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如果没有极限的概念, 那么微积分将不复存在. 这意味着, 我们将用大量的时间来研究它们. 事实证明, 虽然恰当地定义一个极限是件相当棘手的事情, 但你仍然有可能对极限有个直观理解, 而无须深入其中的具体细节. 这对于解决微分和积分问题已经足够了. 因此, 本章仅仅包含对极限的直观描述; 正式描述请参见附录 A. 总的来说, 以下就是我们会在本章讲解的内容：
1.1 极限：基本思想
让我们开始吧. 我们从某个函数 f 和 x 轴上的一点出发, 该点称为 a. 需要理解的是：当 x 非常非常接近于 a, 但不等于 a 时, f (x) 是什么样子的？这是一个非常奇怪的问题, 人类相对晚近才发展出微积分很可能就是因为这个原因吧.
这里有一个例子, 说明了为什么要提出这样的问题. 令 f 的定义域为
(除 2 以外的所有实数), 并设 f (x) = x - 1. 这可以写作：
f (x) = x - 1 当 x ≠ 2.
这看起来好像是一个古怪的函数. 毕竟, 到底为什么要将 2 从定义域中去除掉呢？其实, 在下一章就会看到, f 很自然地就是个有理函数 (参见 4.1 节的第二个例子) 不过现在, 让我们姑且接受 f 的定义, 并画出其图像, 如图 3-1 所示.
图 3-1
那么 f (2) 是什么呢？或许你会说 f (2) = 1, 但这是大错特错了, 因为 2 根本不在 f 的定义域中. 你所能给出的最好回答就是 f (2) 是无定义的. 另一方面, 当 x 非常非常接近于 2 的时候, 我们可以找到一些 f (x) 的值, 并看看将会有什么发生. 例如, f (2.01) = 1.01, f (1.999) = 0.999. 稍作思考, 你会发现当 x 非常非常接近于 2 的时候, f (x) 的值会非常非常接近于 1.
还有, 只要令 x 充分地接近于 2, 那么你想多接近于 1 就能多接近于 1, 却又不是真的达到 1. 例如, 如果你想要 f (x) 在 1 ± 0.0001 内, 可以取在 1.9999 和 2.0001 之间的任意的 x 值 (当然, 除了 x = 2, 这是禁止的). 如果你想要 f (x) 在 1 ± 0.000 007 内, 那么选取 x 的时候, 你不得不更细心一点. 这一次, 你需要取在 1.999 993 和 2.000 007 之间的任意值了 (当然, 还是除了 2).
这些思想会在附录 A 的 A.1 节里有更详细的描述. 不过现在, 让我们回到正题, 直接写出
如果你大声将它读出来, 它听起来应该像是 “当 x 趋于 2, f (x) 的极限等于 1”. 再次说明, 这意味着, 当 x 接近于 2(但不等于 2) 时, f (x) 的值接近于 1. 那到底有多近呢？你想要多近就能多近. 以上陈述的另外一个写法是
f (x) → 1 当 x → 2.
这个写法更难用来计算, 但其意义很清晰：当 x 沿着数轴从左侧或者从右侧趋近于 2 时, f (x) 的值会非常非常接近于 1(并保持接近的状态!).
现在, 取上述函数 f 并对它做一点改动. 假设有一个新的函数 g, 其图像如图 3-2 所示.
