何reviews，请尽请留言，谢谢！

参考文献

Anderson, David R. (2008) Model based inference in the life sciences: a primer on evidence. New York: Springer.
Burnham, Kenneth P. and David R. Anderson. (2002) Model selection and multimodel inference: a practical information-theoretic approach. Springer.
Symonds, Matthew RE and Adnan Moussalli. (2011) A brief guide to model selection, multimodel inference and model averaging in behavioural ecology using Akaike’s information criterion. Behavioral Ecology and Sociobiology, 65: 13-21. APA
Whittingham, Mark J. et al. (2006) Why do we still use stepwise modelling in ecology and behaviour?. Journal of Animal Ecology, 75: 1182-1189.

本文引用格式： Si X., Pimm S.L., Russell G.J. & P. Ding. (2014) Turnover of breeding bird communities on islands in an inundated lake. Journal of Biogeography, 41, 2283–2292.

来源：算法与数学之美

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1.第一部分：（7月8日14:00-18:00）

2.第二部分：（7月9日9：:00-18:00）

3.第三部分：（7月15日14：:00-7月16日18:00）

上课地点：深圳福田

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