中国科技大学知名凝聚态理论学者张振宇教授，不久前曾问我能否点评几句最近吵得热火的“交变磁性”。这里，交变磁性是物理名词
altermagnetism (alter + magnetism, ALM)
的中文译名，而也有学者称之为“交磁性”、“交错磁性”。张老师一直是笔者敬佩的学者，而笔者又远未达到作他物理对话人的水准，故而就老老实实回答说对所知很少，以避免他提出更多更深刻而笔者却一无所知的问题
^_^
。
很遗憾，逃得了一时，不可能逃一世。今天，这一逃避难以继续了。
Ising
得硬着头皮去学习这一概念，因为
《
npj QM
》
不久前刊发了一篇关于这一主题的观点文章
(perspective)
，更因为前些日子
《
Nature
》
同一期刊登了两篇相关研究论文、引起注目。
既然学习了，就加塞几段谬论吧！
一般人都认为，物理学是有关自然寰宇最上游之学问。它用简明扼要的数学和逻辑极强的图像，将人类周围咫尺处和远隔万里外的一切都覆盖了。物理人则通过自我修行，将数学和逻辑图像当成法宝，指点江山、挥斥方遒。慢慢地，我们自己都相信物理学已经将什么现象都覆盖了、将什么问题都解决了，最多只剩下几朵不听话的乌云。
这番豪言壮语当然是对的，但也未必都对。说对，乃是相对其他自然科学学科而言；说不对，则是反映了物理学发展的现实。
Ising
乃愚钝之辈，亦以为也对也不对。凝聚态物理最棒的表达是物质的基态，在此基础上再用线性响应表达低能激发态响应。当然，一类物质的基态，其唯一性不是容易确定或者否定的，即便系统的热力学相互作用条件被完全确定下来。有足够多的实例告诉我们，同一热力学条件下，可以有多个基态。如果是一个多自由度系统，则对应不同的相互作用形式，体系的基态内涵和数目也可以不同。在
Ising
看来，对体系基态多少及各自物理内涵的理解和表达，物理学似乎显得较为谨慎而不得不左支右绌，能够发挥威力的余地也不大，包括预测的威力和刻画基态性质的威力。我们经常为了得到一个严格解而欢呼雀跃，显示问题的复杂性，更别说从基态出发去追踪激发态响应了。从这个意义上，物理学的目标，虽然是追求普适世界的一般规律，但实际上却远未能做到横扫一切，还差得太远了。这一过程，用一个外行的比喻描述：好像一台物理的机车，前行中一站一站挂上新的车厢，且行且珍惜、驰行致远。虽然这一进程的确打破了时间反演对称，但前路漫漫，还有许多许多中小车站在建、拟建及建与不建！
姑且以讨论凝聚态物理中磁性这一列车作为例子展开本文，而磁性刚好就是与时间反演对称破缺相联系的。人类探索磁性虽久远，但对磁性起源的理解也还是在量子力学之后。物理人知道，原子外层轨道上的电子相互之间交换作用，会在晶体中形成不同的自旋排列，即自旋序。最为人们所知的当然是铁磁和反铁磁两大类，乃磁性列车的两个大站。围绕这两大车站的川流不息，可以大致反映在图
1
所示的蓝图中。
图
1.