图 3-2
函数 g 的定义域是所有实数, 并且 g (x) 可以被定义为如下的分段函数：
是什么呢？这里的关键是, g(2) 的值和该极限是不相关的! 只有那些在 x 接近于 2 时的 g(x) 的值, 而不是在 2 处的值, 才是问题的关键. 如果忽略 x = 2, 函数 g 和之前的函数 f 就是完全相同的. 因此, 尽管 g(2) = 3, 我们还是有
这里的要点是, 当你写出
的时候, 等式左边实际上不是 x 的函数! 要记住, 以上等式是说, 当 x 接近于 2 时, f (x) 接近于 1. 事实上, 我们可以将 x 替换成其他任意字母, 上式仍然成立. 例如, 当 q 接近于 2 时, f (q) 接近于 1, 因此我们有
也可以写成
如此等等, 直到用光了所有的字母和符号! 这里的要点是, 在极限
中, 变量 x 只是一个
虚拟变量
. 它是一个暂时的标记, 用来表示某个 (在上述情况下) 非常接近于 2 的量. 它可以被替换成其他任意字母, 只要替换是彻底的; 同样, 当你求出极限的值时, 结果不可能包含这个虚拟变量. 所以对虚拟变量你要灵活处理.
1.2 左极限与右极限
我们已经看到, 极限描述了函数在一个定点附近的行为. 现在想想看, 你会如何描述图 3-3 中 h (x) 在 x = 3 附近的行为.
图 3-3
当然, 就趋于极限的行为而言, h (3) = 2 实际上是无关紧要的. 现在, 当你从左侧接近于 x = 3 时会发生什么呢？想象一下, 你是图中的远足者, 顺着山势上下. h (x) 的值会告诉你, 当你的水平位置是 x 时, 你所在高度是多少. 因此, 如果你从图的左边向右走, 那么当你的水平位置接近于 3 时, 你所在高度就会接近于 1. 当然, 当到达 x = 3 时你会陡然坠落 (更不用说那个古怪的小突起), 但暂时我们不关心. 这时任何在 x = 3 右侧的值, 包含 x = 3 本身对应的值, 都是无关紧要的. 因此, 就可以看到 h (x) 在 x = 3 的左极限等于 1.
另一方面, 如果你从图的右边向左走, 那么当你的水平位置接近于 x = 3 时, 你所在高度就会接近于 -2. 这就是说, h (x) 在 x = 3 的右极限等于 -2. 这时任何在 x = 3 左侧 (包含 x = 3 本身) 的值都是无关紧要的.
可将上述发现总结如下：
及
.
在上面第一个极限中 3 后的小减号表示该极限是一个左极限, 第二个极限中 3 后的小加号表示该极限是一个右极限. 要在 3 的后面写上减号或加号, 而不是在前面, 这是非常重要的! 例如, 如果你写成
那么指的是 h (x) 在 x = -3 时的通常的双侧极限, 而不是 h (x) 在 x = 3 时的左极限. 这确实是两个完全不同的概念. 顺便说一下, 在左极限的极限符号底下写 x → 3+ 的理由是, 此极限只涉及小于 3 的 x 的值. 也就是说, 你需要在 3 上减一点点来看会有什么情况发生. 类似地, 对于右极限, 当你写 x → 3+ 的时候, 这意味着你只需要考虑如果在 3 上加一点点会有什么情况发生.
正如我们将在下一节看到的, 极限不是总存在的. 但这里的要点是：通常的双侧极限在 x = a 处存在, 仅当左极限和右极限在 x = a 处都存在且相等! 在这种情况下, 这三个极限 (双侧极限、左极限和右极限) 都是一样的. 用数学的语言描述, 我们说,
等价于
如果左极限和右极限不相等, 例如上述例子中的函数 h, 那么双侧极限不存在. 我们写作
不存在或使用缩写 “DNE” 表示 “不存在”.
1.3 何时不存在极限
我们刚刚看到, 当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存在. 这里有一个更戏剧性的例子. 考虑 f (x) = 1/x 的图像, 如图 3-4 所示.
是什么呢？ 双侧极限在那里不大可能存在. 因此, 我们先来试着求一下右极限,
. 看一下图像, 当 x 是正的且接近于 0 时, f (x) 看起来好像非常大. 特别是, 当 x 从右侧滑到 0 时, 它看起来并不接近于任何数; 它就是变得越来越大了. 但会有多大呢？ 它会比你能想象到的任何数都大! 我们说该极限是无穷大, 并写作
图 3-4
类似地, 这里的左极限是 -∞, 因为当 x 向 0 上升时, f (x) 会变得越来越负. 这就是说
由于左极限和右极限不相等, 故双侧极限显然不存在. 另一方面, 考虑函数 g, 其定义为 g (x) = 1/x2, 其图像如图 3-5 所示.
