怎样画树叶 | 混乱博物馆

大象公会 · 公众号 · 科技自媒体 · 2017-09-01 21:30

正文

在这个生机盎然的星球上，植物的叶片大概是最多见的事物了，然而你有没有留意过，在每一片树叶上，都藏着什么样的图案？

越是司空见惯的事物，我们越容易觉得理所当然，越容易忘了思考其中深刻的规律。

数学就是这些规律中最普遍的那一类，当我们发现自己用理性思考得到的结论竟然与大自然的秩序如此一致，就又一次清晰地感受到：人类的意识本来就是客观世界中不可分割的一部分。

－文字稿－

如果你以为上过小学美术课就会画树叶，那未免太天真了。

树叶有各种各样的形状，圆形、条形、披针形、盾形、提琴形、箭头形，等等样式，边缘还要区分全缘、锯齿、微波、深裂，种种不同，再结合单叶、复叶以及各种叶序，非常复杂——但是这些醒目的特征都留给观众自己观察，本期内容只点醒一个最容易忽略的细节——叶脉，而且是叶脉最细微的部分。

根据叶脉的直径和连接位置，我们可以区分出一级脉、二级脉、三级脉，直到那渐隐的末梢。对于最粗壮的前两级叶脉来说，看上去有些像分叉的树枝。

但是继续观察下去，就会发现植物的叶脉呈现出了一种独特的网状结构——如果我们需要一个最精确的词汇来描述这种结构，那就是“沃罗诺伊图”。

沃罗诺伊图由俄国数学家格奥尔吉·沃罗诺伊（Georgy Voronoy，1868-1908）发现于1908年，是一个空间分隔算法，可以简单地表述为：一块薄饼上粘了许多糖豆，现在要把这个薄饼切成块，使得每块薄饼上都刚好有一个糖豆，而且在薄饼上任取一点，都刚好与距离它最近的糖豆切在了同一块上——这个切块的方法，就是沃罗诺伊图。

具体的做法并不复杂：首先，我们需要把所有的糖豆连接起来，构成一张三角形网格。接下来给每个三角形的每条边作垂直平分线，使其连接成网。擦掉三角形网格，沃罗诺伊图就画完了。如果你还不明白，只需要回想一个定理：垂直平分线上任意一点与两个端点距离相等。

那么植物那些细小的叶脉为什么会形成沃洛诺伊图？

细想之下，也不难理解：叶脉最终呈现出什么图案，取决于周围组织的生长速度，而组织生长速度又取决于它与叶脉的距离。距离叶脉越远的组织得到养分越晚，生长越慢，糖豆就代表了生长最慢的那块组织——既然养分均匀地向着叶脉两侧渗透，那么糖豆就会对称地分布在每条叶脉两侧，叶脉也就成了相邻糖豆连线的中垂线，必然构成沃洛诺伊图。

当然，在这样简单的数理规律支配下，沃洛诺伊图不止会出现在细小的叶脉上，任何生长速度与边界有关的分割问题都可能呈现出这种图案，这让它成为自然界最常见的非随机图案。