磁学和自旋电子学的物理效应和应用蓝图。
From A. Hirohata et al, Review on spintronics: Principles and device applications, JMMM 509, 166711 (2020), https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0304885320302353
。
第一站：铁磁性
铁磁态以时间反演对称破缺为基础，形成了具有非零磁矩的长程自旋序。这一磁序，满足空间反演对称操作，可形成两态简并的磁畴。铁磁态以其独特的非零磁矩和由此产生的杂散场，千百年来展现了无数的应用场景。特别是近代被用于“磁读磁写”的磁畴存储和现代的“电读磁写”磁电阻
/
磁隧道结存储，乃物理人对人类文明的巨大贡献。如果看铁磁态的前沿发展，大概有两大类物理效应受到了关注。
(1)
围绕磁矩本身的应用发展，包括永磁软磁、自旋波、磁涡旋、实空间自旋扑结构等。这些从铁磁态演变出来的课题与拓展，包括铁磁作用占主导地位的非共线自旋结构，如自旋波、铁磁涡旋、铁磁斯格明子等，在磁探测、磁驱动、磁感应领域的应用，让这一车站长久繁荣兴隆、生生不息。
(2)
围绕铁磁主导的输运和量子态探索，包括输运磁电阻、反常
(
量子
)
霍尔效应、铁磁拓扑量子态、磁光效应
(
非互易法拉第旋光、磁光克尔
MOKE
等
)
、自旋转移矩、自旋轨道矩等自旋电子学当前的主要研究课题。还有磁卡、磁弹等与铁磁畴相关的拓展效应，不一而足。这些主题词的每一个，都可而且将会成为一个分支方向，长久而弥新。
当然，基于铁磁性应用，在器件高度集成和更快更强时，就出现了难以克服的问题，正所谓“成也萧何败也萧何”。对磁矩本身的利用，带来杂散场串扰问题，在器件尺寸变小和集成度飙升的进程中变得难以调和。更进一步，铁磁性因为磁畴翻转的巨大“惯性”，限制了其操控速率，特征时间难以超过皮秒。这两大问题，最终限制了铁磁性应用的进程。
第二站：反铁磁性
与铁磁性形成对照的是，反铁磁态虽然与铁磁态地位相若，都是磁性体系的基态，但在磁学及其应用发展史上被青睐的程度就差远了。盖是因为反铁磁缺乏宏观磁矩而难以被探测和应用，毕竟磁性应用最重要的序参量就是磁矩及其带来的杂散磁力线。由于宏观上反铁磁态不必打破时间反演对称，因此很多与时间反演对称破缺相关的物理，在反铁磁这里都买不到票上车。大概亦源于此，对反铁磁的理解深度也差一些，导致实际应用中对反铁磁态本身所具有的优势特点有所忽视。
参照图
1
，与铁磁态类似，也可分两个层面表达反铁磁态的前沿问题：
(1)
在基于非零磁矩的所有应用上，反铁磁因为磁矩严格为零而水土不服、完败于铁磁态。即便是经典的磁弹、磁卡等效应，反铁磁态也基本没有被广泛认可的业绩，除非使用很大的外磁场驱动。不过，反铁磁因为较强的交换耦合，其磁畴翻转很快，速率可达
THz
量级，特征时间可快至亚皮秒。这一点正在被尝试付诸自旋电子学实际应用。
(2)
在磁输运和量子效应方面，反铁磁一直亦未能有所作为，直到
GMR
和
TMR
电读磁写的磁存储结构出现。其中，反铁磁作为自旋锁定层使用，给了其摆脱“纨绔子弟”身份的机会。在磁电阻、霍尔效应、磁光等磁相关输运效应上，反铁磁态原本也了无建树，直到最近在磁性拓扑半金属等新物理上有令人惊喜的表现而逐渐受到关注。据说，在有些反铁磁体系中
(
本文将有所涉及
)
，有观测到一般为铁磁性所拥有的反常霍尔效应和大贝里曲率等现象，令人疑惑：这些反常效应，到底是高度对称的反铁磁态本身所致？亦或是其它未被认知的物理所致？也许到了要澄清的时候了。例如，本文要讨论的交变磁性，就与反铁磁有一样的实空间磁结构，但其量子输运行为就与铁磁性类似！
