陈省身的伯克利岁月

编者按：今天是陈省身先生108岁诞辰，我们特别转载了加州伯克利大学伍鸿熙教授的文章以表达对陈先生的纪念。本文录入时，编者对文字作了少许修订。——黄金泽、林开亮、孙志跃

陈省身先生于 1960 年来到加州大学伯克利分校，那时美国数学领域的顶尖研究似乎是东部的特权。然而，到了 1965 年，伯克利分校的数学系连同整个伯克利分校加入了世界一流学府的行列。很难说陈先生的加盟与伯克利数学系能在如此短暂的时间内繁荣起来关系不大。

1965 年，我博士毕业不久很幸运地成为了伯克利分校数学系的教师之一。我到来之际，几何学方向除了陈先生外还有一群优秀的年轻人，包括 Phillip Griffiths、 Shoshichi Kobayashi 和 Joseph Wolf。他们三人都是陈先生到伯克利之后接受伯克利聘用的。那个时期，一个数学系能有一位几何学家已经相当奢侈了，因为当时的几何学没有今日流行。尽管 Griffiths 于 1967 年离开了，伯克利在未来的几年又迎来了项武义、Blaine Lawson 和 Alan Weinstein。I.M. Singer 认为自己是陈先生的名誉学生，也在伯克利数学系从 1977 年工作到 1984 年。60 年代和 70 年代，伯克利被公认为卓越的世界几何学中心。一批来自远方的杰出学者例如 F. Hirzebruch、M. Berger 和 W. Klingenberg 成了数学系的常客。这 20 年间在此就教的有 Jeff Cheeger、 Patrick Eberlein、 Detlef Gromoll、 Rick Schoen、滕楚莲、 Karen Uhlenbeck 和 Nolan Wallach。此外，很多著名的几何学家把伯克利作为他们访问的目的地。我记得有 Ch. Ehresmann、A. Lichnerowicz、E. Calabi、A. Douady 和 M. Gromov, 还有其他一些有名气的学者为讨论班作演讲。所有学术活动的核心人物便是陈先生本人。毫无疑问陈先生是诸多学者访问伯克利的主要原因。陈先生确确实实是一位数学王国的缔造者。正如前面谈到的这些伯克利的几何学家，除了陈先生本人和 Singer 教授，其余都是在他们事业的启航前后到伯克利，并在伯克利建立了各自的学术声誉。

由于我直接了解到这些事实，所以当我后来得知先生 1946-1948 年独立建立起中央研究院数学研究所并培育了一代中国数学家，包括陈国才、王宪钟和吴文俊时，我并不觉得奇怪。他告诉我在那段岁月里，他成了一个全能教师、生活导师和行政主管。这些事务耗费了他大量思考数学问题的时间。他每天从早到晚地教课 （他用 Alexandroff & Hopf 的 Topologie 以及 Seifert & Threfall 的 Lehrbuch der Topologie 作为教材讲课。陈先生对这两本书，非常赞赏。） ，还得时常到教育部为研究所申请各种基金。大家熟知的是先生对高斯-博内公式 （闭黎曼流形上 Gauss-Bonnet 公式的内蕴证明, Annals Math. 45(1944),747-752.） 的内蕴证明所做出的跨时代的贡献以及 1943-1945 年期间先生在普林斯顿发现的陈类 （Hermitian 流形的示性类，Annals Math.47(1946),85-121.） ，这些都是先生 30 岁出头的卓越工作。1946-1948 年应该是陈先生数学的全盛时期，正是那几年先生为中国数学的现代化花费了大量的时间和精力。

但这超负荷的工作量不可避免地给先生带来了损失。先生曾透露，那几年间的研究工作曾有错误，直到他 1949 年初再次来到普林斯顿之际，心中还隐约怀有一个疑问：自己还可以重新开始数学研究工作吗？对于一个充满无限自信的学者而言，这些话语是很使人感动的。不过先生很快证实，自己的怀疑是完全没有必要的。随后先生得出了一系列研究成果：Chern-Bott 用所谓精细的陈形式来改写的 Nevanlinna 理论，Chern-Simons 不变量和 Chern-Moser 不变量，这些成果为他在美国的岁月戴上了桂冠。

