撰文： 士
你或许在高考中接触过导数，你也许知道利用分割成梯形的方法求面积。你也许听说过微积分改变世界的重要性；听说过微积分骇人听闻的挂科率；也听说过随之而来的“高数老师带着我们在知识的海洋里遨游，最后只有他自己上了岸”这类的段子。但是它真的像你所见的那样吗？现在，这是一次让你步入微积分大门的绝佳机会。
微积分是微分学与积分学的统称，它是一件数学工具。像任何一件工具的发明一样，人们的需求与好奇心是一切开始的地方。从崇尚几何之美古希腊时代开始，人们便对图形周长与面积，表面积与体积的计算产生了浓厚的兴趣。从圆的面积开始，人们迈出了使用无穷数列和求几何图形面积的第一步，如欧几里得《几何原本》中的穷竭法，便是用内切正多边形的面积与一系列三角形面积之和去逼近圆的面积，使其无限接近。之后，阿基米德进一步使用这种方法，求出了斜边为抛物线的曲边直角三角形的面积，以及由阿基米德螺线ρ=αθ围成的图形面积。这些思想与概念为后世留下了重要的启示，也是后来积分学的雏形。
另一个令人着迷的问题则是曲线的切线，如圆的切线一般，这些切线往往有着令人神往的性质，而吸引古希腊学者的领域，则是平面图形切线的做法。虽然在这方面人们所获得的成果，比面积的求法要少得多，但也是相当辉煌的，例如阿基米德在《螺线论》中给出了作螺线上任意一点切线的方法，而阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中则给出了作圆锥曲线上切线的方法。虽然这便是微分学的雏形，唯一美中不足的地方则是当时的人们只把曲线与切线看作了静态的图形，没有人考虑它们在动态变化中的意义，这也使古希腊的学者与微分学失之交臂。
在之后历史的发展中，战乱代替了和平，权力与武力凌驾于智慧与思想之上，这最开始的火苗便进入了沉睡，直到十七世纪末，它与人内心最深处对知识的渴望一同苏醒了。人们开始重新思考那些困扰着先哲们的难题，确定物体运动时的瞬时速度与瞬时加速度的问题成为了力学家们关注的焦点；而确定透镜曲面上任意一点的法线来设计望远镜光程又使求曲面切线的问题重回人们的视线；炮弹最大射程与行星轨道近日点和远日点的计算等问题则让天文学家一筹莫展，在这时，人们重新开始了对微积分的酝酿与发展。
1615年，德国天文学家开普勒提出了一种崭新的求体积的方法，他不再对无穷小量敬而远之，相反，使用限穷个无穷小量求和来获得面积或体积正是其方法之精髓，最著名的例子便是每个人小学时数学书上都有的将圆分割成无穷个小扇形，再计算每个小扇形的面积，最后相加来得到圆面积的方法。1635年，意大利数学家卡瓦列里则提出了不可分量的概念与等积原理，他开创性地认为线是由无穷个点组成的，面是由无穷条线组成的，而体是由无穷条线组成的，并将点，线，面分别命名为线，面和体的不可分量，进而基于此提出了等积原理，即对两个等高的几何体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比。值得一提的是我国数学家祖暅在公元656年（即1100年前）提出了一样的原理，史称祖暅原理。
在积分学酝酿地如日中天之时，微分学的发展也正齐头并进。1637年，笛卡尔在他的著作《几何学》中结合自己创造的坐标系概念提出了一种作曲线切线的方法，即圆法，他利用法线来绘制切线，利用方程重根的存在来确定法线，将代数与几何结合到了一起，而与此同时，巴罗则提出了另一种直接求曲线切线的方法，叫做巴罗三角形（也叫微分三角形），他利用一段任意小的线段来逼近一段任意小的弧，将线段中任意小量的幂与乘积消去后剩下的比值便是切线的斜率，接下来就是利用点斜式来确定这条切线了。（具体的方法内容在这里不再赘述，有兴趣的同学可以参考这篇文章：庄中文，《对笛卡儿“圆法“与巴罗“微分三角形“的比较分析》）也在同一年，费马则提出了自己求曲线极值的方法，他利用变量e来描述自变量的增量，并计算对应的函数增量（即对于函数f(x)，计算f(x+e)-f(x)），消去公共项之后将两增量作比（即计算f(x+e)/e），若有数a使比值为0，则x=a便为函数极值点，而之后费马也意外地发现，就算其他一任意数b不使比值为0，这个比值本身也就是当x=b时函数切线的斜率，这与巴罗三角形有异曲同工之妙，并且也与今天微分学中求导运算相差无几。