当然，比起铁磁态的单一性
(
粗略而言
)
，反铁磁态还面临结构多样性问题。先看共线反铁磁，教科书一般都会列举
A
、
C
、
E
、
G
等不同构型。每一种构型，却也可能展示很不同的电子结构和输运行为，限于篇幅在此不论。再看非共线反铁磁态，所包含的种类和组态就更多了，所谓数不胜数，因为非共线自旋夹角可以是一个无理数。诸如螺旋
spiral
、涡旋
vortex
、手性
chiral
、圆锥
conical
等各种三维和二维空间构型，都是最近才受到关注的，限于篇幅在此也不做讨论。
反铁磁态受到更多关注，是在传统量子材料那里，其中反铁磁结构也许很重要、但不是物理的主题。那里的主题，反而是非常规超导、强关联、强阻挫、多铁性、量子自旋液体、
Kitaev
物理等。反铁磁性本身因为
PT
反演对称性
(Parity - Time symmetry)
等限制，没有铁磁性那样丰富的量子效应。
有意思的是，正因为反铁磁零磁矩和超短翻转时间的特点，物理人提出了反铁磁自旋电子学的意象，试图构建一个新的器件架构：即便没有非零磁矩可控追踪，但通过探测反铁磁畴翻转带来的磁电阻等效应，来实现信息存储读写，也是可行的。这一概念，最开始由捷克科学院物理研究所的量子材料和自旋电子学知名学者
Tomas Jungwirth
教授领导的团队提出，并在后来得到实验验证。物理人的确在后续的一系列实验中“观测”到对应于反铁磁
Neel
矢量
L
发生
90
°翻转时磁电阻的变化，虽然这一变化可能很小。自此，反铁磁自旋电子学申请建设自己的车站，接发磁性列车。而与自旋
-
轨道耦合等高阶耦合效应相联系的各种微观机制，也陆续提出以解释观测结果。
当然，读者都知道，米国约翰霍普金斯大学的磁学名家钱嘉陵先生，对此发起过诘问：观测结果可能来自于测量引入的焦耳热效应！虽然到今天，相关疑惑未能充分厘清，但反铁磁自旋电子学这一磁学小车站旅客不那么拥挤、磁电阻效应太小，也是事实。仅从初级物理效应角度看，仅从反铁磁能带和磁点群对称性角度去看，如果反铁磁态实空间中磁矩为零、而
k
空间中又没有自旋相关的能带劈裂
(spin - splitting)
，实验能观测到的效应很小，大概也不无道理。
Ising
小人之心度君子之腹，以为
Tomas Jungwirth
教授他们应该也觉察到此中优劣，故而又发力寻找破解之道，直到本文要渲染的“交变磁性”出现。厉害的是，虽然有四个不同团队(还有其他团队)各自独立发布理论预言这一物理，其中就有
Tomas Jungwirth
他们。随后，这一团队也参与了与瑞士那个著名的
Paul Scherrer Institut
实验团队合作，于不久前在
Nature
上发布了他们的实验证实
[J. Krempaský et al, Altermagnetic lifting of Kramers' spin degeneracy, Nature 626, 517 - 522 (2024), https://www.nature.com/articles/s41586-023-06907-7]
！事实上，就在同一期，
Nature
也刊登了我国南方科技大学刘畅
/
刘奇航教授团队发表的、针对同一主题、但行文却有些不同的文章
[Yu-Peng Zhu et al, Observation of plaid-like spin splitting in a noncoplanar antiferromagnet, Nature 626, 523 - 528 (2024), https://www.nature.com/articles/s41586-024-07023-w]
。