众所周知，陈先生扩张数学王国的事业没有随着伯克利几何中心的建造完毕而终结。当先生 1979 年正式在伯克利退休后， (他在 1979 年到 1984 年期间仍被伯克利聘用。) 于 1981 年和 Calvin Moore 教授以及 I.M. Singer 教授携手创立了数学科学研究所 (MSRI) （1982 年伯克利数学科学研究所成立，陈先生任第一任所长） ，1984 年他回到中国，在天津建立了南开数学研究所 （南开大学是陈先生的母校） 。所有这些工作除了要求完美的管理能力和科学的判断能力之外，还要求有出色的交际能力，而陈先生就拥有极为出色的交际能力。我们对陈先生的敬仰如果仅限于学术上的成果而不谈他的人格魅力和宽厚仁慈，那将是不完整的。当然，简单的几个词，例如“迷人”、“优雅”还远远不能表达陈先生那独特的超凡魅力。下面这段摘自 Raoul Bott 1979 年在伯克利为陈先生举行的研讨会上的讲话，很好地说明了陈先生的一言一行给周围的人留下的印象有多么深刻：

我很荣幸能在这个为我的挚友、老师、合作者陈先生而举行的研计会上致词。我是在 1950 年邂逅他的，当时他只是到普林斯顿访问一天，就餐时我恰好坐在先生旁边。陈先生，我不知您是否还能记起那个时刻：当时我很快就完全被您的言行吸引住了，甚至为了引起您的注意，我想尽了办法。

自从 1984 年南开数学所建成以后，陈先生时常访问天津，直到 1999 年他决定定居天津。中国政府在数学所旁边为陈先生建造了一座公寓。陈先生的很多美国朋友曾经在陈先生的公寓里度过了一段非常愉快的时光。

陈先生在伯克利成为终身教授之际，他的年龄比系内其他所有几何学家至少大了 20 岁 （唯一的例外是 I.M. Singer 教授，他在 1949 年芝加哥大学读书期间曾上过陈先生的几何课。Singer 经常幽默地说到，他和他的学生包括 R.V. Kadison 和 A. Shapiro, 都被陈先生深远的几何洞察力吸引住了，但对陈光生独特的思考过程，他们觉得摸不着头脑。） 。仅凭这一点已足以让大家对他敬重。他的个人魅力和数学地位，使得他注定是个领袖人物一一如果此刻我的讲话可以代表系内的同僚——他真的是竭尽全力帮助我们。“导师(mentor)”这个词时下很流行，不同人对此有不同的理解。年轻一代 (包括当时不在伯克利的) 对于这个词的一些想法已经被出版成卷：《陈一一二十世纪伟大的几何学家》 （Shing-Tung Yau, ed, International Press, 1992.） 。我认为这些还不足以表达陈先生对年轻人的爱护，他用他特有的宽容去尽力帮助那些年轻人。三十多年以来，我和陈先生算是走得比较近的，但是对于陈先生喜欢走到年轻人中，我从未发现有半点虚假。他在伯克利培养的 31 个博土生以及其他与先生合作写文章的年轻学者，都能证明陈先生这方面的为人。在陈先生的晚年，我没有到天津去拜访他，这使我感到很遗憾。但是从别处听说的种种故事，无不勾勒出陈先生在年轻人中间温馨的画面。

我必须承认，当我 25 岁去伯克利的时候，对导师的职责是一点概念也没有的，也从没有期望能从我的研究领域的领导人物那里得到什么好处。但如果说我必须等到陈先生给我指导我才能从中获益的话，那我在伯克利显然是浪费时间。于是我没有等待，由于我在高中的时候就喜好数学史，很自然的我就开始垂询陈先生的数学历程。

第一点也许也是最重要的一点，是我从陈先生那里学到的，已经被 Andre Weil 在描述他和陈先生之间友谊的时候很好地被表述了：

我们都对高斯-博内公式感兴趣。我们都开始意识到还没有引起人们注意的纤维丛将在各种几何问题中起很主要的作用。更有甚者，我们对待这个学科乃至整个数学的态度是一致的，对于一些纲领性的间题，往往其他学者认为应该怎样做才对，而我们却放开这些思想的包袱努力地去尝试。

（Shiing-shen Chern, Selected Papers, Springer-Verlag, New York -Berlin-Heidelberg, 1978.）

