作者:蒋迅 王淑红
节选自《数学都知道》丛书第2册,有删改。
自古以来,人们对于星星都抱有敬畏和向往。人们甚至认为每一颗星星都是一个神灵。这种崇拜的心灵必然反映在人们日常的图案中。五角星就是星星的抽象表示。作为一个国家的象征,很多国家都把五角星镶嵌在国旗上。据徐传胜教授的统计,一共有至少55个国家的国旗上镶有少到一个多到五十个五角星。随着五角星的增多,五角星的排列就是一个需要考虑的问题了。这不仅是一个艺术的问题,而且是一个理念的反映;而其排列表达又可以引出一些数学问题。在这里我们就以五角星最多的美国国旗来说说这里面的数学问题。
1、 美国国旗上的星星排列问题
美国,全称为美利坚合众国,是联邦共和立宪制国家,有50个州,它的国旗上目前有50颗小星星,就分别代表这50个州。如果这是一成不变的事实倒也不必太费心思,问题是历史上,美国的国旗上的五角星的数目一直是和美国的州的数目相对等的。由于美国成立联邦的时候一开始就有13个州,所以现在这50颗小星星是从13颗开始一点点增加起来的。
当联邦政府正式成立的前后两年,美国国旗还不是星条旗。从1777年开始才有了五角星。而且一开始有几种不同的设计。曾有人设计了一个把一颗星星放在中间的图案,但没有被采纳。后来这个提案被修改成13颗星星形成的一个圆圈的图案。传说是一个叫罗斯的女子在获得了总统乔治·华盛顿的亲自授权后缝制的。这个故事无法证实,但如果读者到费城的话可以看到罗斯的房子。
图1. 四种未被选中的13星旗
以后每当有新的州加入时,国旗上就增加一颗星(如图2)。而且每次有新的州加入,都要考虑如何排列国旗上的星星。迄今为止,最后一个加入进来的是夏威夷。世事难料,有谁知道以后会不会还有哪个地方突然会加入进来呢?这并不是杞人忧天,第二次世界大战结束后,有些菲律宾人就曾提出加入美国联邦。2012年11月有报导称,波多黎各公投,逾6成民众选择成为美国第51个州(他们甚至设计好了有51颗星星的国旗)。2014年1月,硅谷投资人德雷珀推出一项计划,将加州分为6个独立的州。所有这些信息,似乎都在预示,在未知的将来,美国真的会有不止50个州呢。
图2. 13州时图样之一:六角星旗、15个州时的国旗和加州入联邦时的国旗
最后使用的48星、49星和50星的国旗图案分别如下图所示(如图3):
图3. 48星旗、49星旗和50星旗
于是出现了一个问题,如果美国确实有了大于50的N个州,那么国旗上的星星该怎么排列呢?按照美国的宪法,一旦有新的州加入联邦,联邦政府必须在美国独立日(即7月4日)之前将国旗更新。如果提前有一个大家都能接受的排列这些星星的方案岂不更为省事。
2.、数学家利用程序为美国国旗排列星星
美国人威尔逊想到了未来国旗上的星星该如何排列的问题,他自己没有解决,把问题抛给了数学家加里波第。加里波第不负所望,设计出一个程序,只要人们选择N为100以内的任何数字,这个程序就可以给出国旗上N颗星的分布图。他的做法是这样的:首先对历史上曾经在国旗上正式使用过的星星数目和进行研究,找出它们的一般格式,然后将这些格式按星星数目进行分类。他得到下面6个格式:
(1)长格式:每行星星数目长短交错,长的一行星星数比短行的多一个。第一行和最后一行都是长的。(例:50星)
(2)短格式:这个格式与长格式相同,只是第一行和最后一行都是短行。
(3)交错式:这个格式与上两个格式相同,但第一行是长行,最后一行是短行。
(4)等长式:每行的星星数目都相同。(例:48星和49星,49星有些变异)
(5)怀俄明式:第一行和最后一行都是长行,其他的行都是短行。这个名字是因为这个格式是由于怀俄明州的加入而第一次引入的。
(6)俄勒冈式:这个格式与等长格式相同,除了中间一行的星星数目少两个。这个名字是因为这个格式是由于俄勒冈州的加入而第一次引入的。
还有一个没有明示但似乎显然的假定:星星的布局应该是一个长和宽相差不大的矩形。显然把所有的星星都摆在一行里不太美观。于是,假定a是行数,b是长的一行中星星的个数,我们可以合理地让a和b满足:a≤ b ≤ 2a。
