自然常数e究竟为什么自然？

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2024-12-02 10:56

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摘要：本文将从常微分方程求解的视角，来分析自然常数 $e$ 在其中发挥的重要作用。一个值介于2和3之间的常数 $e$ ，为何能称为自然常数？由于它在一定意义上刻画了自然界中普遍存在的变化规律，我们要到常微分方程中揭开它的神秘面纱。

一、自然界中无处不在的 $e$

只要我们一搜罗，就不难发现在自然界的很多现象中都能看到自然常数 $e$ 的影子。似乎只要涉及生长、繁衍、演化等连续的运动与发展，自然数就会出现。

生物的繁殖，种群的增长

放射性原子的衰变

大自然中无处不在的等角螺线

飞蛾扑火的轨迹、向日葵籽的排列

鹦鹉螺的外壳切面

热带低气压的外观

漩涡星系的旋臂

……

具体以鹦鹉螺的外壳切面是一个等角螺线为例。在极坐标系下，等角螺线的方程是 $r=ae^{k\theta}$ ，其对应的微分方程是 $\frac{dr}{d\theta}=kr$ 。也就是说，螺线的半径随着角度的增大而增大，且增长率是与半径成正比例的。事实上，正如大自然中的很多生物一样，鹦鹉螺的体积越大，新增体积也就越大，所以需要按照等角螺线设计的外壳来容下它们的躯体。

类似地，理想环境下的种群数量变化也是如此，种群数量越大，种群的增长速度也就越快，种群数量的变化率是和当前种群数量 $y$ 相关的，可以简述为 $\frac{dy}{dt}=\lambda y$ 。

二、为什么 $e$ 这么“自然”

既然自然界中有很多的现象都符合上述微分方程所表示的变化规律，即某一个量的变化速度与它本身的值成比例。那么面对这样很简单的变量关系所对应的常微分方程，我们能否求解？假设此时我们并不知道 $\frac{dy}{dx}=y$ 的解，从初等函数中的指数函数 $y=a^x$ 出发，希望能找到满足微分方程 $\frac{dy}{dx}=y$ 的函数 $a^x$ 。根据导数的定义我们可以进行如下计算：

$(a^{\Delta x})'=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$ 要使得 $(a^x)'=a^x$ 则需要 $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$ 反推出希望
$a=\lim_{\Delta x\rightarrow0}(1+\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}}$ 而这就是我们现在关于自然常数 $e$ 的定义。所以自然常数 $e$ 就是这个天选之子，以它为底的指数函数 $e^x$ 巧妙地满足“导函数等于其本身”的性质。对应到现实世界中，就刻画了某个量的变化率与自身成比例的变化规律。

三、历史上关于 $e$ 的由来

最后，我们聊聊 $e$ 在历史上是怎么被发现的。据说在1683年，瑞士数学家雅各布·伯努利（1654-1705年）在研究复利时发现了一个有趣的现象。如果我们在银行存入1万元，年利率是100%，如果每半年结算一次，半年利率是50%。由此可得，第一种投资方法下获得本息2万元，而第二种投资方法下获得本息2.25万元。以此类推，如果利息结算周期越短，似乎收益就会越高。以每月结算一次，利率是 $1/12$ 为例，则收益将近2.61304万元。接着我们考虑极端情况，当结算周期无限缩短时，复利收益会是多少呢？用数学公式来看，就是下面这个极限式的值。（其中 $n$ 代表计息周期的次数， $1/n$ 是每个计息周期的利率） $\lim_{n\rightarrow0}(1+\frac{1}{n})^n$ 当时伯努利并没有计算出这个数的精确值，只知道它介于2和3之间。

而在1690年，莱布尼茨在给惠更斯的信中，首次提到了自然常数，不过他没有用

e

表示，而是用

b

表示的。 1727年欧拉（1707-1783年）开始用

e

来表示这个常数，而

e

自然常数e究竟为什么自然？

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