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天壤之别在拓扑

赛先生 · 公众号 · 科学 · 2017-02-16 07:35

正文

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数学的一项重要目标，就是得到一些对象在同构意义下的分类，一个重要的手段就是寻找同构不变量。

撰文

林开亮（首都师范大学数学博士，目前任教于西北农林科技大学理学院）

去年的诺贝尔物理学奖和化学奖都提到了拓扑学的绝妙应用，其后我不止一次被要求给数学圈外好奇的朋友普及一点拓扑学。可惜我一直没有找到合适的切入点，直到最近联想到从前在高数课堂上闹出的一个笑话，才打开了局面。下面让我先回顾一下这个笑话。

2014年10月9日，是我走上讲台（讲授微积分）整整一个月的日子。课后我在网络日志里发表了感言：

今天的内容是函数的凹凸性。当我提笔时，发现自己对凹、凸这两个字的笔顺完全拿捏不准……惭愧，连小学生都会的，我一个大学老师却手足无措。虽然敷衍过去了，但我没有做出一个好榜样……

记得我当时很囧，还在课堂上戏谑说，我怀疑很多出国留学的同学之所以不愿意回国找工作，就是因为害怕写“凹凸”这两个字。在朋友们的零星留言中，我看到了一位专攻代数几何的海归同学的评论：“我可以用两笔写完凹凸这两个字......”

当时我还陷在“凹凸”给我带来的挫败中，不觉得他的话有什么道理，今天才突然意识到，他是对的！从数学家（尤其是拓扑学家、图论专家）的眼光来看，凹、凸这两个字都是属于可以“一笔画”的。于是我们有了一个一般的问题：从拓扑学的眼光看，任意给定一个汉字，至少需要画几笔？为方便起见，我们称之为汉字的“拓扑笔画数”。

在介绍一般的结果之前，我们先来看几个例子。

凹、凸当然都是可以“一笔画”的，口也是，更简单的例子是一、乙、己、巳、几、弓、了、厂，稍微不那么明显的是中、串、日和曰。而二和已都需要两笔，也就是说，它们的“拓扑笔画数”都是2。目和田的“拓扑笔画数”也都是2。由此可以看出，一般说来，一个汉字的“拓扑笔画数”要比我们平常书写时的笔画数少。当然，也有完全一致的情况，比如在班级内公开选举投票时常用的正字，它的笔画数是5，“拓扑笔画数”还是5。

不限于汉字，我们也可以对字母和数字考察其“拓扑笔画数”。例如，你可以数一数字母B的“拓扑笔画数”（多少？），它跟数字8及其倾倒∞的“拓扑笔画数”是一样的！

更一般地，我们可以对一个网络（比如一个城市的公交路线网络），数出其“拓扑笔画数”（这对应着安排最少的公交路线以覆盖整个网络）。从数学的眼光来看，这是极有趣的问题。即便是回到汉字问题本身，也许崇尚简约的书法家也乐于知道一个汉字的“拓扑笔画数”是多少。

2007年成都市公交网络示意图

从数学的观点看，一个汉字可以视为一个图（graph）。一个图就是由若干个（通常是有限多个）顶点组成的集合，并且在这些顶点之间指定了一些相连关系（用连线示意）。因此，图只不过是带有结构（即表示了相连关系的边）的点集。

为了将一个汉字视为图，我们只需要将各个笔画的端点、拐点以及任意两个笔画的交叉点标记为顶点即可。在这个意义下，几乎每个汉字都是一个图，只有〇除外。

图这一数学术语是由英国数学家西尔维斯特（J. J. Sylvester）在1878年首次引入的。他当时考虑的是，将图的观念应用到化学中以描述分子的结构。比如，我们都知道，甲烷分子CH₄的图是一个正四面体，四个氢原子H位于正四面体的四个顶点，而碳原子C在中心，通过化学键与各个氢原子相连。

计算机科学中涉及的网络，乃至于普通的人际关系网络，也可以视为一种图。比如，也许你听说过所谓的“六度分割理论”，这其实就属于图论。可以想见，图论有诸多应用。

对图的研究形成了一门学问，即图论。而图论的研究，就是从确定一个图的“拓扑笔画数”问题开始的，那是瑞士大数学家欧拉1736年的工作。因此，欧拉（Euler）被公认为是图论的创始人，1736年可以称为“图论元年”。

欧拉所解决的图论问题，后来以“哥尼斯堡七桥问题”而著称于世。经过抽象以后，问题就是：下述网络可否“一笔画”；如果不能“一笔画”，其“拓扑笔画数”又是多少？（读者不妨先试一试。）

哥尼斯堡七座桥的图

在报告欧拉的美妙结果之前，我想着重解释一下，这个问题中的“拓扑”出现在哪里？其实拓扑一开头在我朋友的评论中就出现了。当他说“我可以用两笔写完凹、凸这两个字”时，实际上还隐含了一层意思，即凹与凸是“同构”（结构相同）的。

