看了本微信号
9
月
22
日《
数学常数
e
的含义
》，也想到在一个场合很神秘地出现常数
e
，自然对数的底
e
确实是一个很神奇的数，正如圆周率
π一样，经常会出现在各种公式及问题的答案中。下面是一个通俗的策略问题，题目如下：
有一栋十层大楼，每层电梯门口都放着一颗钻石，你只知道每颗钻石大小不一，但是不知道钻石的重量分别是多少。假设你乘坐电梯从一楼到十楼，到达每层楼时，电梯门都会打开一次，你可以在任何一层楼选择一颗钻石(假设每层钻石的重量都在旁边标明)，而且只能选择一次。问采取什么策略，才能以最大的概率拿到最大的那颗钻石？
题目的背景可以换成找工作、找对象等。用古典概率论知识解答如下：
策略一
：直接取第一层的钻石，取到最大钻石的概率为P1 = 0.1。
策略二
：
假设第1层不拿，从2层开始，采取如下策略：
(1) 如果第2层钻石比第1层大，则取该钻石，否则再上一层；
(2) 如果第3层钻石比前面2层都大，则取该钻石，否则再上一层；
(3) 循环以上步骤；如果前9层都没有取到要求的钻石，则取第10层的钻石。
按照以上策略，分别在第2层、3层，……、10层取到最大钻石为互不相容事件，概率可以相加。下面分别计算其概率。
第2层取到最大钻石，即第1层不是最大钻石，第2层正好为最大钻石，概率为：
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同理，第3层取到最大钻石，即前2层不含最大钻石，且前2层的最大钻石在第1层中，第3层正好为最大钻石，概率为：
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……
第10层取到最大钻石，即前9层不含最大钻石，且前9层的最大钻石在第1层中，第10层正好为最大钻石，概率为：
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于是采取该策略取得最大钻石的概率是：
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策略三
：
假设前2层都不拿，从3层开始，采取如下策略：
(1) 如果第3层钻石比前面2层都大，则取该钻石，否则再上一层；
(2) 如果第4层钻石比前面3层都大，则取该钻石，否则再上一层；
(3) 循环以上步骤；如果前9层都没有取到要求的钻石，则取第10层的钻石。
同理，按照以上策略，分别在第3层、4层，……、10层取到最大钻石为互不相容事件，概率可以相加。下面分别计算其相应概率。
第3层取到最大钻石，即前两层不含最大钻石，第3层正好为最大钻石，概率为：
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同理，第4层取到最大钻石，即前3层不含最大钻石，且前3层的最大钻石在前两层中，第4层正好为最大钻石，概率为：
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…………
第10层取到最大钻石，即前9层不含最大钻石，且前9层的最大钻石在前两层中，第10层正好为最大钻石，概率为：
![]()
于是采取该策略取得最大钻石的概率是：
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同理可以得到其它策略：
策略四
：假设前3层都不拿，从4层开始，采取类似的策略，取得最大钻石的概率是：
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同理可以得到
策略五、六、七、八和九
，它们取得最大钻石的概率分别是：
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策略十
：假设前9层都不拿，直接取第10层的钻石，取得最大钻石的概率是
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综上所述，可以看出策略四以最大的概率值0.399取到最大钻石，该策略最优。
上面的楼层只有十层，如果将楼层的层数推广到任意的n层，那么一般化的最大钻石问题的解答如下：
一共n层楼，假设前m层都不拿，从m + 1层开始，采取如下策略：
(1) 如果第m + 1层钻石比前面m层都大，则取该钻石，否则再上一层；
(2) 如果第m + 2层钻石比前面m + 1层都大，则取该钻石，否则再上一层；
(3) 循环以上步骤；如果到达第n - 1层都没有取到要求的钻石，则取第n层的钻石。
按照以上策略，分别在第m层、m + 1层，……、n层取到最大钻石为互不相容事件，概率可以相加。下面分别计算其相应概率。
第m + 1层取到最大钻石，即前m层不含最大钻石，第m + 1层正好为最大钻石，概率为：
