昨天我分享了自己给孩子做的
数学公式手册
。
那份手册会把
小学阶段的常见公式
都给孩子整理出来。
我们还
用图形化的方式
，帮助孩子理解这些公式的由来。
下面这个就是我们里面的内页，是用图形化的方式，帮孩子理解加法交换律和结合律的。
那篇文章发出去后，后台收到好多好多的表扬和建议，在此一一谢过了！
因为我们不是教育机构，这份手册都是自己和小伙伴一个一个整理出来的，工作量很大，也难免会有一些疏漏。
因此你们的指导和建议对我们非常非常的重要！
昨天文章发出来后，好多读者提了一些建议，都非常有帮助，因此我们连夜针对这些建议做了补充和升级。
把这份公式手册进行了更新！
之前分享的还是“V7”的版本，我早上爬起来后，又根据读者的建议补充了一些内容，现在是“V10”的版本。
大家看到这篇文章，可以重新下载这个
升级的版本！
下载方式在文末。
开发这份公式手册，源自于自己辅导孩子的一个经历。
我当年辅导憨憨的时候发现一个问题，就是当孩子数学基础不牢固的时候，数学公式是很容易遗忘或者弄错的！
就拿学几何来说，几何有一个重要的主题就是“计算面积”，而计算几何面积是一个难点，因为每个图形都有对应的公式，孩子如果记不牢的话，这道几何题是肯定做不出来的。
而几何面积公式就非常烧脑！
可能完全不同的图形，却有相同的公式。
比如长方形和平行四边形，两个图形完全不同，但是面积公式竟然是一样的。
也有可能相似的图形，却有完全不同的公式。
比如三角形和梯形，两者有相似的地方，但是面积公式却完全不同。
因此，如果希望孩子数学好，就得搞定数学公式的问题！
去年年底的时候，我曾经分享过一篇很好的资源，那就是数学公式的集合。
一份是英文的公式列表，就是下面这个。
那篇文章发出去后，后台瞬间收到了好多感谢信息，大家对这份资源表示满意。
因为，这份公式清单对孩子做数学题的时候，是很有作用的，平时时不时地扫一遍，这样公式就能记得很牢，数学也不容易做错了。
可是我却不是很满意！
因为无论是中文还是英文的公式清单，都有几个问题：
一个是编排有点粗糙了
，就像下面这样，都是一堆文字和符号，看起来很累。
另一个是内容覆盖也不是很全
，还有不少小学的公式，文档里没有包含进去。
后来还有一位读者发来这个问题，说除了给出公式之外，
有没有什么好的公式记忆技巧？
这几个问题交织在一起，我再看之前分享的资料，真是越看越不完美……
怎么办？只能自己动手亲自做一个了！
我们决定和SparkMath新加坡数学联手，一起联手创作了一份
小学数学公式手册
。
选择和SparkMath合作开发的原因，是因为她们的新加坡数学课程就是围绕数形结合展开的，她们教孩子数学，都是用图形化的方式，有趣还好记。
所以我想，如果能把她们这种画图方法融进我们的公式里，应该也是件很cool的事！
虽然想法很简单，但是做起来真的很不容易。
因为光是个小学，涉及的公式就太多太多了！
有几何公式，有数感公式，还有应用题公式……
想一次性都整理齐全，用画图的方式都给孩子讲清楚，真的不是一件容易的事情。
而且毕竟是公式手册，方便孩子参照的，我们希望内容尽量精炼，但也尽可能详细。
但是小学数学的内容很多很多，所以我们会对公式、文字、图片进行一番
“断舍离”
，只保留最精华的部分，希望里面的内容呈现的尽量清晰，也更加方便理解。
经过两个月的折腾，终于这份公式清单做好了！
这份公式手册最大的特点，
就是用图形的方式给孩子展示公式。
你看，同样是几何公式，以前我们常见的公式是下面这样，纯粹文字的。
文字公式有好处，因为背诵公式会像背诵口诀一样，比较顺口。
但也有缺点，就是比较僵硬，属于死记硬背，不够灵活。
于是我们做了改进，我们会画出
每个公式的图片
，这样便于孩子理解，然后再搭配
文字公式
和
字母公式
两种形式来。
你看下面就是我们的几何公式列表，有图片，有文字公式，也有字母公式，这样孩子无论是理解还是记忆起来都会更加容易。
仅仅用图形来展示这些公式是远远不够的！
很多孩子都会记公式，但只是死记硬背，并不懂得公式背后的原理，结果不是很快就忘了，就是不会灵活运用。
因此我们这本公式清单还有一个特点，就是
用画图的方式给孩子讲公式的原理。
就拿
乘法交换律
来说，这个公式很多孩子都知道：a×b=b×a，但有没有想过为什么呢？
于是我们用新加坡数学的建模方法，给孩子画了这个面积图：
把乘法的两个因数a和b，看作是长方形的长和宽，那么乘积就是长方形的面积：
面积 = 底×高 = b×a
再把这个长方形竖过来，再求面积就是：
面积 = 底×高 = a×b
对于同一个长方形来说，无论是横过来放还是竖过来放，它的面积都是一样的。
所以我们就能得到
乘法交换律
：
a×b = b×a
下面这个，就是我们公式手册里面画的公式图：
这就是乘法交换律，看起来虽然很简单，但是却蕴含朴素的原理。
再比如
乘法分配律
(a+b)×c=a×c+b×c，这个公式是小学数学的一个难点。
如果用面积图来解释，就会直观很多。
我们还是画一个长方形，一条边长是a+b，另条边长是c，面积就是（a + b）×c
把这个长方形横向切一刀，就变成了两个长方形，它们的面积加起来就是a×c+b×c
无论怎么切，前后的面积总是相等的，所以我们得到
乘法分配律
。
（a + b）×c = a×c+b×c
下面就是我们公式手册里的画图：
是不是理解起来特别容易， 这就是乘法分配律的原理。
不只是
面积图
，我们还会用到
体积图
来解释公式。
比如
乘法结合律
(a×b)×c=a×(b×c)，这里是三个数相乘，我就想到了
长方体的体积公式
：
长方体体积 = 底面积 × 高 = (a×b)×c
我们把长方体放倒，由竖放变成横放：
长方体体积 = 底面积 × 高 = (b×c)×a = a×(b×c)
长方体无论是竖着放还是横着放，体积都是不变的，所以我们得到乘法结合律：
(a×b)×c = a×(b×c)
下面就是我们公式手册里的画图：
这就是乘法结合律，是不是很cool。
我觉得这种图形化的表达，有两点特别好，一个是建模思维，另一个是推导过程。
通过建模思维，让孩子理解公式背后的原理和本质。而推导过程是给孩子引入公式证明的思想，为初中阶段的学习打下基础。
小学还有一块难啃的“硬骨头”，就是应用题。
我以前辅导憨憨的时候，发现小学阶段的应用题其实也是总结了很多公式的。
我们也把这些应用题公式整理了出来：
