二维磁性绵里藏针之针有多长 | Ising专栏

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整个盛夏八月，国内外学术界大多如此：到处奔波，难得端坐案台前。抱歉，文章更新耽搁了。

Ising 觉得，如果要挑选两个汉语成语去描述量子材料，首选应该是 “ 无中生有 ” ，随后就是 “ 绵里藏针 ” 。这种成语，本义与物理相距很远，且听 Ising 牵强附会此种关联的缘由。文字自纵横，也略见一张嘴巴是如何万里说纠缠的！

无中生有

说 “ 无中生有 ” ，当然显得粗暴一些。在若干关于 “ 量子材料 ” 的科普短文中， Ising 反复陈述过此类 “ 无中生有 ” 的物理内涵。简单说，就是经典凝聚态展现在我们面前的结构与功能事件，一般都伴随很大的能量过程 ( 动能 ) 和很高的稳定性 ( 势能 ) 。这些事件或效应，能标 ( 能量变化幅度 ) 足够大，遮盖了很多今天谈及的量子材料丰富的物理效应与功能 ( 这些效应与功能涉及的能量变化幅度要小很多 ) 。此乃所谓 “ 无 ” 的涵义 ( 小很多，就是 “ 无 ”) 。也就是说，量子材料效应不是那么容易被探测或被有效利用的。通过引入电子关联、维度约束如二维化或 van der Waals (vdW) 化、空间局域和无序效应等，或者通过任何其它方法，如能将那些大能标的经典动能和势能变化幅度压制下去，则剩下来的那些小能标效应就开始 “ 我是一棵小小小草 ” 般亮眼起来。图 1(A) 所示的能量形态模样，大概是这里希望表达的意涵。例如，超导、量子磁性、拓扑量子态、马约拉纳、量子临界点等，都是如此亮眼的。这是本文用 “ 无中生有 ” 这一成语所赋予的物理意义。无法严谨，有点意向而已。

从这个意义上， “ 无中生有 ” ，才是物理世界呈现量子材料的人文内核！

事实上， “ 无中生有 ” 这一指针，相当于开启一类新的模式，促进量子材料和量子科技的发展。物理学和现代科技应用，毕竟进入了能标尺度小、确定性差、稳定性弱的世界，只有寻求更高、更好和更神奇的物理元素，为实现更好的功能 ( 即下文提及的 “ 针 ”) 、寻找更好的材料、研发更好的器件打下基础。由此，我们会发现， “ 无中生有 ” 中会出现很多物理人原来未曾预期、亦未能预期的新效应、新功能和新器件。

为了说明这一点，最典型的实例，要数所谓的量子临界点 (quantum critical point, QCP) 这一概念和图像了。为了更好展示，以图 1(B) 所示的量子磁性相图为例来作说明。图中清晰展示了 “ 无中生有 ” 的魅力：从操控参量 (control parameter) g = 0 处 ( 相图左侧 ) 开始，那里是纯粹的反铁磁或铁磁 (AFM / FM) 长程基态，当然属于能标较高的基态或说经典物态。这里，操控参量 g 可以是载流子、压力、或某个能破坏长程序基态的量子自由度。随 g 增大，长程基态逐渐被压制，体系走向量子临界点 QCP 这个 “ 无 ” 的状态。基于此，物理人的关注点，就是如何从 QCP 中衍生出完全出乎意料的新量子态，即 “ 无中生有 ” ！

不过，细心的读者会问，谁说 QCP 那里就是 “ 无 ” 呢？回答这个问题，乃源于经典凝聚态物理的基本观点：没有序参量的物理，在凝聚态物理人看来就是 “ 什么也没有 ” 。从热力学相图基本知识去看， QCP 就是一个经典意义中 “ 无 ” 的状态。既然如此， QCP 本身的 “ 伟大 ” 涵义又在哪里呢？ Ising 是外行，多番请教过此道中人，当下的认知未必能说清楚 QCP 到底是什么。但是，慢慢，读者可以品味出其中味道。