回到主题，可以看到，虽然铁磁性和反铁磁性各有千秋，却也各有软肋。按照
Ising
喜欢的风格，“混合中庸”是第一招：两端不行，那就取中间，也就是亚铁磁性。还真是巧合，笔者的长期合作者、华南师范大学秦明辉教授最近在这一问题上就有所涉及
[
例如，
Y. Liu et al, Spin-wave-driven skyrmion dynamics in ferrimagnets, PRB 106, 064424 (2022), https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.106.064424]
，使得
Ising
稍微了解一点相关问题的物理。
第三站：亚铁磁性
可能是因为铁磁性和反铁磁性两个大站相距太远，需要在两者中间再增设一个小车站。这个车站，就是亚铁磁性。一般读者对亚铁磁都有所了解，无非是将反铁磁的两套自旋结构
(
磁矩和构型
)
相同而取向相反“铁磁”亚晶格，换成两套磁矩大小不同且取向相反“铁磁”亚晶格。由此，自旋排布上类似反铁磁，但宏观上展现非零磁矩，与铁磁相若。从原理上说，亚铁磁获得的好处是自旋翻转依然可以足够快，付出的代价是杂散场串扰问题重新开始扰乱“江湖”。
从基础视角去看，亚铁磁并未引入崭新的物理图像，更多是一种兼顾铁磁和反铁磁的中庸之举。经过多年与自旋电子学相关的探索，所得结果没有太多“出人意表”，在此也不再浪费读者时间。不过，将磁学三个车站的构造与功能再一次综合起来梳理，倒是可以对有些许归纳：
(1)
实空间中，看磁矩相关的效应。结构上，铁磁有磁矩、磁畴，还有铁磁性的畴壁、涡旋、拓扑等局域结构；功能上，铁磁有回线、磁弹、磁卡等效应，但无磁电效应
(
无需一一穷举
)
。反铁磁无磁矩、无显性磁畴、无回线，无磁弹磁卡效应，可能有磁电效应等实空间的效应或功能。亚铁磁在自旋点阵构型上与反铁磁类似，但在实空间功能上与铁磁类似。
(2)
在
k
空间中，看能带结构。由于众所周知的
spin - splitting
效应，在自旋相关的输运行为上，铁磁有磁电阻、反常霍尔、自旋矩、自旋轨道矩、自旋霍尔等效应。反铁磁态，看起来似乎不存在这些效应，因为其能带满足
PT
对称性而展现
k
空间的简并特征
(
如下会展示这一看法可能有问题
)
。亚铁磁态的能带结构比较复杂，体现出铁磁和反铁磁的混合态。
(3)
亚铁磁态再怎么在铁磁态和反铁磁态中调和，结果也难以避免好坏各占、参差不齐。关注亚铁磁，虽然有物理人退而求其次的无可奈何，但毕竟也是如鲠在喉的感觉。因此，亚铁磁自旋电子学，似乎没有得到足够重视。物理人更多的关注，依然是在反铁磁上。虽然亚铁磁作为一个小车站依然存在，但物理人在铁磁那个大站里上车下车，问题也不大！
这些关注，带来了物理人对这一问题更多思考。上文提及的四个理论小组似乎都得到了某种答案：如果存在一种磁性，与铁磁、反铁磁并行，它在实空间自旋结构上与反铁磁类似，但在
k
空间能带结构上则铁磁类似、在自旋相关输运和量子态上亦与铁磁类似，则物理人对铁磁的“无可奈何”和对反铁磁的“失望透顶”的情绪，就迎刃而解了！
God bless such a magnetism
！
这样的一种磁性，似乎已经到了，即文首提及的“交变磁性
altermagnetism
”，虽然也有质疑和不同看法。
又一站：交变磁性？
为了简单和科普考虑，这里只讨论共线磁结构，以避免非共线几何带来的过度复杂变化。
什么是“交变磁性”呢？如上所述，物理人作的美梦是这样的：在实空间，类似于反铁磁有两套自旋亚点阵
(A
和
B)
。它们不再像传统反铁磁那样对称性或载体
(
化学离子
)
都相同、且磁矩相互抵消，这里的
A
和
B
之点群对称性可以不同，或者干脆承载磁性的化学载体也不同
