弃九法猜数游戏之一
我们知道，习以为常的十进制数有着一个有趣的特性，一个十进数除以9所得到的余数，等于这个十进数的各个数位上的数的和除以9所得到的余数。根据这个特性，既可以进行验算（俗称弃九法验算），也可以进行猜数游戏。现在，从一则颇为动人的故事谈起。
古代的波斯国，有个国王是数字迷，一天，有一位少年求见国王，说是要献上一道有趣的数学游戏。国王召见后，这位少年说道：“国王，请您背着我任意写出一个不少于两位的正整数，再用它减去这个正整数各个数位上的数的和，然后再所得的差中随便圈起其中一个不为零的数字，把剩下的数字逐个告诉我。我便能立即知道您所圈起来的是一个什么数字。”
国王不解的说：“你怎么知道我随便圈起来的那个数字呢？”
“国王如果不信，可以立即验证。”这位少年满有把握的说。
于是，国王背着少年写下了一个七位数7540876，让别人用它减去各个数位上的数的和。（7+5+4+0+8+7+6＝37），得7540876-37＝7540839。接着国王在所得的差中把3圈起来，说道:“我已经按照你的说法做了，剩下的数字是7，5，4，0，8，9，你知道我圈起来的是一个什么数字吗？”
“知道！国王您圈起来的是3。”少年立刻回答道。
国王感到很惊讶，他怎么知道呢？当这位少年把其中的奥妙告诉过王后，国王对这一奇妙的数学游戏很感兴趣，于是重赏了这位少年。这位少年是怎样推算出来的呢？
这是一个有趣的数学游戏。只要把圈后剩下的各个数字加起来（或者不必加上0与9），看看还要再加上一个什么一位数。正好是9的整数倍，那么这个数就是被圈起来的那个数。这里，7+5+4+0+8+9＝33，或7+5+4+8＝24，都是再加上3，正好是9的整数倍，所以被圈起来的数是3。
弃九法猜数游戏之二
在整个游戏的过程中，老师面向学生，始终不看黑板，老师先请一位学生在黑板上随意写出一个多位数，例如7516726。然后，再请一位学生把刚才所写的数随意打乱排成另一个数，例如，2176567，接着，计算这两个多位数的差（大数减小数），7516726-2176567=5340159。最后，请一位学生在差中随意划掉一个非零的数字，并把余下的数字按任意次序高声读出，例如，划掉一个数字5，读为534019，这时，老师便能正确迅速地说出学生划掉的数字是几（5）。
这个游戏的奥秘在哪里呢？我们知道，一个多位数除以9所得的余数等于这个多位数各个数位上的数的和除以9所得的余数。因此，随意写出的多位数与后来据此打乱排成的另一个多位数，它们除以9就具有相同的余数，它们的差（大数减小数）是9的倍数。这就是说，差的各个数位上的数字的和是9的倍数。所以，在差中随意划掉一个非零数字后，便能猜出被划掉的数字。
例如，在上例中，老师把学生高声读出的数字，用心算加起来，得5+3+4+0+1+9=22，再把这里各个数位上的数相加，直到得到一个数字为止，2+2=4。甚至，可以这样地心算：不必加上0与9，得5+3+4+1=13，再把这里各个数位上的数字相加，直到得到一个数字为止，1+3=4。这里所得的数字是4，说明被划掉的数字是5。添上这个数字5后，差就是9的倍数。
弃九法猜数游戏之三
（扑克牌游戏）
老师把一副扑克牌的大王、小王拿起来，同时说明每张牌代表一个数：2，3，4，5，6，7，8，9，10就代表本身所标明的数；J，Q，K和A分别代表11，12，13和1。接着，老师按黑桃、红心、梅花、方块4种不同的花色分别发给甲、乙、丙、丁4个学生。每位学生一种花色，都是13张牌。让他们各自将这13张牌任意分为若干组，每组的张数是随意的，然后计算每组各张牌所代表的数的和。在这些所求的和中任意删掉一个数字，将剩下的数字告诉老师。老师就能很快地说出被删掉的数字。
例如，学生甲的分组演算如下：
甲将其中的一个数字3删掉，告诉老师2，8，9，2，4五个数字，老师很快地说出了被删掉的数字是3。
学生乙的分组演算如下：
乙将最后一个数字6删掉，告诉老师2，5，3，4，2，6六个数字，老师也很快就说出了被删掉的数字是6。
学生丙的分组演算如下：
丙将其中的一个数字0删掉，告诉老师2，2，2，3，9，1，5，1，1，2十个数字。老师问道：删掉的这个数字比5大吗？丙回答：比5小，老师随之说出了被删掉的数字是0。
这里的奥秘是什么？原来老师首先将学生告知的各个数相加（或者不必加上0与9），如果加得的和是两位数。再将组成这个两位数的各个数位上的数相加，使之成为一位数。然后用10减去这个一位数。所得的数就是被删掉的数字。这里有一种情况必须注意：当所求余下各个数的最后和为1时，被删掉的数有两种可能：9或0，遇到这种情况，可先问删掉的数比5大吗？若大于5，则为9；若小于5，则为0。
于是，甲余下各数的和是2+8+9+2+4=25。进而2+5=7，甲删掉的数字是10-7=3。乙余下各数的和是2+5+3+4+2+6=22。进而2+2=4，乙删掉的数字是10-4=6。丙余下的各数是2+2+2+3+9+1+5+1+1+2=28，进而2+8=10，1+0=1，丙删掉的数字比5小，所以这个被删掉的数字是0。
现在来说说这一扑克牌游戏的理论跟据。我们知道，能被9整除的自然数的各个数位上的数的和必定能被9整除；反之，不能被9整除的自然数的各个数位上的数的和也必定不能被9整除。这里的13张牌的和是：A+2+3+4+5+6+7+8+9+10+J+Q+K=91，9+1=10，1+0=1。由上述整除性质可以知道。这13张牌的和不能被9整除，且其余数必定是1。因此把13张任意分为若干组相加。所得各组和的各个数位上的数的和也不能被9整除，且其余数也必定是1。又因为两个非负整数的和为1的，有且仅有一种情况：1+0=1，从而可知各组和的各个数位上的数的和的最小两位数必定是10。
* 来源：《进位制与数学游戏》，李友耕著，科学出版社，有删改。
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