如果π不是分数，如何计算它呢?

南北朝时祖冲之算出圆周率 π 的近似值在3.1415926和3.1415927之间，并提出圆周率的约率为22/7。但是 π 的近似值22/7并不精确，甚至可以说很不精确，但能用如此简单的分数来近似表示，这已经很不错了。由于我们知道π无法确切表示成一个分数，所以如何将它计算到非常高的精度其实并不是那么显而易见。数学家使用了很多巧妙的公式来表示π的精确值，他们都是精确的，并且都用到了一些不断进行、直到永远的过程，而只要在“永远”之前的某一步停下，我们便能得到一个π的近似值。

事实上，数学给我们提供的选择多不胜收，因为π的魅力之一正在于它会出现在大量各式各样的美丽公式中，他们常常是无穷级数、无穷乘积或无穷分数 (用省略号…表示）——这应该毫不奇怪，毕竟π没有简单的有限表达式，除非你使用微积分，下面是几个精彩的例子。

首先是π最早的一批表达式之一，由弗朗索瓦·韦达在1593年发现。他与2 ⁿ 边形有关：

接下来一个是约翰 · 沃利斯在1655年发现的：

在约1675年，詹姆斯 · 格雷果里和戈特弗里德 · 莱布尼兹都发现了：

它收敛的太慢，对计算π没有什么帮助；也就是说，想借此得到一个很好的近似值，需要用到太多项。不过，一切与此密切相关的级数在18和19世纪被人们用来计算π的前几百位小数。在17世纪，布龙克尔勋爵发现了一个无穷“连分数”：

欧拉也发现了如下一堆公式：

(顺便一提，似乎没有公式基于

这很让人困扰，至今没有得到解释。特别是，这个和不是任何简单有理数乘以π ³ 。我们已经知道这个序列的和是无理数。）

对于其他公式，我们将使用求和符号。这样我们可以将公式以更简洁的形式写出，比如前面有关π ² /6的无穷级数可改写成:

让我将各部分说明一下。求和符号∑是希腊字母西格玛的大写，表示将它右边的所有数，这里是1/n ² ，加在一起。∑下面的“n=1”表示我们从n=1开始加起，而根据惯例，n是依次增加的正整数。∑上方的∞表示“无穷”，告诉我们一直加这些数，直到永远。所以它与前面看到的无穷级数是一回事，只是换了个说法：对于n=1，2，3，…，将项1/n ² 相加。

在约1985年，乔纳森 · 博温和彼得 · 博温兄弟发现了以下级数：

他收敛得极快。1997年，戴维 · 贝利、彼得 · 博温和西蒙 · 布卢夫，发现了一个前所未见的公式：

它有什么特别之处？它允许我们计算π的具体某一位，而无需先计算前面的那些位，唯一美中不足的是，他给出的不是π的十进制表示，而是16进制表示，（由此进而可得到相应的八进制十进制二进制表示）。1998年，法布里斯 · 贝拉尔利用改进后的公式计算出π的十六进制表示的第1000亿为9，在接下来的两年里，这一纪录被提高到了16进制表示的250万亿位（二进制表示的1000万亿位）。

截至本书写作时，π的十进制表示的记录是由金田康正及其同事保持的，他们在2002年计算出了π的前12411亿位。

延伸阅读：

数学万花筒（修订版）： 没有在学校教授的数学

数学万花筒2：用数学思维新方法探究数学之美