我们说两个汉字（更一般的，两个图）同构，是指在它们的顶点集之间存在一一对应，使得第一个汉字的各个顶点之间的相连关系在该对应下保持不变。

对应在化学上，两个组成成分（顶点）相同的化合物，如果不同构（相连关系无法匹配），就互称为对方的同分异构体（isomers）。

在凹与凸的情况，它们同构是显而易见的。

从拓扑学的观点来看，我们在考察汉字时，对同构的字可以视为等同。所以，在拓扑学家看来，凹、凸是一样的。现在请你考虑以下三个问题：左与右是否同构，日与月是否同构，天与地是否同构？

直觉会告诉你，这三个问题的回答都是否定的。如果你想极肯定地回答这些问题，需要一些基本的观察。

第一个观察是，两个汉字如果同构，其顶点数一定相同。这是因为，同构要求在两个汉字的顶点集之间形成一一对应。现在你数一数这些字的顶点数，会发现，左是11个顶点，右是9个顶点，自然不同构。类似地，日与月、天与地，都不同构。

而天与地的不同构，甚至是一眼就可以看出的：因为地是左右结构，也就是说，它分成了独立的两块（土和也）。

从数学上讲，一个汉字的“块数”，称为其连通分支数。所谓“块”，就是连在一起的部分（连通分支）。比如，口的连通分支数当然是1，而吕、品的连通分支数分别为2, 3。而天与地的连通分支数分别为1和2。从图论或拓扑学的眼光看，天与地（或壤）的连通分支数不同，才是真正的“天壤之别”。“天壤之别在拓扑”，道理就在这里。同样的，俗语说的“丁是丁，卯是卯”也可以从拓扑的角度来理解，丁与卯的差别，首先就体现在它们的连通分支数不同。

容易看出，同构的汉字具有相同的连通分支数。用行话说，连通分支数是同构不变量。由此，我们可以再一次（更简单地）判断出，天与地不同构。

这个例子告诉我们，在判定两个汉字是否同构时，抓住一些同构不变量，比如上面提到的连通分支数，是有好处的。数学的一项重要目标，就是得到一些对象在同构意义下的分类，一个重要的手段就是寻找同构不变量。去年诺贝尔物理学奖中提到的陈数（Chern number，不是同名女影星哦），就是著名数学家陈省身发现的一种极重要的拓扑不变量。

如果一个汉字的连通分支数为1，我们就称该汉字是连通的。很明显，可以一笔画的汉字一定是连通的。反过来并不对：一个连通的汉字（网络）未必是可一笔画的，例如天、月、已、目、田、甲、申、木。也就是说，连通分支数并不是完全的同构不变量。这意味着，还存在稍微复杂一点的同构不变量。不难发现，我们前面提到的“拓扑笔画数”也是同构不变量：同构的汉字（或图）一定具有相同的“拓扑笔画数”。当然，它不如连通分支数好用，因为数一个汉字的“块数”，往往是一望即知的。

从拓扑学（也许还有书法家）的眼光来看，最简单的汉字就是一笔画的。我们这里不打算考虑将所有的汉字按照同构的关系来分类（这个问题好像有点无聊了），而只考虑将所有可以一笔画的汉字做同构分类。

原则上，可以一笔画的汉字（为了避开麻烦，我们把〇暂时排除）并不多，除了最常见的一、口、凹、凸、乙、己、巳、几、中、日、曰、串、弓、了、厂，还有一个字，值得给学数学的人介绍一下，即冖，这个字念“幂”，是幂的古体字。这里让我岔开话题，稍微解释一下这个字。我是从数学史家梁宗巨先生的文章《幂与指数概念的发展及符号的使用》中学来：

“幂”字作名词用，是用来覆盖食物的巾；作动词用，是用巾来覆盖。《说文解字》解释作：“ 冖，覆也，从一下垂也。”又《玉篇》：“冖，以巾覆物。”
用一块方形的布覆盖东西，四角垂下来, 就成冖的形状。将这意义加以引申，凡是方形的东西也可以叫做幂。再进一步推广，矩形面积或两数的积（特别是一数自乘的结果）也叫做幂。从现存的文献看, 这种推广是从刘徽开始的……

梁先生在文中补充了不少例子以说明幂的术语在数学中的应用，我只补充两点：

第1，初中数学的圆幂定理（power of a point theorem），之所以出现幂，是因为里头有个乘积。

第2，你现在应该可以猜出，为什么杨幂叫杨幂，因为她爹妈都姓杨，她的俗名应是杨平方！（可以想见，给她取名字的人是很有数学修养的！）百度词条说：“因为一家三口都姓杨，也就是“杨”的3次方，所以给她起名杨幂。”我觉得撰写词条者可能没有理解到位：杨父×杨母=杨平方=杨幂，杨幂是杨父与杨母的作品（product，作为数学术语又表示乘积），所以把她的名字理解为“杨平方”比“杨立方”更可取（因此我们建议，她的签名不妨用“杨²”）。

