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01 | 季理真：数学巨人 Sophus Lie

高教学术 · 公众号 · · 2019-03-24 18:24

正文

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季理真，1964 年 4 月生于温州。1984 年获杭州大学理学学士学位，1985 年赴美在丘成桐教授指导下研习数学。1987 年在加州大学圣地亚哥分校获得理学硕士学位，1991 年在美国东北大学获得理学博士学位。先后在美国麻省理工学院、普林斯顿高等研究所从事研究工作，1995 年至今任教于美国密歇根大学数学系，从 2002 年开始兼任浙江大学数学科学研究中心高级教授。曾获得 Sloan 研究奖，以及美国自然科学基金会数学科学博士后奖。

译者 | 林开亮

选自 | 《霍金与黑洞探索》

本文简要介绍了 Sophus Lie 的生平和工作，特别是他早期和 Felix Klein 在有关 Erlangen 纲领方面的富有成果的相互影响以及他们晚期的冲突，他与 Friedrich Engel 多产的合作，以及他的论文选集的编辑与出版。

Sophus Lie (1842—1899)

引言

在今天的数学家和物理学家中，极少有人不曾听说过 Lie 群或 Lie 代数，或者以这样或那样的方式应用过 Lie 群与 Lie 代数。如果我们将离散群或有限群作为特殊 (或退化的 0 维) Lie 群，那么数学的每一个分支都应用了 Lie 群。正如 H. Poincaré [25] 在 1882 年对 Lie 说的: “所有的数学都与群密切相关。 ” 很明显，群的重要性源于其作用。在 [17] 中列举了与群作用有关的各种课题。

Lie 理论是 Sophus Lie 的创造，而且是 Lie 最著名的成就。但 Lie 的工作比这要广阔。除此之外，Lie 还取得了哪些成就呢？这也许并不那么广为人知了。微分几何学家陈省身在 1992 年写道：“即便不提 Lie 群，Lie 也是一个伟大的数学家。”陈说这话是什么意思呢？我们将在后文中介绍 Lie 的一些主要贡献。

本文的目标是，通过追踪我所读过的关于 Lie 及其工作的文献，给出 Lie 的数学生涯之一瞥。因此，本文篇幅简短并且仅仅强调其数学与生活的少数方面。对其生活（而非数学）的详尽叙述，可见其完整的长篇传记 [27]。

我们还详细描述了 Lie 与 Klein 之间的不幸冲突，并给出了 Lie 在其关于变换群的书的第三卷前言中的著名段落，它常常被人不交代背景地引用。我们还提到了 Engel 和 Lie 卓有成效的合作以及 Lie 的论文集的出版。

对 Lie 及其影响的一般评论

众所周知，Lie 的主要工作是借助连续变换群的概念把几何、力学、偏微分方程等数学领域整合在一起。也许不那么广为人知的是，Lie 的论文集共有 7 卷，合起来约 5600 页。(当然我们要知道，其中有相当一部分篇幅是编辑的注释文字。即便如此，Lie 的成果仍然是丰硕的。) 要知道，Lie 的数学生涯从 26 岁才开始，而他在 57 岁就过世了。除了许多论文，他还写了几本书，一共也有几千页。据 Lie 说，他的想法中仅有一部分写了下来。Lie 在其自传中写道 [9]：

我的生活在我看来是完全不可理解的。年轻时我并不知道自己有原创的能力，等到 26 岁时，我突然意识到我能创造。我读进一点东西，就能产生新的想法。在 1867-1874 年间，我脑子里涌出了许多想法，但后来绝大部分未能成形。

特别吸引我的是变换群理论及其对微分方程的巨大重要性。但在这个领域，我发表自己成果的速度太慢了。我无法恰当地予以组织，而且总是害怕犯错。不是那些无关紧要的小错误······非也，我害怕的是那些根本上的错误。我很高兴，到目前为止，我的群论还没有出现任何根本上的错误。

Lie 是一个高度原创、能力极强的数学家。但让 Lie 群（或变换群）的思想被他人认可是需要时间的。他在 19 世纪 70 年代的一封信中写道 [26]：

要是我知道如何让数学家对变换群及其对微分方程的应用感兴趣该多好，我确实需要大家相信这件事，这些理论将来将被视为根本性的理论。但我想现在就造成这样的印象，因为这样一来我就会更加努力地工作。

1890 年，Lie 充满自信地写道，他相信他的工作将会经受住时间的考验，并且在数学的世界中得到越来越多的重视。

当 Lie 于 1886 年在莱比锡担任几何教授时，Eduard Study 还只是那里的一名讲师。1924 年，成熟的 Eduard Study 如下概括 Lie [26]：

