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从《几何原本》看科学的传承

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2020-12-04 08:05

正文

作者 | 刘瑞祥

我读《几何原本》的一个大的感受就是，科学是一项前仆后继的事业。这一感受是如此之深，甚至超过了我对其逻辑体系的感受。

事实上，只要稍微涉猎一点有关《原本》的科技史读物，比如读一读该书现代版本的前言、后记，我们就能体会到这一点。比如，据说早在欧几里得之前，泰勒斯就证明了“直径二等分圆”这一命题，并且泰勒斯还是几何证明的先驱，再有就是毕达哥拉斯学派对勾股定理（毕达哥拉斯定理）和“不可公度量”的发现，欧多克斯则研究了比例论并对“比例”重新定义。比例论就是因为“万物皆数（自然数）”的破产而产生的，正是因为“不可公度量”的发现，才使得希腊人原以为严谨的证明变得有漏洞了，因此产生了在新的比例定义和比例论基础上的证明。而正多面体显然和柏拉图有关。如此等等。

不仅如此，《原本》还对后世学者产生了深远影响。一个众所周知的例子是因研究平行公设而诞生的“非欧几何”。但这并不是因研究几何基础而产生的唯一成果。比如学者帕施等人，已经试图完善几何学的基础了。今天的数学家可以任意定义逻辑上无矛盾的体系，从而产生了各种各样的数学分支。希尔伯特第三问题则是针对极限法解决体积问题的，而在西方这种方法始于《原本》，高斯曾经思考过这一问题，最终是希尔伯特的学生德拜给出了结论。

再以尺规作图为例，《原本》第四卷的命题十六“作正十五边形”显然已经涉及到二元一次不定方程，即求满足方程5x+3y=1的整数。而尺规作图的判定性原则虽然已经由高斯等人解决，但还有其它方面的发展，比如进一步限定作图工具——单规乃至锈规、单尺乃至短尺等等。在正多面体方面，因为欧几里得原来的作法比较复杂，后世不断进行改进，中国清代学者梅文鼎用正方体简洁利索地作出正十二面体和正二十面体，可以称得上杰作。

除了以上所说以外，阿波罗尼奥斯研究圆锥曲线、阿基米德研究圆周率，以及后世学者对“黄金分割”、勾股定理的研究，都和《原本》有密切的关系。而机器证明则可以说是从《原本》停下的地方出发的。《原本》还深深影响了牛顿、爱因斯坦，他们构建理论体系的方式，是和《原本》类似的。