图 3-5
此函数在 x = 0 处的左极限和右极限都是 ∞, 因此你也可以说
. 顺便说一下, 现在我们有了一个关于 “垂直渐近线” 的正式定义：
现在, 可能会出现左极限或右极限不存在的情况吗？答案是肯定的! 例如, 让我们来看一个怪异的函数 g, 其定义为 g (x) = sin (1/x). 此函数的图像看起来会是什么样的呢？首先, 让我们来看一下 x 的正值. 由于 sin (x) 在 x = π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0, 因而 sin (1/x) 在 1/x = π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0. 我们取其倒数, 会发现 sin (1/x) 在
上的值全为 0. 这些数就是 sin (1/x) 的 x 轴截距. 在数轴上, 它们看起来如图 3-6 所示.
图 3-6
正如你看到的, 当接近于 0 的时候, 它们都挤在了一起. 由于在每一个 x 轴截距之间, sin (x) 向上走到 1 或向下走到 -1, 因此, sin (1/x) 也一样. 把目前已知的画出来, 可得到图 3-7.
图 3-7
那么
是什么呢？以上图像在 x = 0 附近很杂乱. 它无限地在 1 和 -1 之间振荡, 当你从右侧向 x = 0 处移动时, 振荡会越来越快. 这里没有垂直渐近线, 也没有极限
1.
当 x 从右侧趋于 x = 0 时, 该函数不趋于任何数. 因此可以说,
不存在 (DNE). 我们会在下一节将 y = sin (1/x) 的图像补充完整.
1
正式的证明请参见附录 A 的 A.3.4 节.
1.4 在 ∞ 和 -∞ 处的极限
还有一类需要研究的极限. 我们已经研究了在接近一点 x = a 时的函数行为. 然而在有些情况下, 重要的是要理解当 x 变得非常大时, 一个函数的行为如何. 换句话说, 我们感兴趣的是, 研究当变量 x 趋于 ∞ 时函数的行为. 我们想写出
并以此表示, 当 x 很大的时候, f (x) 变得非常接近于值 L, 并保持这种接近的状态. (更多详情请参见附录 A 的 A.3.3 节. ) 重要的是要意识到, 写出 “
” 表示 f 的图像在 y = L 处有一条右侧水平渐近线. 类似地, 当 x 趋于 -∞ 时, 我们写出
它表示当 x 变得越来越负 (或者更确切地说, -x 变得越来越大) 时, f (x) 会变得非常接近于值 L, 并保持接近的状态. 当然, 这对应于函数 y = f (x) 的图像有一条左侧水平渐近线. 如果愿意, 你也可以把这些转化为定义：
当然, 像 y = x2 这样的函数没有任何水平渐近线, 因为当 x 变得越来越大时, y 值只会无限上升. 用符号表示, 我们可以写作
. 反过来, 极限也有可能不存在. 例如,
. sin (x) 会变得越来越接近何值 (并保持这种接近状态)呢？它只是在 -1 和 1 之间来回振荡, 因此绝不会真正地接近任何地方. 此函数没有水平渐近线, 也不会趋于 ∞ 或 -∞; 你所能作的最好回答是,
不存在 (DNE). 证明请参见附录 A 的 A.3.4 节.
让我们回到上一节看到的函数 f , 其定义为 f (x) = sin (1/x). 当 x 变得非常大时会怎么样呢？首先, 当 x 很大时, 1/x 会非常接近于 0. 由于 sin (0) = 0, 那么 sin (1/x) 就会非常接近于 0. x 越大, sin (1/x) 就会越来越接近于 0. 我的论证有点粗略, 但希望能说服你相信
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