数学史上最长的证明，全世界只有4位老人看得懂

撰文 | 斯蒂芬 · 奥尔内斯（Stephen Ornes）

翻译 | 方弦

2011年9月一个凉爽的周五晚上，在朱迪丝·L·巴克斯特（Judith L. Baxter）和她丈夫，数学家斯蒂芬·史密斯（Stephen Smith）位于伊利诺斯州奥克帕克的家中，种类数不胜数的菜肴铺满了好几张桌子。什锦餐前小点、家常肉丸、奶酪拼盘和烤虾串旁簇拥着西饼、法式肉冻、橄榄、三文鱼配莳萝以及茄子酿菲达干酪。甜点的选择包括一个柠檬马斯卡普尼干酪蛋糕以及一个非洲南瓜蛋糕。夕阳渐落，香槟徐启，六十位宾客，其中半数是数学家，他们吃着喝着，喝着吃着。

宏大的场面正适合这个为巨大的成就举办的庆功会。晚宴中的四位数学家——史密斯、迈克尔·阿施巴赫（Michael Aschbacher）、理查德·莱昂斯（Richard Lyons）、罗纳德·所罗门（Ronald Solomon）——他们刚出版了一本书，延续着180多年来的工作，全面概述了数学史上最大的分类问题。

他们的专著并未荣登任何畅销书榜，这可以理解，毕竟这本书叫《有限单群分类》（The Classification of Finite Simple Groups）。但对于代数学家而言，这本350页的巨著是一座里程碑。它是一般分类证明的摘要，或者说是导读。完整的证明多达15 000页——有些人说接近10 000页——而且散落在由上百名作者发表的数百篇期刊论文中。它证明的结论被恰到好处地称为“宏伟定理”（Enormous Theorem）。（定理本身并不复杂，冗长的是证明）史密斯家中的丰盛佳肴似乎正适合褒奖如此宏大的成就。它是数学史上最庞大的证明。

但现在它处于险境。2011年的这本著作只是勾勒出了证明的梗概。实际文献无以伦比的篇幅将这个证明置于人类理解能力的危险边沿。“我不知道有没有人将所有东西都读过了，”所罗门说，他现在66岁，整个职业生涯都在研究这个证明。（他两年前刚从俄亥俄州立大学退休。）在庆功会上接受庆祝的所罗门以及其余三位数学家，可能是当世仅有的理解这个证明的人，而他们的年岁令每个人担忧。史密斯67岁，阿施巴赫71岁，莱昂斯也已经70岁了。“我们现在都老了，我们想在为时已晚之前，将这些想法传递下去，”史密斯说，“我们可能会死，或者退休，或者把东西忘掉。”

这种损失同样“宏伟”。简而言之，这项工作为群论这一门关于对称性的数学研究带来了秩序。而关于对称性的研究，又对现代粒子物理学等科学领域至关重要。标准模型（standard model）是解释宇宙中存在的所有基本粒子（无论是已经知道的还是尚待发现的）的性质和行为的基本理论，它依赖于群论提供的关于对称的工具。在最微观的尺度上，有关对称的巧妙想法曾经帮助物理学家建立了一些实验中用到的方程，而这些实验又帮我们发现了一些奇异的基本粒子，比如组成我们熟悉的质子与中子的夸克。

同样是在群论的指引下，物理学家产生了一个令人不安的想法：质量实际来源于某种基本层面上的对称破缺。循着这个想法，物理学家发现了近年来最有名的粒子：希格斯玻色子，只有对称在量子尺度上轰然崩塌，这种粒子才能存在。有关希格斯玻色子的想法在20世纪60年代就从群论中浮现出来，但直到2012年才被欧洲核子研究中心的大型强子对撞机在实验中发现。

对称性这个概念，就是说某样事物能经受一系列变换——旋转、折叠、反射、在时间中移动——并在所有这些改变之后，看上去仍保持不变。从夸克的配置，到星系的排布，对称在宇宙中无处不在。

宏伟定理以确定无疑的精确性证明，任意的对称性都能被分解并按照共性归类到四大类别之中（见文末）。在那些专注于对称性研究的数学家，或者说群论学家的眼中，这个定理是一个伟大的成就，无论是概括性、重要性还是基础性，都不逊于化学家眼中的元素周期表。在未来，它可能会带来其他关于宇宙构成和实在本性的深刻发现。

