如何理解统计中的特征函数？

先说结论，特征函数是随机变量的分布的不同表示形式。

一般而言，对于随机变量 的分布，大家习惯用概率密度函数来描述。

比如说：

意思就是 服从正态分布，对应的概率密度函数如下：

虽然概率密度函数理解起来很直观，但是确实随机变量 的分布还有另外的描述方式，比如特征函数。

1 关于特征

1.1 剪影

下面是两个剪影：

是同一个人吗？不知道，看不清楚，不过如果知道这两个剪影的特征，比如：

• 名字

• 血型

• 身高

• 声音

• ...

以上特征如果都一样，那么：

1.2 泰勒级数

根据泰勒级数可知，两个函数 的各阶导数相等的越多，那么这两个函数越相似：

也即是：

关于泰勒级数请查看这两篇文章： 上 、 下 。

那么，随机变量分布的特征有吗？

2 随机变量分布的特征

随机变量的特征有如下：

• 期望

• 方差

• 偏态

• 峰态

• ...

这些特征具体是什么含义就不解释了，说来话长。不过这些特征都跟随机变量的“矩”有关系（什么是“矩”请参考 此文 ）。

比如期望：

方差：

偏态：

可见这些特征都和可以由各阶矩算出来。

直觉上可以有以下推论（ 其实还是有条件的，这里先忽略这些严格性，在实际应用中如下思考问题不大） ：

3 特征函数

随机变量 的特征函数定义为：

为什么这么定义呢？首先， 的泰勒级数为：

代入可以推出：

原来特征函数包含了分布函数的所有矩，也就是包含了分布函数的所有特征啊。

有数学家是这么形容特征函数（特征函数是下面文中的生成函数的一种）：

A generating function is a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display.

生成函数是一列用來展示一串数字的晾衣架。

----Herbert Wilf

特征函数 看上去确实像把各阶矩串在绳子上：

所以我们可以进一步完善刚才的结论：

所以，特征函数其实是随机变量 的分布的另外一种描述方式。

4 傅立叶变换

关于傅立叶变换可以参考以下文章：

• 傅立叶级数、变换的直观理解

• 傅立叶级数的代数细节

• 从傅立叶级数到傅立叶变换

• 如何理解拉普拉斯变换

傅立叶级数、傅立叶变换通过线性代数更容易理解。如果有兴趣学习线代基础，可以参加我们的“线代基础课程”（点击最下方的“ 阅读原文 ”报名参加）。

4.1 特征函数是共轭傅立叶变换

假设某连续随机变量 的概率密度函数为 ，那么可知：

特征函数是：

而 的傅立叶变换为：

可见两者是共轭的关系：

也就是说，特征函数是 的共轭傅立叶变化，共轭在这里影响不大，下面把特征函数当作傅立叶变换来理解。

4.2 特征函数相当于换了一个坐标系

傅立叶变换是什么？就好比在直角坐标系下，圆的方程为：

图示如下：

在极坐标系下，同样的圆的方程为：

坐标系下的图像为：

同一个数学对象，在不同坐标系中，有不同的表达形式：