最后稍带一句，幂的英文是power，因此我们常常将一个幂函数写成x的p次方。

好了，现在回到可以一笔画的常用汉字的分类。我们留给有兴趣的读者作为练习：请将以下16个汉字按照同构关系分类：凹、凸、一、口、乙、己、巳、几、中、日、曰、串、弓、了、厂、冖。

也许是时候播报欧拉关于“拓扑笔画数”的基本结果了。这里我们只给出结论，详细的证明请见姜伯驹院士的小书《一笔画和邮递员线路问题》前28页。

对给定的网络，标出其顶点，对每个顶点，数出和它连接的边的数目，依据这个边数是奇数还是偶数，而分别称该顶点为奇顶点和偶顶点。最后统计出整个网络的奇顶点数目M。结论如下：

定理1：一个网络可以一笔画当且仅当它是连通的，并且M=0或2 。当M=0时，从任意一个顶点开始都可以完成一笔画；当M=2时，一笔画必定始于某个奇顶点而终于另一个奇顶点。

定理2：对于任意一个连通网络，其M一定是偶数；并且当M>2时，其“拓扑笔画数”为M/2。

我只补充两点说明：

第1，M显然是同构不变量。所以推论是，“拓扑笔画数”也是同构不变量。

第2，根据定理1不难证明欧拉的“哥尼斯堡七桥”不可一次走过；根据定理2可知，“哥尼斯堡七桥”的“拓扑笔画数”为2。

事实上，我们通常写汉字时，并不会按照数学上最简单的方式尽量搞一笔画，这是因为，我们有习惯（规矩）：写字时遵循从左到右、从上到下的方位次序。这就意味着，我们杜绝了将形如口这样的结构一笔画。这就好比说，我们约定了，左上角地势比较高，右下角地势比较低，于是水流不可能形成回路。

在数学上，这相当于说，我们写字时得到的图，是有向图（directed graph）。根据欧拉1736年的另一个基本结果可知，书写汉字的下述约定（规矩）——一个连通的汉字，其起点和终点不能重合——可以保证，作为有向图的汉字，不存在回路。对于一个一般的有向图，著名的BEST定理（由四位数学家de Bruijn，van Aardenne-Ehrenfest，Smith，Tutte发现），可以计算出其中的回路（称为欧拉回路）个数。然而，对于一般的无向图，尚无相应的计算公式。

到目前为止，我们所讲述的，只是最简单的拓扑，所考虑的对象是一维的。去年诺贝尔奖工作所涉及的是高维图形的拓扑性质。希望以后有机会我们再进一步讨论高维图形的拓扑。

最后，作为预告，我们留一个二维图形的问题给读者（它事实上可以用拓扑来回答）。

思考题：

在通常的⚽️表示中，我们可以看到有两种图案：一种是黑色的五边形，另一种是白色的六边形。问：五边形、六边形各自有多少个？更进一步，如果我们限制用五边形和六边形两种图案来分割球面（并假定每个顶点恰好有三条边和它相连）；能否得到其它的不同于⚽️的构型？

图片来源：pixabay

拓展阅读：

【1】姜伯驹院士的小书《一笔画和邮递员线路问题》的后半部分讨论了中国数学家管梅谷提出的“邮递员线路问题”，想必有许多快递员可以从中获益，因为它讲的是怎么安排行走路线可使要走的总路长为最短。

【2】关于图论在化学中的应用，可以追溯到英国数学家凯莱，他在1874年发表了论文《论同分异构体的数学理论》（ On the mathematical theory of isomers）。对数学在化学中的应用，可见Joseph Malkevitch的综述文章 Mathematics and Chemistry: Partners in Understanding Our World，http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2014-09

有中译文《数学与化学：解读世界的一对搭档》，欧阳顺湘译，《数学文化》2016年第1期。

【3】更一般的，关于拓扑在诺贝尔化学奖得奖工作中的一个应用，可见姜伯驹院士的文章《拓扑学中的手性——拓扑学与化学结缘》，收入姜伯驹、钱敏平、龚光鲁著《数学走进现代化学与生物》，科学出版社，2007年。

【4】关于图论研究的前沿，可以参见金芳蓉教授的文章Graph Theory in the information age , Notices of AMS, 57, no. 6, July 2010, 726—732，http://www.ams.org/notices/201006/rtx100600726p.pdf. 有中译文《信息时代的图论》，http://www.math.ucsd.edu/~fan/wp/graphc.pdf 。

致谢

感谢香港城市大学陈关荣教授和重庆大学邵红亮教授对初稿提出了许多有价值的批评和建议。

延伸阅读

① 视频 | 拓扑为何？

② 纯粹数学的雪崩效应：庞加莱猜想何以造福了精准医疗？

③ 问世间结为何物：近代数学和拓扑物态中的纽结论丨众妙之门

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