历史上,美国国旗的星星排列并不完全是按这6个格式设计的。比如加州加入联邦时的31星旗就很特殊,而按这个分类,它应该是一个短格式。还有一个特殊情况就是当爱荷华州加入联邦时的29颗星,它不能被归到上面任何一种格式中。
给定1 ≤ N ≤ 100,只要N≠ 29,69和87,我们就可以至少给出一个格式来。读者可以试着证明,当N= 29时,上面的6个格式都不能符合要求。不知道为什么美国人没有定义出一个爱荷华式来。
假如我们好奇,用这个程序,当我们考虑像中国的国旗一样有5颗星时它会是怎样分布的呢?下面就是用这个程序选择5颗星所产生的星条旗(如图4)。
图4. 一组不同布局的五星旗
可以看到,威尔逊在程序里设计了好几个方案,唯独没有让一堆小星星围绕一颗大星星。我们前面提到过,最初也确实有过近似这样的设计方案,但坚持平等理念的美国人没有采纳。美国宪法对这些星星的尺寸有严格的规定:如果国旗的高度是1的话,那么每个星星的外切圆的直径是0.0616,即每个红白条的4/5,而每个红白条的宽度是1/13,近似为0.0769。因为美国人认为,每个州都是平等的,每个政党也是平等的,每个人更是平等的,所以小星星不应该有大小不同、颜色区别和位置的特殊性。这些都是威尔逊的程序必须遵守的条件。
3、问题的数学推广
这个问题到这里还没有结束。我们看到,在100以内已经有3个数目是不能由这个程序自动产生星星分布的。那么200以内呢?1千以内,1万以内呢?一般地,当上限充分大的时候会是什么结果呢?伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的两个研究生考虑了这个问题,并得到了一个有些不可思议的结果:当数目充分大时,能排列好的数目越来越少。具体地说,若S(N)= #{所有能按照上述6种形式之一排列的星星个数n,n≤ N },则S(50)= 49,S(100)= 97。他们证明了
直觉上,我们当然可以想象,当N越来越大时,会出现越来越多的n使得现有的6个格式不能满足需要。上面的怀俄明格式和俄勒冈格式就是因为这个原因加进来的。比较令人意外的是,当N越来越大时,我们要增加的格式会迅速增加。
更令人意想不到的是,这个问题与我们熟知的乘法表有关。数学上的这种关联正是数学的美妙之处。数学家们常常用他山之石来攻破难题。费马大定理的证明就是一个漂亮的例子。鉴于这种思维方法的重要性,我们再稍微说一说上面这个星条旗问题是如何解决的。先来看一看下面的表,这是一个10×10的乘法表(如表1)。
表1
在这个表中有很多重复的数字。我们从上到下一行行看下来,把已经出现过的乘积都删除掉,就得到下面的表(如表2)。(注意这个思想有点像经典的寻找素数的“埃拉托塞尼筛法”。)
表2
1955年,数学家埃尔特希提出了一个问题:当乘法表充分大时,即当N趋于无穷时,A(N)= #{n ≤ N:n = m1m2,m1 ≤,m2 ≤}的变化趋势是什么?埃尔特希证明了左上方×的非空白格越来越少:
伊利诺伊大学的两位学生就是利用这个结果,经过细致的分析发现S(N)≤ 6∙A(N),从而结论正确。
最后让我们再回到美国国旗来,看看当N> 50 时他们都准备了什么安排。
图5. 51-55个州时的几个国旗设计
《数学都知道》是由旅美科普作家蒋迅与数学史专家王淑红出版的一套数学科普著作,先期发行三册。本书从实际生活出发,紧紧围绕数学这个主题,自然延伸到与之交叉和渗透的若干领域和方面,试图通过新颖的内容、通俗的文字、珍贵的图片、具有趣味性和启发性的问题等,呈现给读者一幅幅数学与生活、数学与科技、数学与艺术、数学与教育等共通互融的立体画面。不管你是否是数学专业,读后都会有所收益。
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