一杯咖啡背后的拓扑

图1. 布劳威尔不动点的证明。

证明的思想非常初等，主要是基于反证法：如图（1）所示，假设不存在不动点，那么对于一切点 ，都有 。固定点 ，我们构造一条射线：从 出发，经过 点，和边界曲面 交于点 。这样，我们构造了映射 ， 。如果点 是边界点， ，由构造方法我们得到 。这意味着映射在边界上的限制是边界到自身的恒同映射：

。

因为 是连续映射，因此 也是连续映射。映射 将三维实心球体均匀地压缩到边界曲面上，如图（1）右帧所示。这样的映射必然会撕裂球体的中心区域，因此不可能是连续的。由此，连续映射 不存在，假设错误，初始映射 存在不动点。

这一证明的关键是压缩映射 撕裂内部，这来自物理直觉。如果一个循规蹈矩的小孩没有玩过橡皮泥，没有对玩具进行过“破坏性创新”，或者终日沉湎于电子游戏，那么他应该很难建立起这种直觉。从这个角度而言，父母对于小朋友的淘气应该宽容，并且鼓励他们更多地在真实物理世界中探索。

对于工程师而言，这一证明足够严格。但是对于数学家而言，物理直觉依赖于人的感官经验，无法达到数学上的严格性要求。问题的关键在于如何将物理直观用数学理论来严格阐述并证明。经过前人艰苦卓绝的探索，人们终于用代数拓扑的方法严格化了这一物理直观。

代数拓扑的基本手法是在拓扑空间上定义各种群，群结构反应了空间的拓扑性质。拓扑空间之间的映射诱导了相应群之间的映射（群同态），这些群的同态反应了拓扑映射的性质。换言之，我们将拓扑范畴映射到代数范畴，并且这个映射保持了结构和关系（即范畴间的映射是函子的）。我们考察拓扑空间 中的封闭曲面，如果两个曲面构成了空间 中某个三维体的边界，那么我们说这两个曲面彼此同调等价（homological）。 中所有封闭曲面的同调等价类在加法下构成二维同调群，记为 。实心球体中所有的封闭曲面都是某个三维体的边界，因此所有的封闭曲面都同调等价于0，二维同调群 只有一个0元素。 为拓扑球面，里面有个气泡， 本身为封闭曲面，并且不是任何三维体的边界，所有封闭曲面都是 的整数倍，因此二维同调群 等于整数加群 。由此，我们得到拓扑空间的映射序列：

,

这里第一个箭头表示 在 中的包含映射（inclusion），第二个箭头是三维球体到二维球面的压缩映射。复合映射 是边界到自身的恒同映射。这个映射序列诱导了二维同调群之间的同态序列：

,

这等价于：

。

因为中间出现0群，因此复合映射 必为0；另一方面，我们有 为恒同映射， 应该为1，矛盾。因此，连续的降维压缩映射 并不存在。布劳威尔不动点定理成立。

人类通过幼年玩耍建立了物理直觉，那么今天的人工智能算法是否可以胜任呢？首先，我们这里依赖的是降维压缩映射的不存在性，我们无法提供标注训练数据，用人工智能算法学习某种映射的不存在性。其次，代数拓扑层面的代数运算，用吴文俊先生发明的方法原则上能够用符号推理实现出来。但是，计算机只能停留在符号演绎的水平，无法理解群同态序列后面的物理实际。这里至关重要的一步是将物理直觉提炼成概念，形式化成符号体系，总结出代数运算法则。从物理实际抽象成符号体系，这一步人工智能无法完成。 这也是人类智能和动物智能的分水岭，更是目前人类智能和人工智能的本质差别之一。

我们进一步观察咖啡拉花的模式。咖啡表面被分割成白色的牛奶泡沫区域和褐色的咖啡脂泡沫区域，奶泡区域作为前景，咖啡泡区域作为背景，构成各种图案。我们缓慢搅拌咖啡，拉花的模式将会变得愈发复杂，最后和背景充分融合。我们试图理解拉花模式的变化规律，和融合速率的定量描述。

图2. 搅拌咖啡诱发拉花模式的变化。（两次旋转算作一次迭代映射。）

图（2）显示了一个搅拌过程的理想实验，白色区域代表牛奶泡沫，淡黄色区域代表咖啡脂泡沫。我们放置3个用于搅拌的咖啡勺，用红绿蓝三个圆洞代表。每一次搅拌固定一个咖啡勺，另外两个咖啡勺旋转互换，如图中深绿色圆弧所示。白色区域将会被拉长折叠，拉花模式趋于复杂。几次迭代之后，白色区域的边界曲线就很难徒手画出来。

图3. 太妃糖拉伸器。（Taffy Puller）

如果缺乏日常生活经验的话，这里的描述可能依然费解。在曼哈顿有几家中餐馆，大厨在临街的玻璃橱窗中做手工抻面或者各种面点，手工拉面的过程和这个搅拌过程比较相像，面条被多次拉伸和折叠，愈来愈细。在很多美国糖果店都有一种太妃糖销售，太妃糖和中国的麦芽糖相近，非常粘稠，延展性较强。糖果店中经常有一种太妃糖拉伸器（Taffy Puller），由多根不锈钢圆柱构成。太妃糖做成的圆环套在两根圆柱上，这些圆柱在空中依照固定模式旋转，太妃糖被拉伸折叠，自我缠绕，变得愈来愈细，材质混合均匀。

图4 搅拌的动态示意图。

图（4）显示了最为简单的太妃糖拉伸器的动态搅拌过程，非常像模式复杂的抻面过程。很多时候，小孩在糖果店目不转睛地看着太妃糖拉伸器在运转，旁边的父母经常不耐烦地催促。实际上小朋友在努力地学习拓扑。可能当年的瑟斯顿（Thurston）就是这样一个小孩。依随搅拌次数的增加，太妃糖的曲线演化得愈发复杂，但是瑟斯顿天才地发现了某种不变的模式。

图5. 拉花变换中的不变量：火车道（train track）。

图6. 拉花变换中的不变量：第二次迭代映射后的火车道权重（train track weight）。

我们将咖啡表面视作圆盘上去掉三个点，每次搅拌看成一次自映射，封闭曲线在自映射的迭代下变成另外一条曲线。如图（5）所示，我们在咖啡表面上将彼此平行的曲线段捏在一起，得到一个分支（branch），分支的权重等于多少股被捏成这条分支。分支在道岔（switch）处汇合，两条驶入分支汇聚成一条驶出分支，驶入分支的权重之和等于驶出分支的权重。图（6）左帧的每条竖线代表一条分支（branch），竖线和曲线的交点个数等于这一分支的权重。这样我们得到了所谓的火车道（train track）模型。这个火车道实际上只有两个独立变量a和b，其他权重都可以由（a,b）推出。