本文力图以最通俗易懂的语言，讲清游戏背后的数学。如果你没有看懂，说明我讲得不够好，欢迎一起探讨问题。
我上高一时，听过一个段子：有人问法国四年级小学生：3+4等于几？答：不知道。问：那4+3等于几呢？答：不知道。问：那你小学都学了什么呀？答：我知道3+4=4+3。问：为什么呀？答：因为整数关于加法构成一个交换群。
这使我意识到了三件事：
1.数学是Universal Language。无论是 3+4=7， III+IV=VII，还是:{{{，说的都是同一件事，真理是存在的。就3+4=7而言，请参考Peano公理系统。
2.我要学数学。
3.交换性／对称性是好东西。为什么古人觉得地球是平的呢？因为他们理所当然地认为自己所处的空间具有对称性——先往北走100米再往东走100米，等同于先往东走100米再往北走100米。实则不然，以后讲到HyperRogue时会详细探讨这一点。
正文
WayOut 是一个按灯的游戏，每按一盏灯会改变它及周围所有灯的状态，目标是把所有灯关掉。
它的原型是Lights Out，一款由Tiger Electronics发行的“掌上游戏机”。5*5的灯阵，总共有8388608个不同谜题，保证每次玩的都不一样！8388608=223，好像暴露了什么。
交换性体现在哪呢？按灯的先后顺序不会影响最后的结果，所以问题归结于“按哪些灯”而不是“如何操作”。做视频／GIF攻略的朋友辛苦了，但吃力不一定讨好，我觉得图片攻略更简明易懂。
如果有n盏灯，则总共有2n种按法，它们构成F2上的n维线性空间。和我们熟知的线性空间类似，只不过其系数取自有限域F2={0, 1}，其中0+0=0，0+1=1，1+1=0，etc。（可以理解为偶+偶=偶、奇+奇=偶，但一个域除了有加法结构还有乘法结构）
举个栗子，如图有A, B, C, D四盏灯。
2A = 0，即：连按两次A等于什么也没做。
(A+B) + (A+C) = B+C，即：按A和B，再按A和C等同于按B和C，因为A按了两次。
注意到：按A改变了A, B, C的状态，按B改变了A, B, D的状态，etc。因此左边的问题转化为解线性方程组。当然，是在F2上。解得x = (1, 1, 0, 0)——A与B各按一次即可。（注意：1+1=0)
接下来我们以Lights Out的5*5灯阵为例，探讨如何找到所有解。
如何找到一组解？
线性方程组怎么解？高斯消元法！这种活儿还是交给计算机吧。
我们用高斯消元法的思想，从另一个角度解决这个问题。
Chase The Lights，顾名思义，是通过一系列操作把所有灯聚集到底边上，其实就是把复杂的局面进行等价简化。
（某盏灯亮着，则按其下方的灯，如此反复）Chase The Lights的按法是唯一的，而且没有用到最上方的五盏灯。
现在我们需要知道，最上方的五盏灯通过Chase The Lights会得到什么结果。
至此，问题已被简化为如下问题（在C.T.L等价意义下）：
注意：D=B+C，E=A+C。
因此，A, B, C, D, E总共能表示出23种不同情形——0, A, B, C, A+B, A+C, B+C, A+B+C。不难看出，右边的情形正是A+B+C。
回到原题，我们只需按下A, B和C，再利用C.T.L即可得到一组解。（因为它经C.T.L得到的图案与A+B+C经C.T.L得到的图案相同，二者抵消。）
由C.T.L方法的唯一性，5*5灯阵总共有223种图案有解——因为C.T.L有220种方法，C.T.L之后有23种可能。等下从另一个角度印证这一点。 （总数必然是2的幂，因为F2上n维线性空间有2n个元素）
如何找到所有解？
两组解之间差了什么？“Nothing！！”
Literally nothing——按了这些灯之后，并不会改变任何灯的状态，我们称之为“Quiet Move”。任两组解之间之差一组“Quiet Move”；反之，任一组解可由某一组解加一组“Quiet Move”得到。鉴于之前已经得到了一组解，因此我们只需找到所有Q.M即可。
一个想法是，先随意给定最上面一行的情况，再根据每盏灯的状态被改变了偶数次逐行往下推，直至导出矛盾或得到一组Q.M。缺点很明显，总共要检验25种情形，费时费力。
但仔细一想，逐行往下推导，相当于在进行C.T.L。因此上面这种做法的实质是：对灯进行C.T.L，只有当最后得到空白行时才对应一组Q.M。
并非空白行
这就好办了，利用我们之前得到的结果，可以得到：0=0，A+C+E=0，B+C+D=0，A+B+D+E=0，每一组解与一组Q.M一一对应。实际上，(A+C+E)+(B+C+D)=A+B+D+E，它们构成一个线性子空间。
0当然对应的是“什么也不做的”Q.M
A+B+D+E对应的是Q.M如下，注意第一行就是A, B, D, E哦～
A+B+D+E
A+C+E
B+C+D
因此，一个图案只要有解，就恰好有4组解。按灯的方法有225种，每一种按法都是某一个图案的解，因此恰有223种图案有解。
看攻略确实能知道最优解，但你能知道所有解吗？
回到WayOut本身
现在，任给Lights Out的8388608个谜题中的任何一个，我们都能快速求解。
WayOut保留其核心内容，在此基础上加入了很多新机制。同时，交换性限制了游戏的深度，再多的新机制和“复杂”的关卡都没法从本质改变这一点。
首先是不拘泥于5*5的灯阵。