当然，前提是它不是像现在这样的一团乱麻。整个证明的方程、推论和猜想散落在超过500篇期刊论文中，有一些被埋在厚厚的书卷里，填满了希腊字母、拉丁字母以及其他用在复杂难懂的数学语言中的字符。给这场混乱雪上加霜的是，每位贡献者都有其自己特有的写作方式。

这团乱麻的问题在于，如果证明并非每个部分各在其位，整个证明就摇摇欲坠。要比较的话，想像一下组成吉萨大金字塔的超过两百万块石头杂乱地散落在撒哈拉沙漠上，只有寥寥几个人知道怎么将它们重新整合。如果宏伟定理没有一个更易理解的证明的话，未来的数学家就只有两个艰险的选择：要么在没有充分理解机理的情况下盲目相信那个证明，要么“重新发明轮子”（没有一个数学家会对第一个选项感到自在，而第二个选项几乎不可能实现）。

史密斯、所罗门、阿施巴赫与莱昂斯在2011年共同整理的提纲，正是一个雄心勃勃的存续计划的一部分，这个计划的目的是让下一代的数学家也理解这个定理。“从某种意义上来说，今天绝大多数人把这个定理当成一个黑箱，”所罗门痛惜地说。计划的主要目标是将林林总总的证明碎片整合起来，得到一个精简过的证明。这个计划是在30多年前制定的，但直到现在还只完成了一半。

如果一个定理很重要，那么它的证明更是加倍重要。证明确立了定理的真实可靠性，也让数学家能令他的同行确信某个陈述的真实性，哪怕远隔重洋，甚至跨越世纪。这些陈述又孕育出新的猜想与证明，令数学的合作精神能延续千年。

罗纳德·所罗门、理查德·莱昂斯、迈克尔·阿施巴赫、斯蒂芬·史密斯（从左到右）可能是最后几个懂得宏伟定理的证明的人，除非他们能整理出更简洁、更有条理的证明过程。

早在19世纪90年代，数学家就开始梦想证明这个定理，当时名为群论的新领域刚刚站稳脚跟。在数学中，“群”用于指代一个集合，它的元素之间有着由某种数学运算带来的联系。如果你将这个运算应用到群中任何一个元素上，得到的还是群中的另一个元素。

对称操作，或者说不改变某个物体外观的运动，正好符合这个要求。作为例子，假设你有一个立方体，每条边都涂上了相同的颜色。将这个立方体旋转90度，或者180或者270度，旋转之后的立方体看起来与原来一模一样。把立方体翻转过来，让它底朝上，它看起来也没有变化。你如果离开房间，让一位朋友旋转或者翻转这个立方体——或者一系列旋转和翻转的组合——当你回来时，你不会知道这位朋友做了什么操作。总共有24种不同的旋转方式不会改变立方体的外观。这24种旋转构成了一个有限群。

有限单群就像原子。它们是构成其他更大的东西的单元。有限单群组合起来，就会变成更大、更复杂的有限群。就像元素周期表一样，宏伟定理将这些群整理出来。它断言每个有限单群都属于三个类别之一 ——或者属于由疯狂的离群者组成的第四个类别。这些离群者中最大的一个被称为魔群，它的元素个数超过10⁵³，存在于196 883维空间中。第一个有限单群是在1830年之前被发现的，到了十九世纪90年代，数学家对这些基础构件的追寻有了新的进展。研究者也开始认为这些群能够被一张很大的表格囊括。

20世纪早期的数学家为宏伟定理奠定了基础。然而，定理的证明主体直到20世纪中叶才开始成型。在1950年与1980年之间——罗格斯大学的数学家丹尼尔·戈伦斯坦（Daniel Gorenstein）将这段时间称为“三十年战争”（thirty years war）——一群重量级的数学家将群论这个领域推进到了前所未及之处。他们发现了许多有限单群，并为它们分好了类。这些数学家把手上长达200页的手稿当作“代数砍刀”，在抽象的密林中披荆斩棘，揭示对称性最深层次的基础。

那是一段梦幻的时代：现在已经是佛蒙特大学教授的理查德·富特（Richard Foote）当时是剑桥大学的研究生，有一次他坐在一个阴冷的办公室，亲眼见证了两位著名的研究者——现在在佛罗里达大学的约翰·汤普森（John Thompson），还有现在正在普林斯顿大学工作的约翰·康威（John Conway）——在反复推敲某个特别难缠的群的细节。“那真是让人惊叹，就像两尊泰坦巨人脑袋之间在电闪雷鸣，”富特回忆说，“他们在解决问题时，似乎从来就不缺乏美妙绝伦而独辟蹊径的技巧。那真是惊心动魄。”