图 1. 量子材料的能标图像。

(A) 量子材料事件，都是一些小能标变化的效应和过程，就如这能量峰壑风景一般，容易跳动，亦易于调控。当然，这样的效应过程稳定性和抵抗干扰的能力也就差。 (B) 量子磁性物理之一粟，展示了反铁磁长程序经过量子临界点 QCP 进入到非凡的量子世界，有可能诞生新奇的效应，如这里的 valance bond crystal 。 (C) 与 (B) 的图像类似，同样将 QCP 提升到很高的地位：无中生有！

(A) from https://pubs.acs.org/doi/10.1021/acsaelm.3c00336 。 (B) from https://physics.aps.org/articles/v3/35 ； https://www.cpfs.mpg.de/2725772/neutron-spectroscopy-new 。 (C) from https://everettyou.github.io/2019/04/16/DQCP.html 。

Ising 对 QCP 的粗暴理解就是：

(1) 这里的 “ 无 ” ，是一种 “ 此时无声胜有声 ” 的状态。实际上，在那里，所有经典、半经典的物态都尽数消弭，留下来的是那些横空出世的量子自由度，是 “ 宝藏无尽 ” 之源。至于这些量子自由度具体包括哪些，似乎还是 Ising 认知之外的世界。

(2) 对固体中电子而言，我们已知的量子自由度包括那些能标处于低端的电荷、自旋、轨道及与之伴随的声子。低能标的自由度物理，在经典物理中很少涉及。如果每一个自由度都代表一个维度 (d = 1) ，也就有了 d = 4 的空间。然后，这些单一自由度相互耦合，形成额外的 3 + 2 + 1 = 6 个二阶耦合新维度，依此类推。现在，物理人至少面临一个 d = 10 ( 实际上可能是 d > 10) 的维度空间，隐藏在 QCP 的世界之中。

(3) 现在，调控参量 g 以某种方式跨越 QCP ，便有可能从这个 d > 10 的空间中衍生出新物态。这一新物态，理论上可能是这四维、十维甚至更多维物理空间中各态历经 ( 遍历性 ) 之下的某个或某些量子态。这种各态历经，其数目之滔滔，才是物理人整天想着怎么去获取 QCP 的驱动力、怎么从中脱颖而出新的量子态的驱动力！图 1(B) 展示的例子，即表达从 QCP 中衍生出所谓的价键晶体态 (valence bond crystal, VB) 之图像。非常规超导物理人，最喜欢这样的图像，因为一旦从中涌出某种可能的电子配对及其凝聚模式，那就赚大发了。图 1(C) 则展示了 QCP 周围可能出现的 novel phase 区域。我们看到，那里生出的 “ 有 ” ，可以很高、很强、很坚定而乐于响应，从而具有更广阔的意涵。

如上梳理，让 “ 无中生有 ” 总算有了一点实在意涵。有此启迪， Ising 得到两点认知：一方面，对 QCP ，由原先不懂时的疑惑，到当下稍微知晓之下的青睐，是认知的一种进步。另一方面， “ 无中生有 ” 似乎更是物理研究的一种观念，就如对金属玻璃中 “ 微结构 ” 的认知一般 ( 完全无序的玻璃中也有微结构，这是玻璃人的观念 ) 。 Ising 三十年前在柏林 Hahn - Meitner Institut (HMI) 对金属玻璃进行小角中子散射 SANS 实验时，就曾经很疑惑：无序玻璃中为何有 “ 微结构 ” 呢？现在明白，那时 Ising 参与讨论的、基于热力学 spinodal 相分离的微结构，就是从这一 “ 无 ” 中产生出来的，虽然这里是经典的。

绵里藏针

“ 无中生有 ” 之后，就需要对 “ 有 ” 下功夫了。应该指出，这个 “ 有 ” ，必定也是低能标的，与那些经典体系的高、快、强的性能可不是一回事。那里， “ 高、快、强 ” 出现一些涨落和偏离，问题不大，材料或器件基本上还是可以做到稳如泰山或横扫千军，所谓 “ 瘦死的骆驼比马大 ” 也是这个意思。但这里，就很不一样了，因为这些量子材料效应牵涉的能标较小。如此，实际器件面临的后果就是：涉及的物理效应可以很显著、幅度可以很大，但效应的稳定性和 robustness 就不可能很高。或者说，稳定性也许可以较高，但效应就可能很弱。因此，产生、捕捉 ( 表征 ) 、调控优化这些效应，就成为量子材料研究的前提。这一 scenario ，就是 Ising 提及的第二个成语： “ 绵里藏针 ” ！

