今日PNAS: 自然曲率引导的多稳态分段环设计

海归学者发起的公益学术平台

分享信息，整合资源

交流学术，偶尔风月

图1.  形态各异的百变花环

相信大家小时候都玩过上面这种百变花环（图1所示）。这种玩具由一系列半圆环嵌套在两个大环上构成，通过调节这些半圆环的位置，花环可以变化出多达几十种形态各异的样式，例如图1中四种高度不同的形态。

近日，斯坦福大学赵芮可教授团队受这种花环玩具启发，提出了一种多稳态分段环的设计策略，最多可实现六个稳态（视频1）；并与哈佛大学John W. Hutchinson院士合作，针对这种分段环的稳态设计和形态转变进行了深入研究，系统地揭示了分段环由自然曲率（即无应力状态下的曲率）主导的多稳态特性。研究成果以 “ Multistability of segmented rings by programming natural curvature ” 为题发表在《美国科学院院刊》（ Proceedings of the National Academy of Sciences） 上。斯坦福大学博士后鲁璐和博士生Sophie Leanza为论文共同第一作者，赵芮可教授为通讯作者，博士生戴继泽和哈佛大学John W. Hutchinson 院士为论文共同作者。（分段环的制作方法可参考文末视频）

视频1. 自然曲率为4的正八边形环在其六个稳态之间的转换

图2.  （A）分段多边形环的构造方法；（B）正八边形环可实现的前12个平面形态

研究团队首先介绍了这种分段环的构造方法。如图2A所示，分段环由多根具有一定自然曲率的杆首尾相连，并在连接处进行焊接（在实际制作中，也可通过弯折一根较长的杆来实现）。例如，利用8根相同的杆可以构造出一个正八边形环。将正八边形环在连接处断开并盘绕一圈后，可以得到一个两圈的曲边四边形环。在外力作用下，一圈的八边形环和两圈的四边形环利用跳变失稳可分别转换为对应的三圈形态和四圈形态（转换过程如视频2所示，不同形态圈数的定义如视频3所示）。有趣的是，研究团队发现，通过增加这些组成杆件的自然曲率，这两种环还能转换为更多的平面形态。图2B描绘了正八边形环可实现的的前12个平面形态。可以看到，除了水滴形的8圈形态以外，其他形态均具有均匀的边缘曲率。类似的现象也存在于其他边数的分段环中。研究团队采用有限元仿真，探寻了不同边数的分段环可实现的各种平面形态。研究发现，对于一个具有n条边的分段环，其前n个平面形态均具有不同的构型，但从第n+1个形态开始，会出现重复构型，重复构型的周期为n。例如，正八边形的前8个转换形态构型各不相同，但是其9到16圈形态与17到24圈形态对应构型均相同。同时，当对应形态的圈数为n的整数倍时，该构型的边缘曲率不均匀。

视频2. 正八边形环的前四个稳态

视频3. 分段环圈数的定义

图3. 双杆和正多边形环在弯曲载荷下的形态转换

图4. 双杆和正多边形环能够稳定的自然曲率上下限以及其对应的应变能

根据这些形态对应圈数的奇偶性，分段环的不同平面形态被分成了两组。图3展示了2段环到8段环其圈数为奇数的各种形态。对于各种一圈形态（即双杆和各类正多边形环），在其一对顶点或一个顶点及其对边中点施加弯曲载荷时，它们可以转变成三圈形态；依此类推，在三圈形态的对应位置加载，它们可以转换成五圈形态；在五圈形态的对应位置加载，它们可以转换成七圈形态……所有这些不同形态在一定的自然曲率范围内都能够稳定。为了确定这些分段环在不同形态下能够稳定的自然曲率范围，研究团队基于能量变分方法和Kirchhoff杆模型建立了分段环稳定性分析的一般性理论框架。利用该框架，可以计算出各种类型分段环稳定的自然曲率上限和下限。图4A对比了双杆和各类正多边形环自然曲率的稳定范围。可以看到，这些环的稳定性取决于其自然曲率以及横截面的长宽比。在各种不同边数的分段环中，三角形环具有最高的稳定曲率上限，其次是双杆，最低的是四边形环。在稳定下限处，自然曲率随着分段环边数的增加逐渐增大。图4B比较了各种分段环在曲率上下限处对应的应变能。结果显示，双杆和三角形环在稳定曲率上限处能够储存比总长度相等的圆环更多的应变能。此外，随着分段环边数的增加，其能够储存的应变能逐渐趋近于圆环，而在稳定上下限处的自然曲率也逐渐趋近于圆环的稳定曲率极限减1。

图5. 两圈形态的正多边形环在弯曲载荷下的形态转换

图6. 两圈形态的正多边形环能够稳定的自然曲率上下限以及其对应的应变能

图5展示了4段环到10段环其圈数为偶数的各种形态。当边数为偶数（即n=4, 6, 8, 10）时，其两圈形态为两层重叠的构型。在同一顶点的不同层施加弯曲载荷可将其转换为四圈形态。当边数为奇数（即n=5, 7, 9）时，在一个顶点及其对边中点施加弯曲载荷可将其转换为四圈形态。类似地，在四圈形态的对应位置加载，可以依次转换为六圈和八圈形态。值得一提的是，对于这些多层重叠的构型，不同的加载方式会得到不同的转换构型。以9段环的六圈形态（三层重叠的构型）为例，当弯曲载荷施加在同一顶点的顶层和底层时，其会转换为8圈形态；而将所有层作为整体一起弯曲时，其会转换为12圈形态。不同分段环两圈形态稳定的自然曲率范围及其对应的应变能如图6所示。可以看到，在稳定上限，5段环具有仅次于圆环的自然曲率，但能够储存比圆环更多的弹性能。在稳定下限，4段环具有最高的自然曲率及最高的弹性能。与一圈形态类似，随着分段环边数的增加，其能够储存的应变能逐渐逼近于总长度相同的两圈圆环，而在稳定上下限处的自然曲率逐渐逼近于两圈圆环的稳定曲率极限减1。

图7. （A）横截面长宽比为4的正八边形环在不同形态下能够稳定的自然曲率范围；（B, C）自然曲率分别为1,4,7,10的8段环不同稳态间转换的加载策略

最后，研究团队以正八边形环为例展示了如何通过选取自然曲率来实现不同的多稳态。图7A列出了横截面长宽比为4的正八边形环前12个平面转换形态能够稳定的自然曲率范围。当两个形态能够稳定的自然曲率范围有交集时，表明这两个形态能够同时稳定。可以看到，通过选取合适的自然曲率，正八边形环可以具有三到六个稳态，但其具有六个稳态的自然曲率范围较窄（绿色区域）。而在12个相对较宽的自然曲率范围内（蓝色区域），正八边形环均具有5个稳态，并且每种情形下所包含的稳定形态不尽相同。此外，研究团队选取了四种不同的自然曲率为例，给出了正八边形环不同稳态之间相互转换的加载策略（图7B和7C），并通过实验进行了验证（视频1和4）。当自然曲率为4时，根据理论预测结果，正八边形环只能在三圈到七圈形态稳定，但在实验中，由于层间接触作用的影响，其在两圈形态也能够稳定，即呈现出了6个稳态。该研究系统全面地揭示了分段环的多稳态特性及其不同稳态间的转换规律，为多稳态结构设计提供了新的思路。同时，这种多稳态环形结构利用跳变失稳来折叠并拥有较高的折叠收纳比等特点在空间可展结构、机械超材料设计等应用中具有潜在的应用价值。

视频4. 自然曲率为7的正八边形环在其五个稳态之间的转换

视频5. 分段环的制作方法