证明中两个最关键的里程碑正是出现在这数十年间。在1963年，数学家沃尔特·费特（Walter Feit）和约翰·汤普森阐述了寻找更多有限单群的方法。在这个突破之后，戈伦斯坦列出了一个证明宏伟定理的十六步方案——这个计划将一劳永逸地让所有有限单群各就其位。它的内容包括整理所有已知的有限单群，寻找缺失的单群，将所有单群分成合适的类别，以及证明除此之外就没有别的有限单群。这个计划非常宏大、野心勃勃而又难以驾驭，有些人甚至认为无法实现。

但戈伦斯坦是个具有超凡号召力的代数学家，他的远见令新的一群数学家热血沸腾，与有限单群不同，他们的抱负既不“简单”也不“有限”，他们希望能够名垂青史。“他有着过人的气度，”现居罗格斯的莱昂斯说，“他在构思问题与解答时锐意进取，在说服其他人帮助他时又令人信服。”

所罗门说自己对群论是“一见钟情”，他遇到戈伦斯坦是在1970年。当时美国国家科学基金会正在鲍登学院举办一个关于群论的暑期学校，每周都会请数学大家来校园做讲座。对于当时还是研究生的所罗门来说，戈伦斯坦的来访到现在仍然历历在目。这位刚从马萨岛的避暑别墅过来的数学大家，无论是外表还是谈话都令人震撼。

“在遇到他之前，我之前从来没见过穿着鲜粉色裤子的数学家。”所罗门回忆道。

所罗门说，在1972年，大多数数学家认为那个证明到二十世纪末也完成不了。但四年后，终点已然在望。戈伦斯坦认为，证明加快完成主要应归功于加州理工大学教授阿施巴赫创造性的方法与狂热的步调。

证明如此庞大的原因之一，是它要保证有限单群的列表是完整的。这意味着列表必须囊括每一个基本单元，而且不存在遗漏。通常证明某种东西不存在——比如说证明不存在额外的有限单群——要比证明它存在更困难。

在1981年，戈伦斯坦宣布证明的初版已经完成，但是他的庆祝为时过早。在某篇特别棘手的800页论文中出现了一个问题，人们几经争论才将它成功解决。一些数学家偶然也会宣称在证明中发现了新的问题，或者发现了不遵循定理的新的群。不过直到现在，这些断言都无法撼动整个证明，而所罗门也表示他深信证明没有问题。

戈伦斯坦很快看出这个定理的文献已经变成一团四处蔓延毫无秩序的乱麻。这是毫无计划的发展所导致的结果。于是他说服了莱昂斯——然后在1982年他们两个突然拉上了所罗门——来一起打造一个修订版，让证明的陈述变得更易懂更有序，它将会成为所谓的第二代证明。莱昂斯说，他们的目标是规划好证明的逻辑，让后来者不必重新论证。另外，这项努力也会将共计15 000页的证明削减到仅3 000或4 000页。

戈伦斯坦设想着完成这样一套著作，它们将所有迥然不同的片段整齐地收集起来，精简整个逻辑以去除不规范与冗余之处。在20世纪80年代，除了那些曾经奋战在证明前线的老将以外，没有人理解整个证明。毕竟数学家们已经在这个定理上工作了数十年，他们希望能与后来者分享他们的工作。戈伦斯坦担心他们的工作将会佚失于封尘的图书馆内厚重的书籍中，第二代证明将平息他的忧虑。

戈伦斯坦没有看到最后一块拼图的就位，更没能够在史密斯和巴克斯特的房子里举杯。他于1992年在马萨岛因为肺癌去世。“他一直没有停止过工作，”莱昂斯回想道，“在他去世之前的那天，我们谈了三次话，都是关于那个证明的。没有什么告别之类的东西，我们谈的全都是工作。”

第二代证明的第一卷在1994年出版。它比一般的数学著作更侧重解释，在预计能完全容纳宏伟定理证明的30节内容中，它只包含了两节。第二卷在1996年出版，之后的卷目延续到现在——第六卷在2005年出版。所罗门估计，精简后的证明将会长达10或者11卷，也就是说，修订版的证明到现在只出版了一半多一点。