在陈先生的晚年，他一直坚持， 他于 1944 年给出的高斯-博内公式的内蕴证明是他最得意的工作 。这个公式的证明实际上在一年前已经由 C.B. Allendoerfer 和 A.Weil 通过复杂的计算完成了 （Tran Amer. Math Soc.53(1943),101-129. 不幸的是，在某些方面，文献中关于 Allendoerfer-Weil 定理有很多误传。一些很著名的文献曾断言 Allendoerfer-Weil 定理只在下述情形下成立 (1) 黎曼流形可以嵌入到欧氏空间中，或者 (2) 黎曼流形上有解析的黎曼度量。其实只要稍微热 Allendoerfer-Weil 的文章就会知道，这些论断是毫无根据的） 。众所周知，陈先生的证明不仅在微分几何方向开辟了新纪元，而且创造了纤维空间上同调的超渡概念。但是我在这里提起这个证明，却是有另一个原因。陈先生曾经郑重地告诫年轻人，要尽可能和优秀的数学家进行交流，从他们那里可以学到很多东西。大家都知道，他自己在年轻的时候就从 Elie Cartan 那里学到很多 （Shiing-Shen Chern, Selected Papers, Springer-Verlag, New York, 1978, pp. xxi-xxii） ，一件不大为人所知的事情是他把自己最好的工作归功于和 Andre Weil 的交谈。陈先生的个人经历强有力地说明他的忠告是正确的。

二次大战期间的 1943 年，当先生从中国辗转来到普林斯顿时，他和 Andre Weil 很快建立了友谊。关于这段插曲， Weil 已经在陈先生的论文集中 （Shi ing-shen Chern, loc. cit） 的公颂词部分用生动的语言描述了。实际上，当 Weil 对陈先生的关于齐次空间上积分几何的文章 （On integral geometry in Klein Spaces, Ann. Math, 43(1942), 178-189） 在数学评论上发表了热切的评论之后，陈先生和 Weil 的友谊就已经建立了，Weil 甚至建议 Hermann Weyl 把陈先生请到普林斯顿来 （另一方面，Weyl 是陈先生之前在美国数学年刊上发表的关于述向曲面的论文的审稿人. 陈先生一到普林斯顿，Weyl 就问他：“陈，你知道是谁审你的文章吗？”(这是陈先生的原话)） 。就像陈先生的回忆录中所提及的，陈先生到了普林斯顿后和 Weil 进行了多次交谈，那时 Weil 已经和 Allendoerfer 合作证明了高斯-博内公式，但是 Weil 坚信，定有内蕴证明而不需要复杂的每次必须把一片片流形嵌入到欧氏空间中 （参见注释 15 中引用的论文） 。陈先生把这个问题记在了心头，不出两个礼拜，就得到了内蕴证明的主要思路，包括用不可思议的计算表明，高斯-博内公式只是主丛上的一个恰当形式。他曾自豪地对我说，实际上他开始并没有写什么，一切的计算全是在脑子里进行的 (真是令人惊奇！)。

任何了解陈先生证明思路的人都觉得，这样漂亮的计算能在脑子里进行有点不可思议，但是那些目睹陈先生超强计算力的人，虽然还有那么一点惊讶，但还是倾向于相信他。更有趣的是，虽然证明的主要思想是主丛上高斯-博内公式的恰当性，但是拓扑知识的缺乏阻碍了陈先生。他曾天真地认为，任意紧致的定向流形都存在处处非零的向量场，如果这样，那么在流形的球丛中将存在一个全局的截面，那么主丛上高斯-博内公式形式的恰当性就可以转化为流形自身上高斯-博内公式的恰当性，接着高斯-博内公式形式的积分将总是零而不是欧拉示性数。当然，陈先生知道这是错的，但这着实折腾了他好一段时间，直到他学到关于向量场指标的 Hopf 定理才给出了完全的证明 （注意到关于这个主题 一年半后有一篇文章：On the curvature integra in a Riamannian manifold, AnnaIs Math,46(1945),90-100, 特别是第2节, 专门讲了如何合理地应用 Hopf 定理） 。

