推理时可用例子,也可用符号;有些人两样都不用,只是照事论事,随意加点假设,就算是推理。后者是茶余饭后不经心的辩论,算不上是认真的思考。有科学性的思考,用例子是远胜用符号的。
数学是以符号组合而成的一种语言;严格来说,任何语言文字都是符号。画面是没有符号的,但也是表达的一种方式。用大量的字来表达画面,就成了例子。
思想是抽象的。要证实抽象思想的正确性,数学就大有用途,因为它是最严谨的语言。但有效的思考方法却是要将抽象现实化。画面比符号较接近现实,因此较容易记;所以在思考上,用例子就远胜用符号了。
善用例子的人,再蠢也蠢不到哪里去。用例子有几个基本的法门,能否善用就要看个人的想像力了。现试将这些法门分列如下:
以例子辅助推理,理论的重要特征是要全部包括在例子之内。通常的办法就是将例子内的枝节删去,使重点突出,务求在重点上例子与理论有平行的对比。
简化例子要有胆量,也要有想像力。例子简化得越利害,复杂的理论就越容易处理。
所有可用的例子都是被简化了的。以严格的准则来衡量,没有一个例子是真实的。但有些例子是空中楼阁,其非真实性与简化无关;另一类例子,却是因事实简化而变为非真实--我们称后者为“实例”。
纯以幻想而得的例子容易更改,容易改为贴切,是可帮助推理的。但要有实际应用的理论,就必须有实例支持。少知世事的人可先从假例子人手,其后再找实例辅助;实证工夫做得多的人,往往可省去这一步。经验对思考有很大的帮助,就是因为实例知得多。
众所周知的例子不仅缺乏吸引力;在思考上,较新奇的例子会较容易触发新奇的思想。第一个以花比美人的是天才,其后再用的就少了创见。
这一点,中国人是特别弱的,事实不可以解释事实;太多理论就等于没有理论。将每个例子分开处理,理论及见解就变得复杂,各自成理。无意中变成了将事实解释事实。
将多个不同的例子归纳为同类,加以一般化,是寻求一般性理论的一个重要方法。
在另一个极端,过于一般性的理论,因为没有例外的例子,所以也没有解释的功能。有实用的理论是必须有被事实推翻的可能性。因此之故,例子既要归纳,也要分类。
分类的方法就是要撇开细节,集中在重点上不同例子之间难以共存的地方。将一个例子分开来处理,我们也应该找寻跟这例子有一般性的其他例子。
世界上没有一个“无法一般性化”的实例。若是有的话,在逻辑上这实例是无法用理论解释的——这就变成了科学以外的事。
思考要找支持的例子;但考证是思考的一部分——考证就要试找反证的例子了。史德拉(G. Stigler)、贝加(G. Becker)等高手,在辩论时就喜用反证。可靠的理论,是一定要有可以想象的反证例子的——但若反证的是实例,理论就被推翻了。