【数学物理】电话号码为质数的概率有多大？

数学家们喜欢做的一件书呆子气的事情就是检验他们的电话号码是否为质数。我最近刚好搬了家，正要换电话号码。之前家里的电话号码不是质数（不过房屋号码是质数53），因此，我期望搬新家（新房屋的号码为“前质数”1）后能有好运。

电话公司给我的第一个号码看上去还不错，但当我把它输入到电脑中检测后，发现它可以被7整除。于是我告诉电话公司的人员：“这个号码我可能记不住……能换其他号吗？”第二个号码同样不是质数，它能被3整除（有一个简单的方法能判断一个数字是否能被3整除，那就是把电话号码的每个数位上的数字都加起来，看这个总和能否被3整除，可以的话原数便能被3整除）。又试过3个不成功的号码后，电话公司工作人员已经十分不耐烦了，他对我说道：“先生，不管下个号码是什么，恐怕我只能给你这个了。”呜呼，算来算去，到头来竟拿到一个偶数号码！

那么，我能拿到质数电话号码的概率到底有多大呢？因为电话号码是8位数，而这8位数字成为质数的概率约有1/17。那么，随着数字位数的增加，成为质数的概率会发生什么变化呢？例如，100以内共有25个质数，这也就意味着在所有个位数和两位数中，质数的存在概率为1/4，即平均算来，当你从1数到100时，几乎每4个数字中就会有一个质数。但是，我们的数字越来越大时，遇到质数的概率也会越来越低。

下表列出了这种概率的变化情况。

随着数字位数的增加，质数出现的概率越来越小，但这种概率的减小却是非常有规律的。数字位数每增加一位，质数存在的概率的分母便增加2.3。最先注意到这一点的是一位15岁的少年，这位名叫卡尔·弗里德里希·高斯（1777-1855）的少年日后成为了数学界最伟大的人物之一。

高斯的发现得益于他在生日时收到的一本数学用表书籍，这本书的背后印着一张质数表格。高斯非常着迷于这些数字，自此以后，他花费余生的时间都在努力为这个表格增加越来越多的数字。高斯是一位实验数学家，他十分乐于把玩各种数据，同时，他相信质数变稀疏的方式会依照这种一贯的规律一直延续下去，不管数字变得多么巨大，其变化情况会一直如此。

但谁能保证100位或100万位的时候不会突然出现奇怪的情况呢？质数存在概率的变化规律仍然是每增加一个数位，其概率的分母便增加2.3吗？会不会突然性情大变，让人措手不及呢？高斯则坚信该模式是一以贯之的，但直到1896年，他的这一想法才得到证实。雅克•阿达马和瓦莱•普桑这两位数学家各自独立证明出这一被称为质数定理的理论：质数的分布将按照这一贯的规律持续稀疏下去。

高斯的发现引出了一个十分强大的模型，它将会帮助人们预测出质数的众多特性。该模型为一系列的质数骰子，每个骰子上除了其中的一面写着质数两个字以外，其他表面均为空白，自然界在选择质数时就好像是依靠投掷这些骰子来确定的。

自然界中的质数骰子

要确定每个数字是否为质数，投掷骰子即可。如果在掷出来的骰子上，写着质数的那一面在最上面，那么该数字就是质数，反之，则不是。当然，这只是一个启发性模型，我们不可能仅靠一只骰子就让100这样的数字变得不可拆分。但是，通过这种方式，我们可以得出一系列数字，它们的分布情况十分接近于质数的实际分布。通过高斯的质数定理我们能了解到一个骰子应该有多少个面。比如，对于3位数字，就使用一个六面的骰子，即立方体骰子，其中一个面上写着质数两个字；对于4位数字，则使用八面骰子；对于5位数字，则使用10.4面的骰子……当然，因为这些都是理论上的骰子，为现实中并不存在10.4面体。

主编已圈点：在这之前，我想大多数的人都对质数没什么概念了，离我们很遥远了，没想到还可以这么出现在生活中，如果要形容的话只有瞪眼的份了！

本文来源：《神奇的数学：牛津教授给青少年的讲座》，作者：索托伊 (Marcus du Sautoy) ，人民邮电出版社。

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本期编辑|雾里人

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