作为以自我为引导者的人，Sophus Lie 有很多不足之处，但他也是历史上最出色的数学家之一。他富有一些并不常见而且越来越罕见的品质：有创造性的想象力。后人将比我们这一代人更好地理解他的远见卓识，我们这代人只能理解他的卓越才智。然而，他最可贵的品质是广阔的视野，这在今天已经很难看到了。然而，后人将会理解变换群理论的重要性并确保这一宏大工作所应得的科学地位。

Lie 所研究的是无穷小 Lie 群，或者说本质上是 Lie 代数。考虑到 H. Weyl 和 E. Cartan 在 Lie 群整体理论上的工作开始于 20 世纪 20 年代中期，此后 Lie 群才成为现代（或当代）数学中最基础最重要的对象，Study 的上述评价一定令人非常惊讶。对 Lie 群的历史发展特别是侧重于 Lie, Killing, E.Cartan 和 Weyl 的工作的一个比较详细的介绍，可见著作 [14]。

Lie 过世两个月以后，他的一个传记 [12] 出现在《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly) 上。作者是活跃的数学教育家、得克萨斯大学奥斯汀分校的数学家 George Bruce Halsted，他曾教过像 R.L. Moore 和 L.E. Dickson 这样的著名数学家。一百年以后再读这篇传记，他那强有力的断言听起来也许有点惊人但比从前更加公正: “世界上最伟大的数学家 Sophus Lie 去世了······他的工作戛然而止，但他的影响和声望将持续扩大。”

也许对 Lie 的一个更准确的评价是 Engel 在 1899 年对 Lie 的纪念演说 [9] 给出的：

如果衡量数学家的标准是发现的能力，那么 Sophus Lie 一定位列历代最重要的数学家之林。只有极少数人像他那样开创了数学研究的如此浩瀚的领域和如此丰富和广泛应用的方法······除了发现的能力，Lie 的另一项突出才能是深刻的洞察力，Lie 是一个真正有非凡天赋的数学家······他的能力是基于攻克那些重要但可以解决的问题，常有的事情是，他能够解决令其他杰出数学家一筹莫展的问题。

在此意义下，Lie 是数学界的巨人，他对数学做出了深刻而原创的贡献，他的有名与其他事情无关。（有不少数学家的有名还与各种数学之外的逸闻有关。）巧合的是，从体格上说，他也是一个巨人。关于 Lie 有一些生动描述，例如，可见 E. Cartan [1]，Engel [27] 和他在莱比锡大学的物理学同事 Ostwald [27]，也见 [27]。对巨人与科学家之间关系的有趣讨论，可见 [11] 和 [22]。

未完待续

02 | Lie 的早期学术生涯概述

03 | 成熟的 Lie 及其与 Engel 的合作

04 | Lie 在精神崩溃前的最后一个重要结果

05 | Lie 的主要工作概览

06 | Lie 理论中 Lie 的三个基本定理

07 | 与 Klein 的关系之第一阶段：富有成果的合作

08 | Klein 的关系之第二阶段：冲突，包括那篇著名的序言与

09 | 与其他人的关系

10 | Lie 的论文集：编辑、评论和出版

参考文献

[1] M. A. Akivis, B. A. Rosenfeld, Elie Cartan (1869-1951). Translated from the Russian manuscript by V. V. Goldberg. Translations of Mathematical Monographs, 123. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993.

[9] B. Fritzsche, Sophus Lie: a sketch of his life and work. J. Lie Theory 9 (1999), no. 1, 1-38.

[11] J. Gribbin, The Scientists: A History of Science Told Through the Lives of Its Greatest Inventors, Random House Trade Paperbacks, 2004.

[12] G. Halsted, Sophus Lie. Amer. Math. Monthly 6 (1899), no. 4, 97-101.

[14] T. Hawkins, Emergence of the theory of Lie groups. An essay in the history of mathematics 1869-1926. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag, New York, 2000.

[17] L. Ji, A summary of topics related to group actions, preprint, 2013, to appear in Handbook of group actions (Vol.1), Higher Education Press, 2015.

[20] G. Kowalewski, Bestand und Wandel. Meine Lebenserinnerungen zugleich ein Beitrag zur neueren Geschichte der Mathematik. Verlag Oldenbourg, München 1950.

[22] R. Merton, On the Shoulders of Giants: A Shandean Postscript, University of Chicago Press, 1993.

[25] D. Rowe, Three letters from Sophus Lie to Felix Klein on Parisian mathematics during the early 1880s. Translated from the German by the author. Math. Intelligencer 7 (1985), no. 3, 74-77.

[26] E. Strom, Sophus Lie. The Sophus Lie Memorial Conference (Oslo, 1992), Scand. Univ. Press, Oslo, 1994.

[27] A. Stubhaug, The mathematician Sophus Lie. It was the audacity of my thinking. Translated from the 2000 Norwegian original by Richard H. Daly. Springer-Verlag, Berlin, 2002.

霍金与黑洞探索

作者：丘成桐等主编

书号：9787040507133

定价：29.00 元

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