当陈先生向我叙述他拓扑知识缺乏以及曾使他暂时走错方向这段经历时，他只是很平淡地叙述。可能他只是想独自回忆一下这段个人历史，而不准备和我讲其它一些内容。但是也有可能，他的目的主要是想阐明前面提到的他对待问题的人生哲学，就是 每件事都有一个关键点 。如果你抓住了这个关键点，那么剩下的迟早会被解决。

当陈先生正在重新证明高斯-博内公式的时候，他碰巧和《数学年刊》的编辑 Solomon Lefschetz 聊上了，当 Lefschetz 听了陈先生的介绍后，立即要求陈先生把文章发在《数学年刊》上。陈先生向我强调说 Lefschetz 并不懂微分几何，但是用陈先生的话说，“Lefschetz 能够感觉到好的数学”。陈先生通过这段小小的轶事教导我， 每个数学家都需要培养数学的美感，但是同样需要的是广博的数学认识来协助这种美感 。

在陈先生的所有著作中，有三篇文章特别出类拔萃：1944年高斯-博内公式的内蕴证明，紧接着 1945 年对证明的澄清和推广到带边流形的情形，以及 1946 年陈类的提出 （分别参见注释 2、21 和 3 中引用的论文） 。几何学家们都承认 1944 年那篇文章对于微分几何的发展和后来陈类的提出有着不可磨灭的作用，但是数学界却对陈先生 1946 年那篇文章非常之推崇，因为陈类已经成为现代数学的一个基本术语。陈先生也已敏锐地意识到他 1946 年那篇文章在数学领域的影响力大大超过了他 1944 年那篇。从他晚年公开表示 1944 年那篇文章是他最得意的成果这点，我们可以推测出陈先生已意识到这件事了。当然陈先生这么做是有更深层次的理由的，用他自己的话说就是：“你们认为我最著名的成果实际上是我最大的失败”。那么陈先生说这话是什么意思呢？当时他完成高斯-博内公式的内蕴证明之后，他知道他已经掌握了一种有效的方法，通过这种方法可以用微分形式来表示像 Stiefel-Whitney 类那样的一些东西。事后我们知道，这种想法是不对的，因为 Stiefel-Whitney 类存在 上而不是在 上，即是说，实的 Grassmannians 以 为系数的上同调环存在挠部分，因而显得复杂，但是在 是以实的 Stiefel-Whiney 类为生成元的多项式环。在 40 年代，拓扑学家们的注意力主要集中在实的范畴而很少关心复的情形，所以陈先生也只是想用微分形式来表示实的示性类，但是他受挫了。他说有天晚上他在 Fine Hall 图书馆翻阅书籍的时候，无意间看到了 1934 年 Ehresmann 关于 Grassmannians 同调理论的博士论文，陈先生注意到复 Grassmannians 的同调结构要比实的情形简单得多。这暗示他至少可以完成复向量丛的表示，这就是最早的陈类。正如前面所说，在 1945 年的时候，陈先生关心的是实的情形，所以他所做的复的情形只能算是次好。正是由于这个理由，陈先生个人一直认为 1946 年那篇文章是他的一个“失败”。

陈先生更一般地用微分形式表示实向量丛示性类的想法同时被俄罗斯数学家 Pontryagin 独立地完成了，这就是我们现在熟悉的 Pontryagin 类。Pontryagin 早在 1944 年就已经宣布了这一结果，不过直到 1949 年才最终给出细节 （Some topological invariants of closed Riemannian manifolds, IzvestiyaAkad. Nauk SSSR. Ser. Mat. 13(1949), 125-162） 。今天，众所周知，陈类和 Pontryagin 类是密切相关的。

后辈们可以不同意前辈本人对其著作的评价。如果我们在不考虑陈先生个人情感的情况下来看看他 1946 年的那篇文章，我们将很容易发现其中的很多高明观点。这篇文章并没有 1944 年那篇文章超凡的光芒，但是比 1944 年的文章更有广度和深度，它是微分几何、计数几何、代数拓扑的完美融合。丛这篇文章我们可以发现下面四个新的观点：(1) 在 Hermitian 度量下 Hermitian 联络的定义 （如果数学名词或理论的命名是合理的，那么所谓的“Hermitian 联络”肯定应该称为 Chern 联络”但是谁能保证命名过程是合理的呢？）