富特说，第二代证明每部分之间的契合比原来更好。“已经出版的部分写法更一致，条理更是清晰多了，”他说，“从历史的角度看，将证明整理到一起非常重要。否则它在某种意义上就会变成口耳相传的东西。即使你相信证明已经完成，它也变得让你无法检查了。”

所罗门留意到，这共计10或者11卷的著作仍然不能完全涵盖第二代证明。即使是精简过的新证明仍然引用了增补的卷目和以前在别处证明的定理。某种意义上说，这种延伸正体现了数学是在不停积累的：每个证明都不仅是当时的产物，还牵涉此前数千年以来的思考。

在《美国数学学会通报》（Notices of the American Mathematical Society）2005年的一篇文章中，伦敦国王学院的数学家布莱恩·戴维斯（Brian Davies）指出“这个证明从未被完整写下来，可能永远也写不下来，目前看来，也没有任何人能单枪匹马地理解它”。他的文章提及了这个令人不安的想法：有些数学工作可能复杂到了让凡人无法理解的地步。戴维斯的话促使史密斯与他的三位合作者写下了在奥克帕克的聚会上众人庆祝完成的那本相对简明扼要的著作。

宏伟定理的证明可能超出了绝大部分数学家的能力，更不用说那些好奇的数学爱好者了，但它整理出的原理为未来提供了一件无价的工具。数学家长久以来就习惯了这样的情况，他们证明出来的抽象真理往往要在数十年甚至数百年之后才能在本领域以外得到应用。

 “未来会很让人兴奋，原因之一是它难以预测，”所罗门说，“未来的天才们会带来我们这一代人中没有人想到过的主意。有一种诱惑，一种愿望和梦想，它会告诉我们，还有更加深刻的理解方法等待发现。”

宏伟定理说了什么？

对称性能分解为基本的单元，它们被称为有限单群，就像化学元素一样，它们的不同组合构成了更大更复杂的对称性。

宏伟定理将这些群整理为四个类别。尽管证明非常冗长，定理本身仅仅是列出了所有四个类别的一句话：“所有有限单群要么是素数阶循环群，要么是交错群，要么是有限李型单群，又或者是二十六个散在有限单群之一。”

以下是这些类别的简介：

循环群是最初被归类的基本单元。将正五边形旋转五分之一个圆周，或者说72度，它看上去并没有变化。旋转五次，我们就回到了出发点。循环群的元素不断循环往复。每个循环的有限单群的元素个数都是素数。拥有偶数个元素的循环群能被分解，所以它们不是单群。

交错群来自集合中元素的调换。包含所有可能的置换，或者说调换方式的群是置换群。但交错群只包含其中一半的置换——那些对换次数为偶数的置换。举个例子，假设你有一个包含1、2、3三个数字的集合。一共有六种写出这个集合的方式：（1, 2, 3）, （1, 3, 2）, （2, 1, 3）, （2, 3, 1）, （3, 1, 2） 以及 （3, 2, 1）。交错群只包含其中三个。从对称的角度来说，每个这样的排列可能对应于一系列的对称操作（比如将立方体向前滚一格，然后向侧面滚一格，等等）。

李型群的名字来自十九世纪的数学家索弗斯·李（Sophus Lie），它们更为复杂。这些群与所谓的无限李群有关。无限李群是由某个空间中使容积守恒的旋转构成的群。比如说，有无数种旋转甜甜圈而不改变它外观的方法。这些无限群在有限群中的对应物就是只拥有有限种旋转的李型群。绝大多数有限单群都属于这个类别。无论是无限的李群还是有限的李型群，它们都并不局限于我们所在平平无奇的三维空间中。想谈论15维空间中的对称性？那就看看这些群吧。

散在单群是由不能归类的群组成的类别。它包含26个与其他类别格格不入的例外。最大的散在单群叫魔群（Monster group），它的元素超过10⁵³个，能在196 883维的空间中被忠实地表达出来。它令人不解，非同寻常，没人真的知道它意味着什么，但它的确引人深思。“我私下有个希望，一个无凭无据的希望，”物理学家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）在1983年写道，“在21世纪的某个时刻，物理学家会碰上魔群，它会以某种出人意料的方式被构筑在宇宙的结构之中。”

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