Ising 继续牵强附会，用看起来稍微有点物理味道的语言依葫芦画瓢。

如上所言，量子材料关注 QCP 附近衍生的世界。 QCP 周围能标大的经典物态都被消弭掉，剩下的看起来似乎都是 “ 绵帛 ” 之态。在功能上，这表现为广义的 “ 弹性模量 ” 较小，对外界响应强烈但涨落很大、回复性剧烈、稳定性差、工作温度较低。果若如此，这样的效应给人用起来，就 “ 喜忧参半 ” 、让人 “ 担惊受怕 ” 。

实际上，量子材料远不是如此。在这般那般不如经典物态整体上那般 “ 坚硬 ” 、 “ 宁折不弯 ” 和 “ 线性响应 ” 的物性之外，也还是有很多出乎所料、未曾预测到的较为 “ 强硬 ” 的性能，也就是 QCP 为何那么神奇的理由。在 QCP 周围，寻找相对较强、较硬、稳定可靠的新功能效应，即被称为是寻找 “ 绵里藏针 ” 中的 “ 针 ” 。这一成语，有贬义之嫌，但用在这里是一种不屈的宣示：绵里有针，方可施予独特的响应功能。例如， “ 针 ” 可以是超导电性、可以是巨大反常霍尔效应、可以是独特拓扑输运特性、可以是高效量子纠缠态和量子编码，如此等等。

这些奇特的量子材料效应，每一个都会是未来量子科技的承载体，值得付出巨大投入去理解、表征和优化，以适应未来应用。除此之外，还有更多未来量子科技所需要的新承载体，亦要求操控诸如 QCP 区域的物理而衍生出来。更进一步， “ 绵里藏针 ” 的针，太短则效果不佳、性能不好；太长亦未必就好，很容易变成经典物理效应、丧失量子科技的涵义。因此，准确确定 “ 绵里藏针 ” 之针的长短并加以优化，就成为展现 “ 无中生有 ” 、发掘 “ 绵里藏针 ” 之重要前提。

图 2. 笔者 Ising 对 二维磁性的 胡猜乱想。

经典的 Ising 模型 (g = 0) ，可以看成是海森堡自旋点阵模型中加入无限大的磁各向异性。如果定义各向异性强度的倒数为操控参量 g ，如图所示，则所有调控 g 的物理都可在这里参与进来。虽然 MW 定理是说无限大二维点阵在 g → ∞ ( 各向同性 ) 时没有自旋长程序，但这里无妨处理成某个有限 g = g _c 时 ( 例如准二维、例如有限温度相变点处 ) 出现类似 QCP (quantum critical point ，或者更合适称为相变临界点 CP) 的物理。从 CP 这里，会有新的量子磁性效应出现。

( 准 ) 二维磁性

好吧，行文到此，不能再继续这样泛泛而论、贫嘴瞎说。不妨从一个处于前沿的具体实例开始，讨论 “ 无中生有 ” 、 “ 绵里藏针 ” 这一问题。 Ising 挑选看起来较为简单直观的 “ 二维磁性 ” 这一 cutting - edge 主题，来展开个中含义：

(1) 二维磁性，从百年前的二维 Ising 模型开始，就是凝聚态和统计物理的皇冠问题。 Ising 模型以 Onsager 的磁有序严格解和杨振宁先生的磁矩严格解屹立于世。也就是说，这是二维体系长程自旋序的极品！