(
理论物理人可能对能否允许化学载体不同有异议
)
，但它们的磁矩可恰好抵消掉
(spin - compensated)
。在
k
空间，这两套亚点阵因为晶格对称性
(
或化学离子不同
)
而展现各自不同的能带结构。整体上，这一不同
,
等效于自旋劈裂
(spin - splitting)
，导致能带结构类似于铁磁态之结构。读者注意到，传统磁性中，自旋
-
轨道耦合
(
包括
DM
相互作用和
Rashba
劈裂
)
所导致的，不就是布里渊空间不同位置的能带差别么
(
劈裂
)
？
现在，有了实空间的
spin - compensated
，也有了
k
空间的
spin - splitting
。思想上万事俱备，只欠现实中有没有这样的物理实在东风了！当然，这样的思想，也不全是从天而降而毫无踪迹可寻的。事实上，
Neel
先生在考虑反铁磁和类似磁结构时，曾经基于晶体对称性注意到类似问题：一个自旋点阵，如果间隔
(
交错
)
自旋两两反向，形成两套相互嵌套的亚点阵，它们必定满足晶格平移对称性。即便是其它的各种共线反铁磁结构，这种平移对称性亦存在，只是波矢可能不同而已。因为周期结构中薛定谔波动方程本身就是满足平移对称的，两套亚点阵的能带就会完全一样。也就是说，实空间中，这类反铁磁的净磁矩为零、
k
空间没有
spin - splitting
，就像根本没有磁性一般。
另一层面，经常读量子磁性文献的读者也知道：有不少反铁磁体，其晶胞单元包含两种或偶数种磁性离子，它们在空间中并不相互嵌套，但满足旋转、镜面、螺旋等对称操作。如果这些操作，满足空间反演对称
(spatial inversion)
，也就是嵌套反铁磁那里提及的
PT
对称，则
k
空间的能带结构依然不受影响。这样的反铁磁，还是“平庸无聊”的反铁磁，并不能达到“实空间
spin - compensated
、
k
空间
spin - splitting
”的目的。
果然，有物理人，包括前面提及的四个理论团队
(
包括我国半导体所骆军委教授有参与其中
)
，也应包括我国南方科技大学的刘畅
/
刘奇航、香港科大刘军伟等老师，将平移对称操作
(spatial translational)
和空间反演对称
(spatial inversion)
操作排除在外后，找到了一些可能性，可打破这
PT
对称性！打破这一对称性的显著后果之一，就是解除克拉默简并
(lifting the Kramers spin degeneracy)
，即解除相反传输方向的能级简并、且导致自旋纹理
(spin texture)
依赖的电子能带结构。
Ising
对其中理论细节不明觉厉，但这些反铁磁结构看起来是，在实空间磁矩完全抵消、类似传统反铁磁，但在
k
空间确出现了自旋相关的能带劈裂
(spin - splitting)
。例如，通过晶胞内的旋转对称操作
(C)
，
α - MnTe
中就存在布里渊区
K
点处的自旋劈裂。这一自旋劈裂，原本应该受
Kramers spin degeneracy
保护，但在
α - MnTe
中被不满足
PT
对称性的反铁磁“交变磁性”打破。注意到，我国学者刘畅、刘奇航他们的研究对象是
MnTe
2
！
由此，所谓“交变磁性”看起来得到了理论预言和实验实现的双重证据支持，虽然未必算尘埃落定，但也基本属实了。图
2(A)
所示为量子凝聚态理论知名学者、米国乔治城大学的
Igor Mazin
教授示意性画出的三种磁性的能带结构，清晰而简洁地说明了“交变磁性”的价值和意义。而图
2(B)
则是
Tomas Jungwirth
和
Libor Smejkal
他们画出的实空间和
k
空间的结构特征。
图
2.
