海森堡和小粉用家具厂作为伪装
将 dope 作坊隐匿其中
如今他们的任务就是在沙发中塞满 dope
然后从家具厂后门的小巷子偷偷运出去
但是……
扩展猫粮
视频中，老白和小粉两个人想尽办法把沙发面积做大，这样就可以提高单次的搬运量，减少搬运次数，从而降低风险。虽然这种求知的精神值得我们学习，但希望大家无论如何都不要沾染毒品，因为无论怎样挖空心思旁门左道，都不会有好下场的。嗯。
话说绝命毒师的衍生剧《Better Call Saul》已经在今年夏天更完第三季了，还没看的小伙伴可以去看看。
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言归正传。本期问题的名字其实非常耿直，就叫“Moving Sofa Problem”，由数学家 Leo Moser 在1966年提出：在一个宽度为1的直角右拐弯道中，能够通过弯道的最大图形长什么样？最大面积是多少？
小粉提出的两个方案
按照小粉高中没毕业的数学水平，很容易想到视频中的前两个方案：
其中正方形面积是1，半圆形面积是1.571（π/2）。由于计算实在过于简单，小粉遭到了老白的嫌弃与不屑。身为一个受过高等教育的知识分子、一个把脑袋别在裤腰带上的毒贩，老白追求的是效率！！毕竟每多运一次沙发，就多一分的风险，所以沙发面积要尽可能的大。有的同学可能会问，费这劲干嘛？花点儿钱把通道加宽一些不好吗？
不好。
“老白改良前”和“老白改良后”
老白的第一个方案，也就是改良前的方案，最早由数学家 John Hammersley 提出：
如图，左右两边各有一个面积一样大的1/4圆，这两个1/4圆刚好是由小粉提到的那个半圆平分而成的。中间的部分也不难，它原本是一个长度为4/π的矩形，后来中间被挖掉了一个半径为2/π的半圆。左、中、右三个部分结合在一起，就组成了一个面积高达2.2074的沙发。
乍一看上去，这个方案还真的有点儿客厅长沙发的样子。可惜若大的沙发上只有你一个人孤零零地躺着，没有友仔玩，也没有友女玩，只好看看动漫打打游戏维持生活这样子……
……
后来在1992年，数学家 Joseph Gerver 给出了面积更大的改良版方案，也就是视频中的“老白改良后沙发”：
这个方案一共有18部分，其中有3条直线，其余都是曲线。看起来很复杂？其实它并不难。只需先这样，再这样，然后这样……最后再施展一些绚丽的数学技巧……我们就能算出它的面积：
（完整过程： http://mathworld.wolfram.com/MovingSofaProblem.html）
保留4位小数的话就是2.2195，比之前的2.2074大了约莫……1%……
这1%，便是一名退休化学教师的骄傲与尊严。
那么，这个沙发还能再改良吗？面积还能更大吗？它会不会就是最优解呢？
改良版沙发的一个证明思路
这个问题至今为止还没有定论。不过，一位叫做 Philip E Gibbs 的数学家在计算机的帮助下，给出了一种“另类”的证明方案，大概思路就是——首先固定一个沙发，然后用一个直角的弯道模型往沙发上“套”，这个过程有点儿像我们用模具做饼干一样：
被直角弯道模具套了3次的沙发长这样（上下两条水平线是一次，两个直角是另外两次）：
9次之后：
N次之后：
Philip E Gibbs 发现，随着 N 的不断提升，图形越来越像上面提到的那个“老白改良后沙发”，而且面积也在逐渐逼近2.2074。所以，“老白改良版沙发”很有可能就是沙发问题的最终答案。
（沙发视角）
其实生活就像这个沙发问题一样——遇到困难时换一个角度，你就会发现，问题还是没有解决。
沙发问题变种——两个弯道
千算万算，老白还是没有算到，在右拐弯道的前方，还TMD有个左拐弯道……
那么在这个令老白吊儿郎当入狱的连环弯道中，可以通过的最大图形长什么样？面积是多少？
前边我们一共提到了4种图形：正方形、半圆形、老白改良前沙发、老白改良后沙发。其中除了正方形以外，都不具有对称结构，所以自然没办法连续过弯。话说这里突然有了一种赛车的感觉啊……早知道做个赛车动画了，又劲爆又带感，超棒的啦……
当然了，这个连续过弯的问题也没有被彻底解决，不过数学家 Dan Romik 给出了一种可能的答案：
由于造型可爱又俏皮，它又被称为……比基尼。神奇的是，和“老白改良后沙发”类似，这个比基尼也是由18部分组成的，可以圆润的滑过两个弯道：
更神奇的是，它的面积可以用非常简洁的公式表示出来：
是不是很简洁？
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沙发问题变种——三角形弯道
在经历了一段小插曲之后，老白和小粉终于出狱了。凭借着上面的“比基尼”图形（小粉：![]()
），老白小粉连续过弯，美滋滋。
但做坏事总归没有好下场……没想到，小巷后面又出现了一个三角形弯道！！！！！！！也给整个剧情留下了最后的悬念！
这个三角形弯道该怎么通过，才能让沙发的面积最大呢？先看几个可能的方案吧~
第一个方案有点像直角弯道中的正方形沙发：
第二个方案有点像 pizza ，好饿啊……
第三个方案其实是“老白改良前沙发”的一种变形：
顺着这种思路，来自纽约巴德学院的 Nicole Song 又想到了另外一种方案（这个像什么？）：
算着算着，Nicole Song 发现，最佳沙发的形状和通道拐角的角度有关，难度更上了一个台阶……
所以，就像我们节目的更新日期一样，沙发问题及其变种目前还没有确凿无疑的答案。即便有几个方案看上去疑似最佳，由于证明上的困难，我们也无法确定它们是否是最优解。
不过，我们至少得到了同一问题的不同视角，不是吗？
最后，有人在几何图形网站 Geogebra 上分享了“老白改良前沙发”的形成过程，感兴趣的同学可以点击 阅读原文，然后拖动参数 α 的进度条即可。至于另外两个参数是干啥的……你试一下就知道了~
特别鸣谢
《A Computational Study of Sofas and Cars》 by Philip E Gibbs
《A Variational Approach to the Moving Sofa Problem》 by Nicole Song
《Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem》 by Dan Romik
注：Dan Romik 还用数学软件 Mathematica 写了一个小程序，适合高玩玩耍。下载地址在这个网页的下方：https://www.math.ucdavis.edu/~romik/movingsofa/
