绘制一张地图，至少需要用几种颜色才能区分不同区域？

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2024-09-13 13:01

正文

1852年，毕业于英国伦敦大学并从事地图着色工作的佛朗西斯·格里斯，发现了一个奇怪的现象：无论多么复杂的地图，只要用4种颜色，就可以区分有公共边界的国家和地区。

佛朗西斯觉得这中间一定有着什么奥妙，于是写信向其胞兄佛德雷克询问。佛德雷克对数学造诣颇深，但绞尽脑汁依然不得要领，只好求教于自己的老师，著名的英国数学家奥古斯都·德·摩根（Augustus DeMorgan，1806—1871）。

摩根教授怀着浓厚的兴趣，对此苦苦思索了几个昼夜，觉得无法判定佛德雷克所提的问题是对还是错。于是便写信给挚友，著名的数学家威廉·哈密尔顿（WilliamHamilton，1805—1865）探讨。哈密尔顿才华横溢，当时以发现“四元数”（一种在复数基础上扩展的新数）而饮誉欧洲。

摩根在信中希望哈密尔顿要么能证明“如果一张地图，图上任意分成许多部分，要求有共同边界的两部分涂不同颜色，那么只要4种颜色就够了”，要么构造出一个需要5种或更多种颜色的图来。

然而，智慧超人的哈密尔顿两者都没能做到。他耗费了整整13年心血，终于一筹莫展，抱恨逝去！

哈密尔顿去世后，又过了13年，一位颇有名望的英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley，1821—1895），在一次数学年会上把这个问题归纳为“四色猜想”。并于次年，即1879年，在英国皇家地理会刊的创刊号上，公开征求对“四色猜想”的解答。从此，“四色问题”不胫而走，成为街谈巷议的热门话题。

但上述状态并没有持续很久。在征解消息发出的同年，一位半路出家的数学家肯普，发表了一个关于四色定理的证明。这使曾经出现的一时轰动很快平息下来。人们普遍以为“四色猜想”已经成为历史。不料过了11年，即1890年，一个名叫赫伍德的青年，指出了肯普在证明中的错误。从而使这一沉熄了10年之久的问题，又激发了热议。与此同时，赫伍德匠心独运，利用肯普提供的方法，成功地证明了用5种颜色能够区分地图上相邻的国家。这算是在向“四色猜想”进军中第一个重大的突破！

赫伍德关于“五色定理”的证明其实并不难。首先，他对问题加以简化：

即把下图(a)上的每个顶点，换成围绕顶点的一个小区域。很明显，如果图(b)能够用5种颜色染色，那么图(a)也一定能够用5种颜色染色。所以今后我们就只讨论顶点是3个国家界点的地图。

现在转到证明本身。设f₂是边界只有两个顶点的国家数，f₃是边界有3个顶点的国家数，……显然，国家总数目

f=f₂+f₃+f₄+…

由于f₂这类国家有两个顶点，因而有两条边界，从而这类国家共有2f₂条边界。同理f₃类国家共有3f₃条边界。如此等等。

又由于每条边界都连接着两个国家。从而，边界总数目e满足：

2e=2f₂+3f₃+4f₄+…

对于顶点总数目v，同理有

3v=2f₂+3f₃+4f₄+…

由上两式得：3v=2e

根据欧拉定理知道：

v+f=e+2

消去e可得：6f=3v+12

即 6(2f₂+3f₃+4f₄+…)=(2f₂+3f₃+4f₄+…)+12

化简为：4f₂+3f₃+2f₄+f₅=12+f₇+2f₈+…

由于上式右端不小于12，因而左端必有一项大于0。

这样，赫伍德便得到了一个很重要的结论：“每张交点有3个国家相遇的地图，至少有1个国家边界数不多于5。”

接下去赫伍德用了数学归纳法：

证明：当国家数f=2时命题显然成立。

假令f≤k时命题成立。即对所有交点有3个国家相遇，且国家数不多于k的地图，可用5种颜色染色。

则当f=k+1时，根据前面讲的，这样的地图必有一个边数不多于5的国家。不妨令A就是这样的国家吧！

很明显，与国家A相邻的国家和区域，不外乎3种情况（如下图所示）：

(a)是有一个国家与A有两条边界，(b)是与A相邻的两个国家，本身有共同的边界；(c)是最常见的，不存在环形的情况。不难理解，无论上面3种情形的哪一种，在A的邻国中，总存在两个不相邻接的国家，如同图中的A₁与A₃。

现在去掉A与A₁、A₃的边界，则新图有k-1个国家，因而这样的图能用5种颜色染色。

设此时(A+A₁+A₃)染甲色;A₂，A₄，A₅分别染乙、丙、丁色。添上两条边界，变回原图，再让A染上第五种颜色。于是，原图已被5种颜色染色。

这就是说，命题对于f=k+1也成立。

综合上述，根据归纳假设，即针对所有交点有3个国家相遇的地图，只要用5种颜色染色就足够了！

赫伍德就这样证明了五色定理。

正因为五色定理的证明不很难，所以与对待费马猜想及哥德巴赫猜想态度不同，有不少数学家小看了四色猜想。相对论的创始人，伟大物理学家爱因斯坦的数学导师赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）教授，就是其中最为典型的一个。他认为四色猜想之所以没有解决，是因为世界上第一流的数学家还没有空去研究它。

有一次，闵可夫斯基教授给学生上课，他偶然间提到这个问题，随之即兴推演，似乎成竹在胸，写了满满一个黑板，但命题仍未得证。第二次上课，他又继续推演，结果仍旧是满怀信心进教室，垂头丧气下讲台。如此这般折腾了几个星期之后，教授终于精疲力竭。一天，他走进教室，疲惫地注视着依旧挂着“证明”的黑板。此时适逢雷电交加，他终于醒悟，并愧疚地承认：“上帝在责备我，四色问题我无能为力！”这以后，全世界数学家都掂出了“四色猜想”的沉重分量。

人类智慧面对着又一个世界难题的挑战。在正面失利之后，数学家们决定从侧面进军！

1922年，有人证明了当国家数f≤25时四色猜想成立；1938年，国家数f推进到32；1969年又推进到45。47个春秋，仅仅使国家数推进了20。主要困难是构形的可能性太多，需要做200亿次的逻辑判定，这远不是一个人的力量所能做到的！

就在这时，科学的地平线上出现了一道曙光！电子计算机的运用，使四色猜想的证实有了希望。然而在20世纪70年代初，即使是电子计算机，也要连续算上11年多！这是何等艰难的目标，但人类并没有放弃这种机会，科学家们通力合作，一面不断改进方法减少判断次数，一面继续提高计算机的计算速度，使问题的解决终于有了眉目。

1976年9月，美国伊利诺伊大学的数学家阿沛尔和哈肯教授，运用每秒计算400万次的电子计算机，在运转1200小时后，终于成功地完成了“四色定理”的证明工作。电波传来，寰宇震动！数学史上的三大难题之一，在人与计算机的“合作”之下，终于被征服了。

为纪念这一历史性的时刻与史诗般的功绩，在宣布“四色定理”得证的当天，伊利诺伊大学邮局加盖了以下邮戳：“Four colors suffice！”（4种颜色足够了！）

来源：原点阅读