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高中数学：写出曲线的极坐标方程

趣味数学题  · 公众号  ·  · 2024-06-06 22:49

正文

【题目】如图所示，在直角坐标系 中，曲线 由中心在原点，焦点在 轴上的半椭圆和以原点为圆心，半径为2的半圆构成，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线 的极坐标方程；
（2）已知射线 与曲线 交于点 ，点 为曲线 上的动点，求 面积的最大值.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）分别写出曲线 的上、下两半部分的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；
（2）把射线 代入曲线 的极坐标方程，求得点 的极经，然后写出 的面积，求得其最大值即可.
（1）由题设可知，曲线 上半部分的直角坐标方程为 ，
所以，曲线 上半部分的极坐标方程为
曲线 下半部分的直角坐标方程为 ，
所以，曲线 下半部分的极坐标方程为 ，
故曲线 的极坐标方程为 ， .
（2）由题设，将 代入曲线 的极坐标方程可得：






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