(2) 接下来，就是抑制这一自旋序，使之进入某个临界点 ( 未必一定是 QCP ，相变临界点 CP 也行 ) ，就如图 2 所示。 Ising 模型的长程有序解，依赖于自旋交换耦合 J 和表观磁各向异性 K 两个因素。 J 总在那里，无法消弭，但 K 是可以操控的。通过压制 K ，从 Ising 自旋走向完全各向同性的海森堡自旋，就到了长程自旋序完全消失的 Mermin - Wagner (MW) 定理。这一定理判定，在无限大各向同性海森堡二维点阵中，不存在长程磁有序。事实上，二维 Ising 模型和二维海森堡模型，可简单认为是单自旋各向异性为 ∞ 和 0 的两个极端。可选定单自旋各向异性强度之倒数为操控参量 g 。随 g 增大，意味着磁各向异性降低， Ising 自旋长程序被不断抑制，居里温度不断下降，及至 MW 定理预言的长程自旋序消失。这一过程，也类似于图 1 所示的趋近 QCP 进程。

(3) 再接下来，就是如何从 QCP ( 或 CP) 中捣鼓出新的效应了。图 1 所示的物理图像，终于在二维海森堡磁性这里再下一城！

果不其然，实际的二维自旋点阵，虽然存在有限但很低的自旋有序温度，但几个量子自由度依然可以施展拳脚，有可能促使 CP 附近风光无限。过去一些年，对二维磁性的大规模研究，已找到了一些新效应或新机制，同样可在唯象理论的框架中用磁各向异性来大致分类与 “ 测度 ” ： (i) 众所周知的自旋轨道耦合 SOC ( 如 Dzyaloshinskii - Moriya DM 作用 λ _DM ) 、晶体场效应等非对角交换耦合引起的单离子 ( 单自旋 ) 各向异性 Γ ； (ii) 三维磁性晶体的厚度 t 趋于很小时 ( 准二维 ) 界面 / 表面关联的 Rashba 耦合 λ _Ra ； (iii) 那个神奇无限的 Kitaev 作用项 K ； (iv) 其它引入长程时间反演对称破缺的物理因素。这四大根源之每一个，都是量子材料研究的前沿和热点，正在以 MW 定理定义下的 CP 为起点，光芒四射。

正因为如此，实际的二维、准二维磁性体系总归存在虽然很弱却非零的磁各向异性，导致有限的磁有序温度 T _C > 0 ，这就是二维磁性的 “ 无中生有 ” 。就二维磁性结构本身而言，亦存在很多变化，从而丰富 CP 周边的物理。例一，物理人讨论的实际二维材料如 vdW 体系，其面内键合完全饱和、不存在面外悬挂键。如此特征，让物理人很容易明白磁各向异性不大可能很强。例二，由单一磁性原子 ( 如 Fe) 构成的二维晶格 ( 真正的 monolayer) ，其面内 d / f 轨道良好键合、但面外 d / f 轨道悬空，会导致核外轨道形态出现很弱的空间形态畸变，从而引入弱的轨道各向异性。例三，多组元 vdW 体系不再呈现 monolayer 晶格，而是多层原子层组成的单元晶胞成 (mono - unit layer) 。典型的二维磁性体系如 CrI ₃ ，即由上下两层 I 原子层夹住中间一层 Cr 原子层组成的三明治 vdW 结构。此时， Cr ³⁺ 自旋面内面外存在一定的磁各向异性是必然的。

OK ，行文到此，物理人有了一个从 QCP 处海森堡自旋模型出发、考虑多种量子自由度的、不算完备但已具有一般性的自旋哈密顿。针对 2D 六角蜂窝点阵，目前完备的哈密顿 (H = H ₁ + H ₂ ) 如图 3 所示，包含八项 ( 分别用数字 1 / 2 / … / 8 表示 ) 不同的能量项：

图 3. 二维蜂窝磁性点阵 (A) 的 J - K - Γ 模型及其完备哈密顿 (B) ，一共有 7 项，虽然体系厚度 t 的影响 (8) 尚未被考虑进去。

哈密顿包括基本哈密顿部分 H ₁ 和 H ₂ 。其中 H ₁ 含有 (1) 海森堡交换耦合 J 、 (2) 最近邻 Kitaev 互作用 K 、 (3) 对称非对角交换耦合 Γ (off - diagonal symmetric exchange interaction) 、 (4) 单离子各向异性 A _c 和 (5) 外磁场导致的 Zeeman 能 ( 磁感应强度 B) 等。 H ₂ 包括 (6) DM 相互作用 (D _c ) 和 (7) 非对称非对角交换耦合 Γ' (off - diagonal asymmetric exchange interaction) 。蜂窝晶格图片取自 W. Yang et al, arXiv:2207.02188v1 (Jul. 5 ^th , 2022) 。

