【应用计量系列157a】如何控制协变量？

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Myint, Leslie. "Controlling time-varying confounding in difference-in-differences studies using the time-varying treatments framework." Health Services and Outcomes Research Methodology 24.1 (2024): 95-111.

Roth, Jonathan, et al. "What’s trending in difference-in-differences? A synthesis of the recent econometrics literature." Journal of Econometrics 235.2 (2023): 2218-2244.

Zeldow, Bret, and Laura A. Hatfield. "Confounding and regression adjustment in difference‐in‐differences studies." Health services research 56.5 (2021): 932-941.

Caetano, Carolina, and Brantly Callaway. "Difference-in-Differences with Time-Varying Covariates in the Parallel Trends Assumption." arXiv preprint arXiv:2406.15288 (2024).

下文是许老师的工作论文的理论部分概述。分享给大家：

在大多数因果效应文献中，混淆因子是最令研究者头疼的事情。混淆因子是与处理变量和结果变量同时相关的变量。理论上来说，随机实验没有混淆因子的困扰——没有因素与处理相关。换言之，潜在结果与处理是独立的。

但有时候，处理仅仅在协变量X的一个确定水平上才是随机的，这就意味着

通常，无条件/条件独立性都只在随机实验中存在。在实践中，研究者并不能保证协变量X足以让D和 条件独立。即使研究者不断地增加协变量，仍然有一些未考虑或者无法测度的协变量U会同时与处理和潜在结果相关。

在DID中，混淆因子与上述概念相关，但并不相同。也就是说，DID并不要求协变量在处理组和控制组是平衡的（balance），即处理组中存在差异化的协变量，且它与结果变量相关并不必然会混淆处理效应估计量（Zeldow and Hatfield，2021）。

许多文献已经显示了在条件于协变量的平行趋势假设下，研究者才能识别出处理组处理效应（Heckman et al，1998；Abadie，2005；Sant' Anna and Zhao，2020）。条件平行趋势假设在实践应用中非常有吸引力，因为未处理潜在结果的路径可能沿着协变量维度上存在差异。

而在一些计量经济学文献中，研究者要么假设协变量不随时间变化，要么使用处理前协变量（实践操作基本是将时变协变量设定为处理前某一期的水平或者平均水平，例如，Bonhomme and Sauder (2011) ，Lechner (2011)）。而在一些应用文献中，研究者通常采用处理前协变量与时间的交乘项来近似时变协变量，例如，Tang and Xu(2023)，Xu et al.（2024）。而在更多的应用研究中，研究者经常直接包括时变的协变量。在如此多样化的应用实践中，条件于协变量的识别假设到底是什么？基于此，研究者到底应该如何控制协变量？

本文通过潜在因果框架和蒙特卡洛模拟来讨论DID对混淆因子和协变量调整的要求，尤其是分析了事件不变和时变协变量对平行趋势假设和估计量偏误的影响。基于此，本文给出了DID中混淆因子讨论和协变量调整的实践指南。

需要说明的是，本文仅仅关注可观测的混淆因子和协变量的调整，对于不可观测的混淆因子及其应对策略，将在另一篇工作论文中详细的分析和模拟研究。

在DID中，研究者最关心的估计量是处理组的平均处理效应（average effect of treatment on the treated，ATT）

其中， ， 是初次处理时间，即表示处理后时期。 指代处理组， 和 分别是潜在结果。在上述定义中，包含处理后的未处理潜在结果 ，它不可观测。但是，在在一些假设下，研究者可以用可观测结果来识别ATT。

• ① 无预期假设。即未来处理并不会影响现在的潜在结果。

• ② 平行趋势假设：处理前是0期，处理后是1期， 。

在多时点情形下，平行趋势假设可以变成： 。其中， 表示处理前时期。

此时，我们可以将感兴趣的ATT变换成：

考虑最简单的情形，只有两期，没有协变量的情形。只要上述假设成立，研究者可以使用样本均值来估计上述ATT。Athey and Imbens（2006）和Angrist and Pischke（2009）给出了一个经典的未处理潜在结果的线性模型：

上式表明，反事实的未处理结果是截距项，时间效应，个体效应和正态分布的误差项之和。此时，可以将观测结果表达成：

假设存在两个组群，两期（t=0,1）。那么， 的模型可以变为

如果模型正确声明，且假设①成立，那么，

也就是说，处理组处理前后的变化差异与控制组处理前后的变化差异相同，平行趋势假设成立，可以识别出ATT。

下面，引入时间不变的协变量来考察对识别假设的影响。将上述未处理结果的线性模型写成X的加性形式：

其中，协变量 对结果 的效应 可以随时间变化。

• ① 假设协变量X对结果Y的效应不随时间变化，即 ：

从上述平行趋势假设可以清晰地看出，在时间不变的协变量 对结果变量有恒定的效应时，即使处理组 和控制组 协变量的分布存在差异（不平衡），条件平行趋势仍然成立。

但协变量X对Y的效应是时变的：

从上式可以看出，平行趋势并不必然成立，因为 ，或者即使相等（ ），只要