此时的微分学与积分学均已被人们相当程度地了解。虽然根据面积与切线（和极值）两大问题范畴可以大致看出轮廓，但两门学科的知识仍如宝石般散落，历史在等待一位伟人，将这些宝石拾起，并将其妥善收纳，归拢。1665年，基于对运动学的研究，牛顿正式提出了流数法的概念，并于次年5月提出了反流数法的概念，五个月后，他对之前的成果进行了总结，写出了《流数简论》，但并未发表。其中他将连续的量称为流量，并将这些量流动（变化）时的速度称为流数，同时将无限小的增量称为瞬（即瞬间），并创建了小o记号来表达瞬。在1671年出版的《流数法与无穷级数》中，他将微积分的两大基本问题总结为了已知流量求流数的问题（流数问题，即微分学中的基本问题）与已知流数间的关系，求流量间关系的问题（反流数问题，即积分学中的基本问题），以运动学形式提出了流数与反流数互逆的关系，并随后证明了它们的互逆关系。但美中不足的是牛顿的观点中将瞬简单地看作了静止的无穷小量，甚至有时直接就当作0来处理，故仍带有浓厚的早期卡瓦列里提出的不可分量理论的色彩，同时牛顿并没有对其符号进行认真的考量，仅以带点字母表示流数，并以带撇字母表示流量，这使牛顿的符号与流数理论一起在历史长河中被淘汰。
与牛顿不同，另一位德国的数学家莱布尼茨的研究则始于数列，在1666年《论组合的艺术》中，他研究了平方数列的一阶差数列和二阶差数列，发现了原数列与差数列间的可逆关系，而于1673年，当莱布尼茨在攻读帕斯卡的著作时，他发现帕斯卡三角形（即杨辉三角）中的每一项均可表示为上一行相邻两元素之和与左下相邻的两元素之差，通过这些类似的研究，莱布尼茨洞察到了和与差的互逆性，借助笛卡尔的解析几何与坐标系概念，他将数列看作许多个有序的y值，并将表示这数列的次序看作对应的x值，他首先在手稿中将横坐标的差记为1，（因为表示次序时，自然数数列的差显然为1），之后他发现如果对表示y的数列也求差并与1作比，那么这便是函数切线的斜率，而如果将每个y都乘以1，之后求和，那么这便是函数图像之下的面积。从而莱布尼茨意识到了求切线不过是求差，求面积不过是求和的事实，后来他将这一事实在致洛必达的信中总结。之后，莱布尼茨创建了自己的求和符号omn（取自拉丁语omnia的前三个首字母，该词意为所有的，全部的），同时，在y=x的条件下，他发现了omn 1=y，给出了这个omn 1的意义即当数列的一阶差为1时，原数列的最后一项的值。并作出了当1很小时，omn y*1=y^2/2的推论。
在1675年，莱布尼茨对他的积分记号进行了改进，用sum的首字母s拉长后的 ∫ 替换omn表示求和，而用符号d表示求差，同年，他也对dx和dy进行了诠释：dx即两十分相近的相邻x值的差，而dy即两对应的十分相近的相邻y值的差，莱布尼茨将这些称为微差（也就是后来的微分），并提出了分部积分原理：∫xdy=xy-∫ydx。也就是在这一年，莱布尼茨发现了积分运算与微分运算的互逆性，成为了莱布尼茨发现微积分的标志。1676年，莱布尼茨给出了幂函数的微分法则与积分法则，即dx^n=nx^(n-1)dx和 ∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)，之后他先后提出了链式法则（即dy/dx=dy/dt*dt/dx），微分的四则运算法则（d(x±y)=dx±dy，d(xy)=xdy+ydx与d(y/x)=(xdy-ydx)/x^2）与这些法则的证明。1677年，他正式给出了微积分基本定理的表述，即d(∫ydx)/dx=y。至此，另一套独立的微积分体系被以十分系统的形式建立完毕，其记号被沿用至今，但与牛顿的流数方法一样，莱布尼茨对无穷小量采取的措施仍然是忽略不计，这就为这实用的套体系埋下了隐患。
在此之后，虽然首先开始研究微积分但更晚出版的牛顿与首先发表著作但的确更晚开始研究的莱布尼茨为了争夺微积分学的首先发现权进行了激烈的争抢，但是一切终如过眼云烟。两人的体系虽然后来被合称为牛顿-莱布尼茨微积分（又叫N-L微积分），但均经不起推敲，尤其是涉及无穷小的部分，这便引发了历史上的第二次数学危机，但因为这种理论与实际的吻合度极高，人们仍然愿意使用，直到19世纪才真正开始修补这些逻辑上的缺陷。而经过修补以后的牛顿-莱布尼茨微积分学，也就成为了我们这次旅途的主要景点——像一座大花园一般的建立在公理体系之上的微积分学。
在步入这座花园的过程中，你将看见：
· 实数理论是如何成为微积分的根基的
· 柯西如何通过极限论的方法研究数列，进而研究函数的
· 柯西如何利用任意小量来描述无穷小量与极限的概念的
· 数列的极限与函数的极限这对姊妹花是如何相辅相成的
· 微分学究竟是什么，积分学又是什么
· 莱布尼茨的微分学公式究竟与二项展开式有怎样的渊源
· 一些奇特而又好玩的函数与反例
· ……（多到列不下）
· 以及更多的，男默女泪看完必转的有趣真相！
这次旅途的主要形式将以大学讨论课的形式展开，不论你是
· 来见识神奇操作的萌新学生
· 来温故知新的回头dalao
· 非数学专业但想看看数学专业多会玩的好学人士
· 想了解大学讨论班究竟是什么套路的同学
· 还是哆嗒的铁杆粉丝
v 我们一律十的666次方分欢迎！
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