不妨给读者一个来自文献的定量估计 ( 估算好坏值得斟酌 ) ：以准二维 磁体 CrI ₃ 为例，一些实验依据不同模型大概估算了诸如图 3 所示哈密顿各项的系数值。其中海森堡交换耦合 J ~ 2.0 meV ，单离子各向异性 ( G + A _c ) ~ 0.10 meV 。前者相当于 ~ 20 K 的热激活能，后者相当于 ~ 1.0 K 的热激活能。可以看到，这些耦合项的能标实在是太小了 [J. Meseguer-Samchez et al, NC 12, 6265 (2021), https://www.nature.com/articles/s41467-021-26342-4] 。就是因为这些个 “ 小 ” ，才给量子磁性的探索带来若干问题。其中一个问题，带有普遍性和一般意义，因此显得特别重要。

“ 针 ” 有多长

这个问题，便是二维磁性中磁各向异性的精确测量与解构。对二维磁性，要在超越 QCP 之外实现对量子磁性的精确操控，就需要对贡献磁各向异性的各种物理效应有准确测量表征，即要确定每一根 “ 针 ” 有多长、多粗、呈现什么形状。目前存在的困难，随手就可以列举一堆：

(1) 作为一般特征，这些能量项都很小。即便单纯从数学角度，要从这八项中提取出可靠的一项来，也是一个巨大的、可靠性不高的计算任务。

(2) 理论上，这些自旋互作用项各自时间和空间几何性质不同，相互并不正交，还存在很强的关联耦合特征。因此，在低能激发上，这些互作用的贡献，很可能是线性之外又叠加很强的非线性。这本身就是凝聚态理论难以处理的问题。

(3) 实验上，无论是电磁 ( 包括交直流、磁阻、霍尔、量子振荡、非线性 ) 、热输运、光电导输运、各种谱学探测探测，总要有外场激发晶格，导致物理偏离基态而呈现激发态。物理人在处理基态问题时就已捉襟见肘，处理这样的激发态就更是如履薄冰或大海捞针。谱学探测，还存在与时间关联的动力学效应，包括时空响应谱的解构，都是难题。

当然， Ising 较为笨拙，列出如上三条，已能将大多数读者唬住。但是，物理人多是人中龙凤，他们有探囊取物如入无人之境的本分。例如，针对那个著名的量子自旋液体 QSL 体系 α - RuCl ₃ ( 准二维层状磁体 ) ，南京大学温锦生、李建新老师他们，就能从纷繁复杂的中子散射、磁性、热力学测量与理论计算结果中，提取出 Kitaev 项 K 的数值和非对角项 Γ 的数值，定量化那个著名的 K - Γ 模型，引得同行高度关注和交口称赞。

不过，除 α - RuCl ₃ ， ( 准 ) 二维 vdW 磁性最近令人关注的体系，还有蜂窝六角体系 CrI ₃ 。这是一个独特的 ( 准 ) 二维磁体。量子磁性的性质，它应有尽有：二维铁磁性、 Ising 磁性、 DM 作用项、 Kitaev 作用项。一般而言，具备这么多作用项的二维磁性是很珍贵的。除了自旋电子学致力于提升磁性居里温度外，这一体系因为 Kitaev 的存在而有更多应用潜力可挖：狄拉克费米子、铁磁超导、 Majorana 费米子和量子计算等。

正因为这些潜力， CrI ₃ 不引起量子材料人蜂拥而至都不可能。过去若干年，围绕这方面的探索不少， Ising 坐井观天，只能窥得其中少许：

(1) 这一准二维体系的块体，会展示特别的低能激发磁振子态，具有非平庸狄拉克能带特征，令人关注。目前的认知是， DM 互作用在其中起到重要作用。注意到， DM 互作用也是小能标物理。

(2) 当体系走向准二维，或者说随厚度 t 减小 ( 晶格声子变化 ) ，有研究展示其存在量子自旋液体 QSL 态，其中包含令人激动的 Kitaev 物理。因此， K - Γ 作用项也进入其中。