本篇文章主要内容为介绍什么是统计量以及如何通过寻找同分布统计量找到集合之间具有组合意义的一一对应关系.
值得指出的是，本思想与方法虽然不能帮助学生在考场上在不熟悉的前提下获得超预期的结果，但一定是一个极其优秀的锻炼组合嗅觉与审美的思想与方法，以及确实可以帮助同学解决“远超自己水平的组合问题”.
重申一遍，
组合是可以学习的
.
一、统计量
统计量
一般来说，我们将定义在集合
上的函数
称为一个在集合
上的统计量.一些比较平凡或常见的统计量有定义在集合的所有子集上的元素个数、定义在排列上的逆序数对数等.我们通常还可以根据这些统计量将集合划分为不同的偏序集.
统计量的分布
我们在讨论集合
上的统计量
的时候，通常会考虑函数
，称为
在
上的分布.例如在讨论上述Fig1.中的统计量时，我们通常也会考虑所有
元子集的数量.
Table1.以集合元素个数为统计量的
的
元子集个数，
.
当然，也有一些不那么平凡但也是比较重要的统计量，这里，我们简单介绍几个排列上的统计量.
逆序数对数
记所有
的排列构成的集合为
且互不相同
，对于任意
，记
称为
的inversion set，记
，
也称为
的逆序数对数.
Table 2.
中的所有元素按
的取值分类.
Table 3.
上
的分布，
，
.
read
对于任意
，记
，记
.
Table 4.
上
的分布，
.
des
对于任意
，记
，记
.
Table 5.
上
的分布，
.
maj
对于任意
，记
Table 6.
上
的分布，
容易见到，inv与maj在
上具有相同的分布，read与des在
上也具有相同的分布.我们称这种在同一个集合（或者不同集合）上的具有相同分布的不同统计量为一组同分布的统计量.以inv与maj为例、若
则inv与maj为
上的具有同分布的统计量.进一步，如果
则a与b为
上的具有对称分布的统计量.
特别地，像inv与maj在
上的分布我们称为Mahonian分布，而read与des在
上的分布我们则称为Eulerian分布.
二、通过寻找同分布统计量找到集合之间具有组合意义的一一对应关系
我们以一个问题作为例子：
例
，若
满足
①
②
，
③ 若
不为空集，则
，对于任意正整数
成立.
则称
为好的
序列.求好的
序列的个数.（Bijective proof problems，Richard P. Stanley）
结论是
.
记所有好的
序列构成的集合为
.实际上，我们可以通过构造
与
之间的一一对应关系
证明：
.
对于任意
，记
，如果
,
令
，其中
则容易验证，
为
的一一对应.
作为例子，我们来考虑排列
.
至
依次为
，所以
，
，
，
，
，
，
.(
实际的组合意义是，从
读到
时，是从左向右的第几轮.)
这件事情在以下这个视角会比较清晰
Fig 2.排列
的对应.
这解释了
在数学竞赛中，这样的组合对应方式难免被认为是“天外飞仙”，同时这也是一个很重要的令组合这一模块被认为是最需要天赋的模块的原因.实际上，
这个组合对应并不是无迹可寻的
.
实际上，让我们考虑
上的统计量，以
为例.
对于任意
，记
，
在
上的分布为
Table 7.
在
上的分布.
对于任意
，记
，则
在
上的分布为
Table 8.
在
上的分布.
对于任意
，记
，则
在
上的分布为
Table 9.
在
上的分布.
对于任意
，记
，则
在
上的分布为
Table 10.
在
上的分布.
不难发现，
、
在
上与
、
在
上的分布相同；而
在
上与
在
上的分布相同；
在
上的分布显而易见与
上某些统计量的分布相同.实际上，我们可以借助
的分布找到本题的递推做法.而
这些在不同集合上的相同分布的统计量，很有可能意味着它们是在某种具有组合意义的一一映射下的对应的像与原像分别在两个集合中的某种相同的含义
(建议这句话重读三遍)
，这里，我们以
举例分析.
Table 11.
中的所有元素按inv的取值分类，进一步，标注其inversion set.
Table 12.
中的所有元素按inv的取值分类，进一步，标注其inversion set.
不难发现，
不仅在
与
上同分布，甚至其inversion set的分布也相同！即
.所以我们不妨猜测，某种
与
的具有组合意义的一一对应关系保留了
.值得指出的是，实际上这并不是巧合，
与
，包括一些没有介绍的其余统计量也有类似性质.实际上，每一个
上的统计量必然会对应到一个同分布的
上的统计量.
一方面，我们可以猜测两个集合上的
分别解释了同一元素在
与
上的像与原像的某条对应的性质，而这种对应关系往往侧面解释了
与
的某种一一对应关系的组合意义. 另一方面，我们甚至直接得到了
与
的这种具有组合意义的一一对应关系.
Table 13.根据上述猜测得到的一些
与
中的元素的具有组合意义的一一对应关系.
根据Table13.中的对应关系不难发现，
中的对应的元素实际上就是从小到大去读排列中的数，然后考虑每个数字是从左到右第几轮被读出来的.
以上过程中，统计量的选择是至关重要的，优秀的统计量往往能够从更深层次反映组合结构的性质，而平凡或者不足够有趣的统计量的选择可能反而会使人感到迷惑.如果统计
中的元素构成的十进制数除以
的余数，那大概率很难得到任何有价值的结果.
优秀的统计量往往
契合结构本身且自然简洁
，本例中，
的条件包含相对位置以及相对大小（差为
，更细致地说），那么涉及到这两个角度的统计量可能会具有更好的性质， 例如
、
等.实际上，上述统计量都涉及到了这两个角度.此外，统计量的某些分布性质一定程度上也会从侧面反映该统计量是否优秀，例如是否对称、是否单峰或者单谷、 是否是凹或者凸的等等.
接下来，让我们来看另外一个例子：
例
设
是正整数，称一个由
组成的
项序列为优美的，如果在序列中，
（1）对
，第一个
在第一个
之前，且至少有一个
；
（2）相邻的数不相同：
（3）任何一对数相邻的次数为偶数.
求优美的序列的个数.（2024年北大金秋营）
当
时，对应的优美的序列的个数分别为
.不难猜出，结论可能为
，其中
代表第
个卡特兰数.解决卡特兰数相关问题时，我们经常会从其如何满足递推关系式，即
入手讨论.这里，我们只介绍组合对应法.
不妨设所有
项的优美的序列构成的集合为
，让我们考虑
上的统计量，以
为例.
以下为所有
中的元素，
对于任意
，记
，记
则des
在
上的分布为
Table 14.
在
上的分布.
对于任意
