导语

在人类对自然与工程系统的不断探索中，复杂系统的动态行为及其规律的发现始终是科学研究的核心问题之一。传统的状态空间方法虽然在研究简单系统时表现出色，但面对网络动力学、运动控制及气候系统等具有高度非线性和复杂动态特征的领域，其局限性逐渐显现。而 Koopman 分析作为一种突破性的数学工具，以其将非线性系统转化为线性框架进行解析的能力，为解决这些难题提供了崭新的视角和强有力的解决方案。在 《Koopman分析在非线性动力学中的应用》系列课程 第六节中，兰岳恒教授将于 1月25日（周六）14:00-16:00 通过深入浅出的讲解，带领大家探讨这一方法的核心逻辑与多领域应用。课程不仅涵盖 Kuramoto 模型、哈密顿动力学及气候动力学的实际案例，还将展望其在未来复杂系统研究中的潜力，为学员揭示这一领域最前沿的研究进展。

主题：Koopman算符在实际非线性体系中的应用

课程简介

Koopman 分析是一种强大的数学工具，其广泛应用于非线性动力学系统的研究，为复杂系统的解析与控制提供了全新视角。在本次课程中，兰岳恒教授将带领大家探索 Koopman 分析在实际应用中的核心技术及其广泛的应用领域。本课程将从基础理论出发，系统讲解 Koopman 分析的基本概念与方法，包括其谱性质、动态模态分解（DMD）等，帮助学员构建对非线性系统的线性化理解。在应用部分，课程将聚焦以下典型案例： Kuramoto 模型、哈密顿动力学、气候动力学。 在具体案例的剖析中，课程还将探讨 Koopman 分析在识别复杂系统中的关键模态、构建观测值及控制复杂动态行为中的实际应用。同时，结合当前最前沿的研究热点，课程将展望 Koopman 分析与机器学习结合的潜力，探讨其在高维动态系统中的新兴挑战。

课程大纲

1. 引言

1. 介绍 Koopman 分析的基本理论框架，包括谱性质、动态模态分解（DMD）以及非线性系统的线性化方法。通过这些概念，为理解复杂系统的动力学行为奠定理论基础。

2. 探讨 Koopman 分析在网络动力学、哈密顿系统和气候动力学中的潜力，提供从理论到应用的清晰脉络。

2. 典型案例分析

1. Kuramoto 模型：研究耦合振荡器的同步现象，分析相位动力学及相变行为;利用 Koopman 分析提取关键动态模态，量化系统的同步程度。

2. 哈密顿动力学：探讨通过哈密顿方程描述非线性系统的相空间结构；解析不变结构及动态特征，揭示本征函数和轨道拓扑的直接关系。

3. 气候动力学：基于年度 温度变化和厄尔尼诺现象的分析，解读气候系统中的关键动力学模式；探索 Koopman 算符在预测气候异常和季风分布中的作用。

3. 扩展应用与未来挑战

1. Koopman 分析在高维复杂系统中的推广，包括如何识别关键模态和构建有效观测值

2. 探讨 Koopman 分析与机器学习的结合潜力

3. 应用中的核心问题

涉及专业术语

Koopman Operator（Koopman算符）、Dynamic Mode Decomposition (DMD, 动态模态分解)、Kuramoto Model（Kuramoto模型）、Hamiltonian Dynamics（哈密顿动力学）、Kuramoto-Sivashinsky Equation（Kuramoto-Sivashinsky方程）、Eigenfunction（特征函数）、Spectral Properties（谱性质）、Energy Landscape（能量景观）、Machine Learning（机器学习）、Mode Identification（模态识别）、High-dimensional Systems（高维系统）

课程信息

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒 ，北京邮电大学理学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

系列课程信息

课程适用对象

1. 理工科研究生或高年级本科生 ：

• 对非线性动力学、数学建模、数学物理或统计力学感兴趣。

• 具备一定的微分方程、线性代数及计算基础。

• 希望通过Koopman算子探索非线性系统在自己的研究方向中的应用。

1. 从事各类复杂系统研究、寻找有力分析工具。

• 乐于参与讨论、假设推导和问题反思的学生。

课程证书