铁磁性
(ferromagnetism)
、反铁磁性
(antiferromagnetism)
和交变磁性
(altermagnetism)
对应的自旋结构与能带结构简化图。
(A)
左下：铁磁性有非零磁矩，打破了
T
对称性，虽然
P
对称性依旧。此时，自旋相关的能带劈裂遍布整个
k
空间，导致铁磁性相关的量子输运特征。图中展示了红色和蓝色色散曲线及费米面形态。
(A)
右下：反铁磁性磁矩为零，
PT
对称性得到保持。此时，自旋相关的能带简并遍布整个
k
空间，诸如反常霍尔、磁电阻、磁光和拓扑结构等效应不存在或很弱。图中黑线同样表示能带色散和费米面。
(A)
上方：交变磁性磁矩为零，但
PT
对称性被打破。此时，自旋相关的能带在
K
点处也出现劈裂，能带劈裂遍布整个
k
空间，导致铁磁性相关的量子输运特征。图中展示了红色和蓝色色散曲线及费米面形态，可见费米面是
k
空间各向异性的，意味着类似
Neel
矢量翻转可以导致量子输运变化。
(B) Tomas Jungwirth
和
Libor Smejkal
他们对类似物理所给出的表达。其中对实空间和
k
空间的物理展示得更清楚。
(A) from Igor Mazin, Physics 17 (4), Jan. 8, 2024, https://physics.aps.org/articles/v17/4
。
(B) from https://www.sciencealert.com/its-official-mysterious-new-form-of-magnetism-finally-confirmed
。
诚然，这里对磁性的讨论，都是基于初级相互作用，不涉及自旋
-
轨道耦合和高阶自旋耦合机制。如果考虑这些高阶作用，物理人会有更多富有挑战的事情可做。有事可做，乃是物理人最高兴的日子。另一方面，回头去看早前有关反铁磁自旋电子学的实验测量，特别是关于磁电阻、霍尔效应、贝里曲率等实验测量的结果，物理人也许可以检查一下是否有“交变磁性”的贡献。
毕竟，在此之前，很多自旋电子学学者可能并不知道还有这一“新”磁性
。
现在可以部分回答张振宇老师布置的作业了：在理论凝聚态学者、特别是玩转了群论和对称性的理论物理人眼里，这个所谓“交变磁性”的物理其实是早就耳熟能详的知识。例如，刘畅
/
刘奇航老师他们就只强调
Kramers spin degeneracy
的变化。他们已经拽住了主要物理，看起来未必很在意这一新名词。不过，对实验凝聚态和自旋电子学人而言，这一从反铁磁态分离出来的物理，有其特定的价值：实空间与
k
空间可区分、量子输运效应可彰显、反铁磁自旋电子学可落地于物理坚实的“交变磁性电子学”上。在这一视角下，“交变磁性”这一名词可能还是有意义的。
Ising
知道，这样的回答，对理论凝聚态物理人而言等于没有回答
^_^
。
交变磁性的对称性分类
很显然，有了这个新概念或者新名词铺垫，物理人可以将这一概念背后的物理做得更好。其中最重要的问题是：满足哪些对称性的反铁磁可能具有“交变磁性”？更进一步，可将共线磁性等几何条件去掉，将所有共线、非共线“交变磁性”体系全部梳理出来，将是很有意义和价值的。需要特别指出，量子磁性更多涉及的是非共线磁体，正如我们在诸如阻挫、量子自旋液体、
Kitaev
物理等经常看到的。解决这一问题，最好是基于群论对称性而展开。来自米国
Rutgers University
物理系的知名量子材料学者
Sang - Wook Cheong
教授，与其团队骨干
Fei-Ting Huang
博士一起，基于群论和对称性分析，成功地将“交变磁性”的概念拓展至多自旋、具有各种局部晶体结构变化以及非共线态的情况。
根据磁空间点群和对称规则，铁磁和反铁磁空间点群可被明确定义。以磁矩
(
M
)
指向
z
轴为例。如果允许
z
方向自由旋转，铁磁空间点群不具备如下特定的对称性：
{I
Ä
T, T, M
x
, M
y
, R
x
, R
y
, C
3x
, C
3y
}
。
在
122
个磁空间点群中，有
31
个是铁磁空间点群，包括：
1, -1, 2, 2',
m
,
m
', 2/
m
, 2'/
m
', 2'2'2,
m
'
m
'
m
,
m
'
m
'2,
m
'
m
2', 4, -4, 4/
m
, 42'2', 4
m
'
m
', -42'
m
', 4/
mm
'
m
', 3, -3, 32', 3
m
', -3
m
', 6, -6, 6/
m
, 62'2', 6
m
'
m
', -6
m
'2', 6/
mm
'
m
'
。
这些铁磁空间点群能够展现独特的物理性质，如前所列。
所有具有非零磁矩的铁磁
(
弱铁磁
)
、亚铁磁等，都属于这
31
个铁磁空间点群之一。为避免混淆，一些体系可能表现出反铁磁排列的外观，但只要对称性仍属于这
